1、有理函數(shù)積分法 例1. . I = .類(lèi)型 . (*) 例2. ) =. 例3. =. 例4. .類(lèi)型 對(duì), 分解為與的線(xiàn)性組合. 對(duì)后者, 配方后用(*).一般地, 對(duì)(P,Q為多項(xiàng)式), 按下列步驟積分: 例 第一步 為假分式時(shí)用除法分解 為多項(xiàng)式與真分式之和; 第二步 在實(shí)數(shù)域內(nèi)把分母分解為質(zhì) (x - 2) (x 2 + 1) 2因式之積. 設(shè)為a (x - l) k (x 2 + bx + c) l ; 第三步 用待定系數(shù)法把第一步得到的真分式分解為部分分式. 第二步中的因 =式(x - l) k 對(duì)應(yīng)的部分分式為 2x2 + 2x + 13 = a (x 2 + 1) 2 + (b

2、x + c) (x - 2) (x 2+ + +, 因式(x 2 +1) + (dx + e) (x - 2 ). (*)+bx+ c) l對(duì)應(yīng)的部分分式為 a + b = 0, -2b + c = 0, 2a + b -2c + d = 0, + + - 2b + c - 2d + e = 0, a - 2c - 2e = 13.第四步 對(duì)部分分式積分: 解得a = 1, b = - 1, c = - 2, d = - 3, e = - 4. =. 對(duì), 已見(jiàn)上. . 注 解方程組確定a, b, c, d, e時(shí), 可在(*)中令x = 2得到a =1. 在下面分解部分分式的練習(xí)中, 也可如

3、此做. . 在一些特殊情形, 無(wú)需死板地用待定系數(shù)法分解部分分式:. 例如., 或.四. 被積函數(shù)可有理化的積分 R (sin x, cos x) dx ; .R (tan x) dxR (t ); R (sin 2 x, cos 2 x) .若R (sin x, cos x)滿(mǎn)足R (-sin x, cos x) = - R (sin x, cos x), 即關(guān)于sin x為奇函數(shù), 則關(guān)于sin x為偶函數(shù), 可表示為sin 2 x, cos x的有理函數(shù). 因此R (sin x, cos x) dx = sin x dx = R1 (sin2 x, cos x) d (- cos x)

4、可以用代換cos x = t 化為有理函數(shù)的積分. 類(lèi)似地, 若R (sin x, cos x)滿(mǎn)足R (sin x, -cos x) = -R (sin x, cos x), 則可用代換sin x = t . 若滿(mǎn)足R (-sin x, - cos x) = R (sin x, cos x), 則R (tan x cos x, cos x)關(guān)于cos x 為偶函數(shù), R (sin x, cos x) = R (tan x cos x, cos x) = R1 (tan x, cos 2 x) = R2 (tan t), 可用代換tan x = t . 其中t = tan. 法二 判斷代換:(

5、tan x = t )(tan x = t)(cos x= t)(sinx=t)(tanx=t)() R (x ,): x = a sin q 或a cosq ; R (x,): x = a tan q ;R (x ,): x =; R (x ,) : = t (=);R () : . = 6(arctan t - ln|1 + t2| + ln | t | - t ) + C , 其中. -2 arctan t + C , 其中 t = . 按有理化的思想, 對(duì)R (x,), 也可設(shè)= t m x有理化, 因?yàn)? t - x時(shí)R (x ,)dx = R (,)dt .一般地, 對(duì)R (x ,

6、) 有下列*Eular代換: 1a 0時(shí)設(shè) = t m x, 此時(shí)x =, =. 類(lèi)似地, c 0時(shí)可設(shè) = tx - .2a 0時(shí)由ax2 + bx + c 0可知ax2 + bx + c有實(shí)根. 設(shè)= = t (x - a), 則,=.* I =. 令= t - x, 則x =, dx =,I = + C , 其中 t = x +.或: 令= tx -1, 得, I = -2=,其中. *其它代換舉例:;(x = a cos 2 q + b sin 2q, x - a = (b - a) sin 2q , b - x = (b - a) cos 2q ) =. 注 以上兩題用前面所說(shuō)的代換, 是和= t (x - a). . 雜題(口答方法). . . . (分部). (代