1、第4節直角坐標系下三重積分的計算我們直接給出三重積分，的計算方法不追求它的嚴格證明，只要求同學們理解、記住、練熟下面的計算方法步驟。（參看圖4.1）(1) 將積分區域投影到面，得投影區域(2) 以的邊界曲線為準線，作一個母線平行于軸的柱面柱面與閉區域的邊界曲面相交將分割為上、下兩片曲面；，且則，（二重積分里面套一個定積分。稱為二套一方法。）只要你會做里面的定積分，再會做外面的二重積分，三重積分就算出來了。（測）約定：。做里層定積分的時候，視為常數，里層定積分的結果是的函數。里層積分的上下限總是外層變量的函數。圖4.1（小邊界）（大邊界）（小邊界）（大邊界）（和的找法：，過點平行于軸的直線截得截

2、線（圖4.1）。）利用圖4.1的上區域，在軸上投影，的小邊界大邊界（此時積分區域表示為），我們可以進一步把外層的二重積分寫成二次積分這樣，三重積分就變成了做三次定積分，稱為三次積分。約定：。上式是先對，后對，再對的三次積分里層積分的上下限總是外層變量的函數。做里層積分時，外層變量固定為常數。同理，如果積分區域表示為將積分區域投影到面上得投影區域。，可類似地將三重積分化為 (4.2)先對，后對（或），再對（或）的三次積分。其中，的，。 若將區域投影到面得區域，可將三重積分化為 (4.3)其中，的，。上面并沒有列舉完三重積分化為三次積分的全部可能情形。由此可看到，三重積分化為三次積分的關鍵也在于將

3、積分區域用不等式組表示出來為了避免出錯，希望同學們嚴格順序：首先把三重積分變成二套一，再把二套一變成三次積分。小技巧：如果你只熟悉“同理”前計算方法，在整個題中，改一下（比如說把改成把改成），就可變成“同理”前的計算方法。結果不變。（黑板解析）思考題：1若穿過區域且平行于對應坐標軸的直線與的邊界曲面的交點多于兩個時，如何化三重積分為三次積分？（分割。）【例4.1】將三重積分化為三次積分，其中為由曲面，及三個坐標面所圍成的位于第一卦限的部分解畫出兩張曲面和，就得到積分區域（見圖4.2）。將區域分別向三個坐標面投影，有三種不同的解法(1) 將區域向面投影，得，的小邊界，大邊界。區域的不等式組表示式

4、為，在軸上的投影，圖4.2 的小邊界大邊界。所以 (2) 將區域向面投影，得。的小邊界，大邊界。在軸上的投影內，的小邊界大邊界。積分區域表示為所以(3) 將區域向面投影，得。的小邊界，大邊界有兩個表示式和（過內的任一點，作平行于軸的直線穿過內部，發現當點位于曲面的交線在面上的投影曲線的兩側時，過點的直線與區域的邊界曲面的交點落在不同曲面上：當點時，直線上位于內部的點的坐標滿足；當點時，直線上位于內部的點的坐標滿足。）故此時應將劃分成兩部分，由上面的討論知，這兩部分的表示式分別為：，所以 由此題可看到，選擇適當的投影面，可使積分計算簡便【例4.2】計算三重積分，其中由曲面，所圍成的閉區域解如圖4

5、.3所示，畫出就得到積分區域。將積分區域向面投影，得投影區域由曲線及圍成可求兩曲線的交點為，故可得，的小邊界大過邊界。積分區域表示為圖4.3 所以 思考題：2將上述積分區域分別向和面投影，并寫出對應的三次積分的表示式下面介紹計算三重積分的另一方法。（1）把往軸投影得；（2）任意給定，用平面截得截面（與有關）；則 做里層二重積分時，把視為常數。此稱一套二方法。如果你會計算里層的二重積分，再會計算外層的定積分，三重積分就算出來了。約定：。類似地，（1'）把往投影得；（2'）任意給定，用平面截得截面（與有關）；則（1"）把往投影得；（2"）任意給定，用平面截得截面

6、（與有關）；則【例4.3】計算，其中是由三個坐標面與平面圍成的閉區域解1 將積分區域向面投影（圖4.4），得，的小邊界大過邊界。區域可表示為，則有 解2因為被積函數，只與變量有關，而表示區域的面積，所以，我們可以用一套二方法計算往軸投影得；任意給定，用平面截區域得三角形（圖4.5）。此三角形的面積為。故圖4.4 圖4.5 方法總結：當被積函數與（或）無關時，用先往（或）軸投影的一套二方法計算特別簡單。一般情況用二套一方法計算三重積分，只是為了簡便才用一套二方法。【例4.4】計算，其中由，圍成的閉區域解被積函數，只與變量無關，用先往軸投影的一套二方法計算。往軸投影得。任意給定，用平面截得半徑為的

7、圓（圖4.6）所以圖4.6 圖4.7 【例4.5】計算三重積分，其中由曲面，圍成的閉區域解求兩曲面的交線的投影柱面，交線的投影柱面的方程為：，如圖4.7所示，將積分區域向面投影，得投影區域為橢圓的小邊界大邊界（圖4.7）。得 ，因為里層積分（固定為常數）的被積函數是的奇函數，而積分區間關于點對稱，里層積分為0，可得事實上，在此題中，因積分區域關于面是對稱的，而被積函數關于是奇函數，直接可得類似于二重積分中的關于對稱性和函數的奇偶性的討論，三重積分的對稱性與函數的奇偶性有下面結論：若積分區域關于面對稱，被積函數關于是奇函數，則有若積分區域關于面對稱，被積函數關于是偶函數，則有，其中是區域位于面上

8、方的部分區域其余的兩種情形類似。若積分區域關于面對稱，被積函數關于是奇函數，則有若積分區域關于面對稱，被積函數關于是偶函數，則有，其中是區域位于面前方的部分區域若積分區域關于面對稱，被積函數關于是奇函數，則有若積分區域關于面對稱，被積函數關于是偶函數，則有，其中是區域位于面右方的部分區域習題10A類1化三重積分為三次積分*(1) 由，圍成；(2) 由，圍成；(3) ，圍成；(4) ，及所圍成解 （2）往面投影得圓的小邊界大邊界。所以往或面投影很復雜，略。2計算，3求，由，圍成*4求，由，及圍成5求，由，及圍成6求，由，及圍成7求，由，圍成解 被積函數與無關，用先往軸投影的一套二方法簡單。往軸投影得。任意給定，用截得圓*8計算，由，及圍成9計算，由，及圍成10利用三重積分計算曲面所圍的立體的體積(1) ，和；(2)