1、1. 分別用Euler法和ode45解下列常微分方程并與解析解比較： (1) function t,y = euler(f,ts,y0,h) t=ts(1):h:ts(2);y(1)=y0;for i=1:length(t)-1 y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i);endt=t'y=y' endf=(t,y)t+y;t1,y1=euler(f,0,3,1,0.05);t2,y2=ode45(f,0,3,1);plot(t1,y1,'.-',t2,y2,'ro')hold ony3=dsolve('Dy=x+y',&

2、#39;y(0)=1','x')ezplot(y3,0,3)hold offlegend('euler','ode45','解析解');（2）f=(t,x)2*x(2);5*x(2)+3*x(1)+45*exp(2*t);t1,y1=ode45(f,0,2,2,1);plot(t1,y1)2. 求一通過原點的曲線，它在處的切線斜率等于若上限增為1.58，1.60會發生什么？ function dy = odefun_2(x,y)dy=2*x+y2;dy=dy(:);endt1,y=ode45('odefun_2&#

3、39;,0,1.58,0)plot(t1,y);t2,y=ode45('odefun_2',0,1.60,0)plot(t2,y);3. 求解剛性方程組：function Dy=fun(t,y)Dy=zeros(2,1);Dy(1)=-1000.25*y(1)+999.75*y(2)+0.5;Dy(2)=999.75*y(1)-1000.25*y(2)+0.5;t,y=ode15s('fun',0,5,1,-1);plot(t,y(:,1),'o',t,y(:,2),'k-','LineWidth',2);4. (

4、廣告效應) 某公司生產一種耐用消費品，市場占有率為5%時開始做廣告，一段時間的市場跟蹤調查后，該公司發現：單位時間內購買人口百分比的相對增長率與當時還沒有買的百分比成正比，且估得此比例系數為0.5。(1) 建立該問題的數學模型，并將解析解和數值解，并作以比較；y=0.5(1-y)y=desolve('Dy=0.5-0.5*y','y(0)=0.05')odefun=(t,y)0.5-0.5*y;t1,y1=ode45(odefun,0,10,0.05);t2=0:0.1:10;y2=1-(19*exp(-t2/2)/20;plot(t1,y1,'o

5、9;,t2,y2,'k');(2) 廠家問：要做多少時間廣告，可使市場購買率達到80%？ 1-（19*exp(-t/2)）/20=0.85. (腫瘤生長) 腫瘤大小V生長的速率與V的a次方成正比，其中a為形狀參數，0£a£1;而其比例系數K隨時間減小，減小速率又與當時的K值成正比，比例系數為環境參數b。設某腫瘤參數a=1, b=0.1, K的初始值為2，V的初始值為1。問(1)此腫瘤生長不會超過多大？k=-bk,v=k*va,得k=-0.1k,v=kv,且k(0)=2,v(0)=1,k,v=dsolve('Dk=-0.1*k','Dv

6、=k*v','k(0)=2','v(0)=1','t');t=0:0.1:100;v=exp(20)*exp(-20*exp(-t/10);plot(t,v);(2) 過多長時間腫瘤大小翻一倍？exp(20)*exp(-20*exp(-t/10)=2(3) 何時腫瘤生長速率由遞增轉為遞減？v與v的關系為v=2*exp(20-t/10)*exp(-20*exp(-t/10);t1=0:0.1:100;v1=2*exp(20-20-t1/10).*exp(-20*exp(-t1/10);plot(t1,v1)6. (生態系統的振蕩現象)第一次

7、世界大戰中，因為戰爭很少捕魚，按理戰后應能捕到更多的魚才是。可是大戰后，在地中海卻捕不到鯊魚，因而漁民大惑不解。令x1為魚餌的數量，x2為鯊魚的數量，t為時間。常微分方程組為 式中a1, a2, b1, b2都是正常數。第一式魚餌x1的增長速度大體上與x1成正比，即按a1x1比率增加, 而被鯊魚吃掉的部分按b1x1x2的比率減少；第二式中鯊魚的增長速度由于生存競爭的自然死亡或互相咬食按a2x2的比率減少，但又根據魚餌的量的變化按b1x1x2的比率增加。對a1=3, b1=2, a2=2.5, b2=1, x1(0)=x2(0)=1求解。畫出解曲線圖和相軌線圖，可以觀察到魚餌和鯊魚數量的周期振蕩現象。代入a1=3, b1=2, a2=2.5, b2=1, x1(0)=x2(0)=1，x1=3x1-2x1x2, x2=-2.5x2+x1x2;function Dx=fun(t,x)