1、【解析】 直接由誘導公式計算即可第 1 1 頁共 2222 頁2020 屆百校聯考高考百日沖刺金卷全國H卷數學（理）試題一、單選題1 1.已知集合A x|x 6且x N*，則A的非空真子集的個數為（）A A. 3030B B. 3131C C. 6262D D. 6363【答案】A A【解析】先化簡集合 A A，再根據非空真子集的個數與集合A A 的元素個數間的關系求解【詳解】因為集合A x|x 6且x N*1,2,3,4,5所以A的非空真子集的個數為25230. .故選：A A【點睛】本題主要考查集合的基本關系，屬于基礎題 2 2 復數 z z 滿足z 1 i 1 3i，則z（）A A .

2、2 2B B. 4 4C C.、5D D . 5 5【答案】C C【解析】 根據復數的除法運算求出復數 乙再求出模長|z|z|.【詳解】故選：C.【點睛】本題考查了復數的乘除運算與模長計算問題，是基礎題.2-231 3iz1 i1 3i 1 i22 i，故z .5. .3 3 .已知sin323， 則cos第2 2頁共 2222 頁【答案】B B第3 3頁共 2222 頁【詳解】由誘導公式可得：311sincos，故cos233故選：B.B.【點睛】本題考查了誘導公式的簡單應用，屬于基礎題 4 4.李冶，真定欒城（今河北省石家莊市欒城區）人 金元時期的數學家 與楊輝、秦九韶、 朱世杰并稱為 宋

3、元數學四大家”在數學上的主要貢獻是天元術（設未知數并列方程的方法）,用以研究直角三角形內切圓和旁切圓的性質 李治所著測圓海鏡中有一道題:甲乙同立于乾隅， 乙向東行不知步數而立，甲向南直行，多于乙步，望見乙復就東北斜行，與乙相會，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，問通弦幾何的程序框圖執行求AB，則判斷框中應填入的條件為【答案】三角形ZC 90求解. .翻譯過來是：甲乙兩人同在直角頂點C處，乙向東行走到B處，甲向南行走到A處，甲看到乙便從A走到B處，甲乙二人共行走 16001600 步,AB比AC長A A .x22 2y ?B B.xx2?D D.x y?【解根據題意得，ACx,ABy,

4、BCz,z1600,y80,所以z15202x,再根據VABC為直角第4 4頁共 2222 頁【詳解】則x y z1000,y x80,所以z15202x,符合程序框圖所示：又VABC為直角三角形，且ZC 90,所以x2z2y2. .故選：A A【點睛】本題主要考查程序框圖中的循環結構，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題125 5.已知袋中有 3 3 個紅球，n個白球，有放回的摸球 2 2 次，恰 1 1 紅 1 1 白的概率是 一，25則n()A A . 1 1B B. 2 2C C. 6 6D D. 7 7【答案】B B【解析】 恰 1 1 紅 1 1 白的概率為：C；二 12，然后求出答

5、案即可3n 3 n 25【詳解】恰 1 1 紅 1 1 白的概率為：C23J12n 23 n 3 n 25故選：B B【點睛】本題考查的是獨立重復試驗下的概率計算，較簡單2 26 6已知雙曲線C:x-上=1，圓R:(x 3)2y216. .Q是雙曲線C右支上的一個45動點，以Q為圓心作圓Q與圓F1相外切，則以下命題正確的是()A A .e Q過雙曲線C的右焦點B B.e Q過雙曲線C的右頂點C C .e Q過雙曲線C的左焦點D D .e Q過雙曲線C的左頂點【答案】A A【解析】由e Q與eF1相外切得FQ 4 RQ，由雙曲線的定義得：FQ F2Q 2a 4，然后可得F2Q RQ由題意得，AC

6、 x,ABy,BCz,第5 5頁共 2222 頁【詳解】e Q與eF1相外切，可得：FQ 4 RQ,而FQ F?Q 2a 4,第6 6頁共 2222 頁故選：A A【點睛】 本題考查的是兩圓的位置關系和雙曲線的定義，較簡單7 7 在VABC中，AB 5,AC 3,BC 4,VABC內有一點0,滿足:1，可得0,M , N共線，然后即可得出答案【詳解】uu1 uuruuu-2 uuu設CMCB,CNCA,23uuuruuuuuu1 uuu32 uuuuuuu 3uuuCOCBCA 2-CB-CA2 CMCN,2232由432 231,故O,M, N共線，2B B. 3 3【答案】D Dk【解析】

7、 函數y sin( x )的對稱軸可表示為：x(k Z), f(x)f(x)在6故選：C C【點睛】uuuuuuuuu代B,C三點共線，若OCOA OB，貝V1等腰直角CMN中，CO的最小值為點C到MN的距離，則CO的最小值為、耳.8 8.已知函數y sin( x )(0,F2Q氏,故eQ過右焦點F2. .uuurCOuuuCBuuuCA,則CO的最小值為(B B.【答【解uuuu設CM1 uuu-CBuiurCN2 uurCA，從而可得3murCOuuuCBuuuCA1 uuuCBuuuu32 uuuCA 2 CM23uuuCN,由(。，2)的一條對稱軸為x-，且 f(x)f(x)在上單調，

8、則的最大值為(第7 7頁共 2222 頁ko4J亠上單調可得6，然后可得koZ，使得3ko1463一ko剟一ko13，即可分析出答案 【詳解】函數ysin( xk)的對稱軸可表示為：x (k Z),6解得一ko剟一ko173又. .Q 0, ko0,1,一,3,8 8當ko3 3 時， 可取最大值為-3 3【點睛】本題考查的是正弦型函數的對稱性和單調性，屬于中檔題一 一x y9 9已知橢圓一1(a b o)的上頂點為B,右焦點為F,延長BF交橢a buur uuu圓E于點C,BFFC( 1)，則橢圓E的離心率e( )A A - -11B B.1C -2121D.21【答案】A A(1Xo)c【

9、解析】設CuuuLUU口然后代入橢圓方程化簡即x,y，由BFFC可得byo可 【詳解】(1 )c設Cxo, yo,則由uuv uuvcBFFCx cxbyoyobf(x)f(x)在 ， 上單調可得koZ，使得3ko_6,ko14一312第8 8頁共 2222 頁故選：A A【點n1010 .已知1 2xaoa1xanXn，其中a0a1an243，則aoa1a2an( ( ) )123n 118291182A A . 182182B B.C C.D.-339【答案】B B【解析】由題可知，令x 1，得:3n243 n 5,根據導數的運算公式，11 2x2651 2x1 2x1223Xaox2a5

10、X，令xx 1，即可求出答案【詳解】解：根據題意，aoa1an243，令x 1，得：3n243 n 5，6由于11 2x2 651 2x2 6dxa5xa0a5xaox2 61 2x12axax26ax62xax2a1x26ax6所以e2代入橢圓E的方程, 整理得:(1 )22e2A111所以e本題考查的是平面向量的坐標運算及求橢圓的離心率，屬于中檔題66第9 9頁共 2222 頁【解析】根據三視圖知該幾何體是一個三棱錐，在正方體中還原幾何體，結合圖中數據 及勾股定理求出各條棱長即可得出結論.【詳解】根據三視圖知，該幾何體是一個三棱錐,畫出圖形如圖所示：正方體的棱長為 2 2, A A、C C

11、 為所在棱的中點，則 CD=1CD=1，BC=AD=BC=AD= , , 5 5，BD=BE=CF=2&BD=BE=CF=2&，12 而n 5，令x 1，得a色空123故選：B.B.a518263【點本題考查二項式定理的展開式以及導數的應用，考查轉化能力和計算能力1111 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，最長的棱的長度為（）A A 2、3B B.【答案】C C第1010頁共 2222 頁【解析】由-ex1可得axexx可 【詳解】因為x0,所以由a lnxex1可得x令(x)xexxln x1YIy則(x)(x 1)e1 (x 1) ex11令h(x)ex-， 則h (x)ex20 x

12、xx ln x,然后利用導數求出右邊的最小值即a xexx ln x1,X。ln X。. .x丄XDx01,x結合圖形可得,AEBAEB, AFCAFC, AFDAFD 為直角三角形,由勾股定理得AB=BEAE13，AC=.CFAF =,5+1=、6，最 長的棱為 AB=AB=3,故選：C.C.【點睛】本題由三視圖求幾何體棱長，需先還原幾何體，棱錐還原通常借助正方體或者長方體，可以看成由長方體( (或正方體) )切割而截成的，屬于中等題 a in x1212 已知函數f (x),g(x) ex1( e e 為自然對數的底數)，x x (0,)(0,),x使得f(x)-g(x)成立，則實數a的最

13、小值為()A A 1 1B B.eC C 2 2D D ln2【答案】A A第1111頁共 2222 頁故a的最小值為 1.1.故選：A A【點睛】恒成立問題或者存在性問題，首選的方法是分離變量法，通過分離變量然后轉化為最值問題 二、填空題第1212頁共 2222 頁1313 .已知f X xlg、X2aX是偶函數，則f 2X1【詳解】0,上為增函數,【點睛】則實數k的取值范圍是【答案】1,2x y 20【解析】根據x,y滿足線性約束條件x 2，且直線kx y 2 0過定點kx y 200,2,將目標函數化為y 2x z,平移直線y 2x,根據z 2時，最優解在直線2x y 2 0上，而0,2

14、在可行域內，且滿足2x y 2 0結合圖形求解. .【詳解】x y 2 0 x，y滿足線性約束條件x 2，直線kx y 2 0，過定點0,2kx y 2 0目標函數化為y 2x z，平移直線y 2x，在 y y 軸上截距最大時，目標函數值最大， 當z 2時，可知：最優解在直線2x y 20上，f X的解集為【答1,1【解根據題意，利用復合函數的奇偶性，得出gXlg .X2X為奇函數,a 1，利用函數的單調性解不等式,即可求出f 2Xf x的解集. .解：由題知,f x是偶函數,XlgX2aX為奇函數,0 g X1gX2X2g X2，2X2X12X11X1，2Xf X的解集為:故答案為:1,1.

15、 .本題考查復合函數的奇偶性和利用單調性解不等式,考查計算求解能力X1414 .已知X,y滿足線性約束條件Xkx0目標函數z 2Xy的最大值為 2 2,第1313頁共 2222 頁而0,2在可行域內，且滿足2x y 20. .所以最大值點為0,2如圖所示： */ /h1iJ t鼻f亡-/r / /* * *耳所以實數k的取值范圍是1,2. .故答案為：1,2【點睛】本題主要考查線性規劃的應用，還考查了數形結合的方法，屬于中檔題1515 已知點 0(0,0)0(0,0) ,A(4,0),一點，貝V孕的最小| AM |值為【答案】13【解析】設點M (x,y)，則!2y2，將y21 (x 2)2代

16、入消元，然| AM | (x 4) y后即可求出右邊的最小值【詳解】2 2 2設點M (x, y)，則L0 x2L| AM |(x 4)y又因為（x 2)2y21,則y21(x 2)2,2故|OM14x 3,110,x 1,3,第1414頁共 2222 頁| AM |4x 134x13易得函數y101在1,3上單調遞增. .4x 13則|OM1的最小值為-，故|OM |的最小值為-. .| AM |9| AM |31故答案為：丄3【點睛】 本題考查的是利用圓的方程進行消元，然后利用函數的知識求最值，屬于中檔題1616 .公路北側有一幢樓，高為6060 米，公路與樓腳底面在同一平面上 一人在公路

17、上向東行走，在點A處測得樓頂的仰角為4545行走 8080 米到點B處，測得仰角為 3030再行走8080 米到點C處，測得仰角為 則 tantan _【答案】色 212177【解析】 首先得到OA 60,OB60、3，然后由余弦定理得:OA2AB2OB22AB OBcos ABO,OC2BC2OB22BC OBcos OBC，然后求出OC即可【詳解】1第1515頁共 2222 頁如圖，0為樓腳，0P為樓高，則0P 60,易得：OA 60,OB60衛由余弦定理得：OA2AB2OB22AB OBcos ABO,OC2BC2OB22BC OBcos OBC,2 2 2 2 2兩式相加得：OA OC

18、 2 AB OB OC 30800,則OC 20、77,故tan603. 77必LCll 120.7777故答案為:3、7777【點睛】解答本題的關鍵是要注意：本題對應的是一個立體圖形，然后用余弦定理求解三、解答題1第1616頁共 2222 頁(1)(1)設bnan4an1【詳解】1717 .已知數列1an滿足a11a2，且數列154anan1是等差數列. .(1(1)求數列an的通項公式;(2(2)求數列an的前n項和Sn. .【答案】(1)anSnn2n2(2n 1)【解(1)令bn4 anan1,然后用等差數列的知識求出bnn即可(2(2) a a2n4n2114n212n 1，然后即可

19、求出Sn第1717頁共 2222 頁【點睛】1818 四棱錐P ABCD中，PA AD 2,AB BC CD 1, BCBC /AD/AD ,PADPAD 9090 . .PBA為銳角，平面PBA平面 PBDPBD . .(1)證明：PA平面ABCD;(2)求平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值. .【答案】(1 1)證明見解析；(2)-1-7【解析】(1 1)先作AM PB于M，則由平面PAB平面PBD AM平面PBD AM BD，又在底面中可得ABD 90，從而可得DB平面PAB PA DB，結合PAD 90 PA平面ABCD. .(2)建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，可得所

20、求【詳解】(1)作AM PB于M,則bi1,b22,an2n4n21(2)由an2n4n2111414n211 1 148 2n 1Sn12n 12n12n 12(2n1)常見數列的求和方法:公式法(等差等比數列)、分組求和法、裂項相消法、錯位相減第1818頁共 2222 頁則由平面PAB平面PBD AM平面PBD AM BD,取AD中點為Q，則BCPD BQ CD 1 QDQAABD 90B不重合,DB平面PABDBAMPA DB與PAADPA平面ABCD. .x軸與HB平行），（2 2）取AQ中點 H H，如圖建立空間直角坐標系（其中則B 2丄,02 2C f|0，D0,2,0P 0,0,

21、2，的證明知：平面PAB法向量為uurBD設平面PCD法向量為mvUUIV02y 2z小m PD則VUUI03mCDX由（1 1）02ITX,y,z，3-3. LT UULTcos-m, BD1uuumBDLTUUUm BDJ.7第1919頁共 2222 頁第2020頁共 2222 頁【點睛】本題考查面面垂直、 線面垂直與線線垂直間的相互轉化，考查了空間直角坐標系求二面角，考查空間想象能力以及計算能力，屬于中檔題；1919 直線l過點(4,0)，且交拋物線y22px(p 0)于代B兩點，AOB 90. .(1) 求P;(2)過點(1,0)的直線交拋物線于M, N兩點，拋物線上是否存在定點Q，使

22、直線設直線l : X my 4Q X0,y0,MXM, yM, NXN, yN,MN22ty 1，代入Y4X整理得：Y4ty二YMYN4t,YMYN4MQ, NQ斜率之和為定值，若存在，求出Q點坐標，若不存在,說明理由【答案】(1 1)2)【解析】(1 1 )設A x-!, y1, B x2, y2，由AOB 90得y24p2然后設直線l:xmy 4，與拋物線方程聯立消元即可(2)設Q X0,y,M XM,yM, NXNN,MN : x ty 1，代入4x整理得:4ty40，即得YMYN4t, yMyN4，然后可推出kNQ16 t也2Y244Y04yt【詳(1(1)設 A AX2,y2,則由A

23、OB 90X1X2%y22Y12p2Y22py20y24p2聯立y22px消元得2y 2 pmy8p所以yy8p，所以4p28p解得(2)第2121頁共 2222 頁第2222頁共 2222 頁則kMQkNQYMYQYNYQYMYQYNYQ2222XMXQXNXQYMYQYNYQ4 444444 2 yQyMYNYMYQYNYQ2YQYQYMYNyMYN當且僅當匹上4時，此式為定值，2 4YQ解得YQ2,故Q(1,2)或(1, 2)【點睛】涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數的關系采用設而不求”整體帶入”等解法 2Q2Q .某養雞廠在荒山上散養天然土雞， 城里有 7 7

24、個飯店且每個飯店一年有 3QQ3QQ 天需要這 種土雞，A飯店每天需要的數量是 14141818 之間的一個隨機數，去年A飯店這 3QQ3QQ 天里 每天需要這種土雞的數量x(單位：只)的統計情況如下表：X14141515161617171818頻數45456Q6Q75756Q6Q6Q6Q這 3QQ3QQ 天內(假設這 7 7 個飯店對這種土雞的需求量一樣)，養雞廠每天出欄土雞7a 14 a 18只，送到城里的這 7 7 個飯店，每個飯店a只，每只土雞的成本是 4Q4Q 元， 以每只 7Q7Q 元的價格出售，超出飯店需求量的部分以每只56 a元的價錢處理. .(I)若a 16，求養雞廠當天在A

25、飯店得到的利潤y(單位：元)關于需求量x(單 位：只，x N*)的函數解析式；(n)以表中記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生時的概率，若養雞廠計劃一天出欄 112112 只或 119119 只土雞，為了獲取最大利潤，你認為養雞廠一天應該出欄112112 只還是 119119 只？4 2y 4tyYQ4t 416 t兇_2_2J 4YQt呼4YQ第2323頁共 2222 頁【答案】(I)y30X，X 16x N*； (n)119119 只. .480,x 16比較即可得出結論 【詳解】記Y表示養雞廠當天在一個飯店獲得的利潤可取 420420, 450450, 480480,P4200.15,P

26、4500.2,P 4800.65,丫1的分布列為:丫1420420450450480480P0.150.150.20.20.650.65E 420 0.15 450 0.2 480 0.65 465,若出欄 119119 只，則a 17,記丫2表示養雞廠當天在一個飯店獲得的利潤當a 17時，y31X 17，X 17x N510,x 17【解析】(I)根據題意，可求出利潤y關于需求量x的函數解析式:14 a y30a, xx 16a2a ,x axN,即可求出當a16時，y關于x的解析式;( (n) )根據離散型分布特點,分類討論,求出出欄112112 只和出欄119119 只時的分布列和期望,

27、(I)當x a時，y70 405640 a x214 a x 16a a,當x a時，y30a,14 a16a2a ,x30a, xaa 16時，y30 x, x16480, x16n)若出欄112112 只，貝y a16(I)知，當當a16時，y當(由30 x,x480, x1616第2424頁共 2222 頁丫2可取 417417, 448448, 479479, 510510,P4170.15,PY，4480.2,P Y,4790.25,PY 5100.4,丫2的分布列為：丫2417417448448479479510510P0.150.150.20.20.250.250.40.4E丫2

28、417 0.15 448 0.2 479 0.25 510 0.4 475.9. .綜上可知，7E丫7E丫2，則養雞廠出欄 119119 只時，利潤最大. .【點睛】本題考查求函數的解析式以及離散型分布列和期望，考查利用已學知識解決實際利潤問題，考查解題和計算能力. .2Lx-02121.已知函數f(x)4e2, g(x)g(x) ln(xln(x a).a).2x, x 0(1) 若 f f (x)(x) ,g(x)有公共點M，且在點M處有相同的切線，求點M的坐標；(2) 判定函數h(x) f (x) g(x)在0,)上的零點個數. .In 2【答案】(1 1)M的坐標為(2e,1)或, l

29、n2. .( 2 2)見解析【解析】(1 1)設M xg,yo，分和 x x00 0 兩種情況討論，每種情況下利用兩個函數在x x0處的導數值和函數值相等建立方程求解(2 2)結合(1 1)中得到的結論，分a e、a e、e a, 1、a 1四種情況討論【詳解】(1 1)設M xQ,yQ,第2525頁共 2222 頁則當x0-Q時,2XQ4e2In XQa (*)由()()得：xQ對函數(x)XQ2e22e2XQ2x虧In4e2故(x)為增函數，且綜上,(2)_(*)XQa代入()()得:2e2(2e)2x0In XOaQ Q 時12 XQM的坐標為由(1 1)知:(2e,1)或2XQ4e2I

30、n岑XQIn x，求導得:Q 故xQ2eXQ2e時,e時，h (x)h(x)有唯一零點為:h(x)有唯一零點 e時，h(x)而h(Q)In(x)2e2x2e2lnxQ2x0In122 2 . .2XQIn 2Vh(x)2x . I2In(x4ea)x2e22x4e21h (x)x e2e21(x e)2Q，2e,h(x)h(2e) Q,2xIn(x a)2In(x4ee)Qh(x)無零點. .a, 1時，h(x)在Q,)上至多 1 1 個零點,In a-0, h(2e)1 In(2e a) Q.x故h(x)在(Q,2e),(2e,)上各 1 1 個零點. .x1當a 1時，h (x)2. .滿

31、足：h (Q)2e x ah(x)在(Q,)上至少 2 2 個零點. .時，h(x)h (2e) Q,故在(Q,2e)上，h (x)僅 1 1 個零點. .設為m，在(Q, m)上，h(x)為減函數，在(m,)上，h(x)為增函數. .而h(Q) - Q, h(m) h(Q) Q,x時,h(x)第2626頁共 2222 頁故僅在(m，)上有 1 1 個零點. .綜上可得：當a e時，h(x)有 o o 個零點；當a e或a 1時，有 1 1 個零點;當e a, 1時，h(x)有 2 2 個零點. .【點睛】本題考查的是導數的幾何意義及利用導數研究函數的零點個數，屬于壓軸題32cos242sin248，再利用x(n)將直線|的參數方程代入橢圓C的直角坐標方程整理得2 23 sin t 12cos 8sin t 320,利用A,B中點為M 2,1,且直線過M 2,1,利用參數的幾何意義求解【詳解】x 2 tcos(因為直線l的參數方程為丫1 tsin，且3，x 2所以2222 .在平面直角坐標系xOy中，直線I的參數方程為x 2 t cos y 1t si n(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，橢圓C的極坐標方程為483co