1、機械優(yōu)化設(shè)計期末復(fù)習(xí)題一、填空題1.組成優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的三要素是 設(shè)計變量 、 目標(biāo)函數(shù) 、 約束條件 。2.函數(shù)在點處的梯度為，海賽矩陣為3.目標(biāo)函數(shù)是一項設(shè)計所追求的指標(biāo)的數(shù)學(xué)反映，因此對它最基本的要求是能用來評價設(shè)計的優(yōu)劣，同時必須是設(shè)計變量的可計算函數(shù) 。4.建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的基本原則是確切反映 工程實際問題，的基礎(chǔ)上力求簡潔 。5.約束條件的尺度變換常稱 規(guī)格化，這是為改善數(shù)學(xué)模型性態(tài)常用的一種方法。 6.隨機方向法所用的步長一般按 加速步長 法來確定，此法是指依次迭代的步長按一定的比例 遞增的方法。 7.最速下降法以 負(fù)梯度 方向作為搜索方向，因此最速下降法又稱為 梯度法，其

2、收斂速度較 慢 。8.二元函數(shù)在某點處取得極值的必要條件是 , 充分條件是該點處的海賽矩陣正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通過增加變量將等式約束 優(yōu)化問題變成 無約束優(yōu)化問題，這種方法又被稱為 升維 法。10改變復(fù)合形形狀的搜索方法主要有反射，擴張，收縮，壓縮 11坐標(biāo)輪換法的基本思想是把多變量 的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為 單變量 的優(yōu)化問題12在選擇約束條件時應(yīng)特別注意避免出現(xiàn) 相互矛盾的約束， ，另外應(yīng)當(dāng)盡量減少不必要的約束 。13目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1, 空間中描述出來，為了在n維空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用 目標(biāo)函數(shù)等值面 的方法。14.數(shù)學(xué)規(guī)劃法的迭代公式

3、是 ，其核心是 建立搜索方向， 和 計算最佳步長 。15協(xié)調(diào)曲線法是用來解決 設(shè)計目標(biāo)互相矛盾 的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題的。16.機械優(yōu)化設(shè)計的一般過程中， 建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型 是首要和關(guān)鍵的一步，它是取得正確結(jié)果的前提。二、選擇題1、下面 方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法B、共軛梯度法C、牛頓型法D、DFP法2、對于約束問題根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷為 ，為 。A內(nèi)點；內(nèi)點 B. 外點；外點 C. 內(nèi)點；外點 D. 外點；內(nèi)點3、內(nèi)點懲罰函數(shù)法可用于求解_優(yōu)化問題。A 無約束優(yōu)化問題 B只含有不等式約束的優(yōu)化問題 C 只含有等式的優(yōu)化問題 D 含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題4、拉格朗

4、日乘子法是求解等式約束優(yōu)化問題的一種經(jīng)典方法，它是一種_。A、降維法B、消元法C、數(shù)學(xué)規(guī)劃法 D、升維法5、對于一維搜索，搜索區(qū)間為a，b，中間插入兩個點a1、b1，a1<b1，計算出f(a1)<f(b1)，則縮短后的搜索區(qū)間為_。A a1，b1 B b1，b C a1，b D a，b1 6、_不是優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A設(shè)計變量 B約束條件 C目標(biāo)函數(shù) D 最佳步長7、變尺度法的迭代公式為xk+1=xk-kHkf(xk)，下列不屬于Hk必須滿足的條件的是_。A. Hk之間有簡單的迭代形式 B.擬牛頓條件C.與海塞矩陣正交 D.對稱正定8、函數(shù)在某點的梯度方向為函數(shù)在該點

5、的 。A、最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D、下降方向9、下面四種無約束優(yōu)化方法中，_在構(gòu)成搜索方向時沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。A 梯度法 B 牛頓法 C 變尺度法 D 坐標(biāo)輪換法10、設(shè)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處 。A 正定 B 半正定 C 負(fù)定 D 半負(fù)定11、通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是 A 牛頓法 B 梯度法 C 共軛梯度法 D 變尺度法12、 一維搜索試探方法黃金分割法比二次插值法的收斂速度 。A、慢B、快C、一樣D、不確定13、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法黃金分割法的

6、敘述，錯誤的是 ，假設(shè)要求在區(qū)間a，b插入兩點1、2，且1<2。A、其縮短率為0.618B、1=b-（b-a）C、1=a+（b-a） D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。14、與梯度成銳角的方向為函數(shù)值 方向，與負(fù)梯度成銳角的方向為函數(shù)值 方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值 方向。A、上升B、下降C、不變D、為零15、二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點就是 。A、等值線族的一個共同中心 B、梯度為0的點C、全局最優(yōu)解 D、海塞矩陣正定的點16、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為 向量。A 相切 B 正交C 成銳角D 共軛17、下列關(guān)于共軛梯度法的敘述，錯誤的是 。A 需要求海賽矩陣

7、B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個角度 C 共軛梯度法具有二次收斂性 D 第一步迭代的搜索方向為初始點的負(fù)梯度18、下列關(guān)于內(nèi)點懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是 。A 可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。 B 懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點應(yīng)選擇一個離約束邊界較遠(yuǎn)的點。 D 初始點必須在可行域內(nèi)三、問答題1什么是內(nèi)點懲罰函數(shù)法？什么是外點懲罰函數(shù)法？他們適用的優(yōu)化問題是什么？在構(gòu)造懲罰函數(shù)時，內(nèi)點懲罰函數(shù)法和外點懲罰函數(shù)法的懲罰因子的選取有何不同？ 1）內(nèi)點懲罰函數(shù)法是將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代點在可行域內(nèi)逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點。內(nèi)點法只能用來求解具有不

8、等式約束的優(yōu)化問題。 內(nèi)點懲罰函數(shù)法的懲罰因子是由大到小，且趨近于0的數(shù)列。相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為 為懲罰因子的縮減系數(shù)，其為小于1的正數(shù)，通常取值范圍在2）外點懲罰函數(shù)法簡稱外點法，這種方法新目標(biāo)函數(shù)定義在可行域之外，序列迭代點從可行域之外逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點。外點法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。外點懲罰函數(shù)法的懲罰因子，它是由小到大，且趨近于的數(shù)列。懲罰因子按下式遞增，式中為懲罰因子的遞增系數(shù)，通常取2為什么說共軛梯度法實質(zhì)上是對最速下降法進行的一種改進？.答：共軛梯度法是共軛方向法中的一種，在該方法中每一個共軛向量都依賴于迭代點處的負(fù)梯度構(gòu)造出來的。共軛梯度法的

9、第一個搜索方向取負(fù)梯度方向，這是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個角度，也就是對負(fù)梯度進行修正。所以共軛梯度法的實質(zhì)是對最速下降法的一種改進。四、計算題1、用外點法求解此數(shù)學(xué)模型2 將寫成標(biāo)準(zhǔn)二次函數(shù)矩陣的形式。3 用外點法求解此數(shù)學(xué)模型 ：4 求出的極值及極值點。5 用外點法求解此數(shù)學(xué)模型 ：6用內(nèi)點法求下列問題的最優(yōu)解：（提示：可構(gòu)造懲罰函數(shù) ，然后用解析法求解。）。7.設(shè)已知在二維空間中的點，并已知該點的適時約束的梯度，目標(biāo)函數(shù)的梯度，試用簡化方法確定一個適用的可行方向。8. 用梯度法求下列無約束優(yōu)化問題：Min F(X)=x12+4x22，設(shè)初始點取為X(0)=2 2T，

10、以梯度模為終止迭代準(zhǔn)則，其收斂精度為5。9. 對邊長為3m的正方形鐵板，在四個角處剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？建立該問題的優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型。10. 已知約束優(yōu)化問題：試以為復(fù)合形的初始頂點，用復(fù)合形法進行一次迭代計算。11. 使用黃金分割法確定函數(shù)的極值點。初始點。（使用進退法先確定初始區(qū)間）12. 用阻尼牛頓法求函數(shù)的極小點。13. 利用庫恩-塔克條件判斷點是不是下列優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的極值點？四、解答題1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f(X)=1.5x12+0.5x22- x1x2-2x1的最優(yōu)解，設(shè)初始點x(0)=-2，4T,選代精度=0.02（迭代一步）。2

11、、試用牛頓法求f( X )=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點x(0)=2,1T。3、設(shè)有函數(shù) f(X)=x12+2x22-2x1x2-4x1，試?yán)脴O值條件求其極值點和極值。4、求目標(biāo)函數(shù)f( X )=x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10的極值和極值點。5、試證明函數(shù) f( X )=2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在點1，1，-2T處具有極小值。6、給定約束優(yōu)化問題 min f(X)=(x1-3)2+(x2-2)2 s.t. g1(X)=x12+x22-50 g2(X)=x1+2x2-40 g3(X)=-x10 g4(X)=-x

12、20 驗證在點Kuhn-Tucker條件成立。7、設(shè)非線性規(guī)劃問題 用K-T條件驗證為其約束最優(yōu)點。8、用共軛梯度法求函數(shù)的極小點。9、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)= x1+x2，受約束于：g1(X)=-x12+x20g2(X)=x10寫出內(nèi)點罰函數(shù)。10、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=( x1-1)2+(x2+2)2受約束于：g1(X)=-x2-x1-10g2(X)=2-x1-x20g3(X)=x10g4(X)=x20試寫出內(nèi)點罰函數(shù)。11、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為x的方塊并折轉(zhuǎn)，造一個無蓋的箱子，問如何截法（x取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型

13、以及用MATLAB軟件求解的程序。12、某廠生產(chǎn)一個容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。13、一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例截斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。14、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。15、薄鐵板寬20cm，折成梯形槽，求梯形側(cè)邊多長及底角多大，才會使槽的斷面積最大。寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M文件和求解命令）。16、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長度為c，高度為h，面積A=64516mm2，斜邊與底邊的夾角為，見圖1。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長s的倒數(shù)成比例關(guān)系（s只包括底邊和兩側(cè)邊，不計頂邊）。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型。并用matlab軟件的優(yōu)化工具