1、 曲線擬合的理解和應用 曹明軒 精儀學院 1014202029曲線擬合在我們的實驗測試中，都會得到海量的數據。為了更好地了解這些數據或者從數據中，做出預測、判斷，給實驗者提供重要的參考。我們必須對得到的數據做擬合，得到能充分反映數據的內在規律的函數。在所有的擬合方法之中，曲線擬合具有重要的應用前景 。曲線擬合，俗稱拉曲線，是一種把既有數據通過數學方法代入一個數學表達式的方法。科學和工程問題可以通過諸如采樣、實驗等方法獲得若干離散的數據，根據這些數據，我們往往希望得到一個連續的函數（也就是曲線）或者更加密集的離散方程與已知數據相吻合，這過程就叫做擬合。曲線擬合主要是可以分為三步：確定曲線擬合的函

2、數模型在科學實驗和社會實踐中,我們常常需要觀測很多數據的規律, 通過實驗或者觀測得到量x與y的一組數據對（xi，yi）(i=1,2, ，N),其中xi是彼此不同的。我們希望用一類與數據本質規律相適應的解析表達式，y=f(x,c)來反映量x與y之間的依賴關系，即在一定意義下“最佳”地逼近或擬合已知數據f(x,c)。常稱作擬合模型，當c在和x滿足中線性關系時，稱為線性模型，否則稱為非線性模型。線性模型是回歸模型中最常見的一種，但在實際中，有時很難確定參數之間存在著何種關系，是線性還是非線性， 如果是非線性，那是多項式函數、 冪函數、指數函數、對數函數等，甚至是它們的復合函數，有時還需要分段分析，因

3、此在整個擬合過程中，擬合曲線函數模型的確定是最困難的。對于擬合函數的模型確定，一般來說，主要有觀察法，近似法以及計算法。目前使用比較多的是觀察法。觀察法是利用數學工具對已有的數據點的分布，初步確定其最可能的函數關系，這種方法最大的特點是簡單直觀。確定法方程求解參數實際上確定法方程求解參數就是對對誤差平方和最小值的求解，假設已知數據點（xi，yi）（i=0,1，.，m），為所有的次數不超過m的多項式構成的函數類，現求，使得 由于上式為多元函數，其最小值存在的必要條件是其對應偏導等于零，由此可得， j=0,1，.，n 即 j=0,1，.，n上式稱為法方程，通過該方程可求出唯一解ak（k=0,1，.

4、，n），從而確定擬合函數。關于，當k=1時，為線性擬合；當k1，為多項式擬合。如果函數模型為其他非線性函數，在整個求解過程中應當先將非線性函數轉化為線性函數，再根據上面的過程計算。此外，上述過程也可以通過Matlab自帶的函數polyfit自動計算。這為廣大工程技術人員的設計大大的減小了計算量。曲線擬合性能檢驗最后，當擬合曲線模型很難通過一般方法確定時，往往需要通過分析若干可能的函數模型后，經過實際計算后再進行比對，最終選定較好的模型。替班來說，最小誤差平方和越小說明曲線擬合越好，有些文獻也通過相關系數R的值來判斷擬合的優劣。使用舉例在摩擦試驗中，當量電壓為-285V時，伺服電機開啟后，時間與

5、速度的實際測試結果如表中所示，表中的數據量足夠大，可以利用這些數據來進行擬合。得到擬合曲線后的好處是我們可以將物理問題數學化，如果模型選的好，該數學模型就可以指導我們的工作，為我們的設計提出指導依據。現在我們就利用MATLAB對現有的數據進行曲線擬合，首先將數據輸入到matlab中，并去掉其中的壞點（明顯不符合規律的點，這些點是由于一起的誤差產生的），的數據點的圖像：根據力學物理知識，當加速度一定時，時間和速度是成一定比例的，問題是不知道加速度如何變化，所以時間和速度并不一定是線性關系，另外從上圖中看不出明顯的數學關系，所以對本體進行了線性，多項式二次，三次，五次，冪函數，對函數曲線擬合，并比

6、較最優擬合。下面是各種擬合的結果：1.線性擬合得到線性擬合函數：y=1.352x+0.0753誤差平方和 e=0.03932.多項式二次擬合得到線性擬合函數：-0.2054x2差平方和 e=0.0033.多項式三次擬合得到線性擬合函數：0.8401x3+2.386x2-2.5048x+0.0155差平方和 e=0.00294. 對數函數擬合， 得到的模型函數為y=0.2028logx+0.7539 誤差平方和e=0.08855. 冪函數擬合 得到的模型函數為1.3647x0.8339 誤差平方和e=0.0273最后經過比對發現，二次擬合和三次擬合誤差平方和最小，因此這種擬合為這幾種當中最佳的方案。但是多項式擬合的擬合次數越高，計算量則越大，所以二次擬合更為合適。總結 物理模型的建立離不開數學工具，物理過程的數學化是對整個研究過程的深化，數學模型的建立將是整個物理過程清晰化，完整化。曲線擬合則是一種對現有數據進