1、機械振動和機械波考點例析（一二. 分析與解析典型問題問題1：必須弄清簡諧運動的判斷方法。要判定一個物體的運動是簡諧運動，首先要判定這個物體的運動是機械振動，即看這個物體是不是做的往復運動；看這個物體在運動過程中有沒有平衡位置；看當物體離開平衡位置時，會不會受到指向平衡位置的回復力作用，物體在運動中受到的阻力是不是足夠小。然后再找出平衡位置并以平衡位置為原點建立坐標系，再讓物體沿著x軸的正方向偏離平衡位置，求出物體所受回復力的大小，若回復力為F=kx，則該物體的運動是簡諧運動。例1 兩根質量均可不計的彈簧，勁度系數分別為K1、K2，它們與一個質量為m的小球組成的彈簧振子，如圖

2、1所示。試證明彈簧振子做的運動是簡諧運動。證明：以平衡位置O為原點建立坐標軸，當振子離開平衡位置O時，因兩彈簧發生形變而使振子受到指向平衡位置的合力。設振子沿X正方向發生位移x，則物體受到的合力為F=F1+F2=k1xk2x=（k1+k2）x=kx。所以，彈簧振子做的運動是簡諧運動。 問題2：必須弄清簡諧運動中各物理量的變化特點簡諧運動涉及到的物理量較多，但都與簡諧運動物體相對平衡位置的位移x存在直接或間接關系：位移回復力加速度位移勢能動能速度如果弄清了上述關系，就很容易判斷各物理量的變化情況。例2 彈簧振子在光滑的水平面上做簡諧運動，在振子向平衡位置運動的過程中（

3、0;   ）A. 振子所受的回復力逐漸增大     B. 振子的位移逐漸增大C. 振子的速度逐漸減小           D. 振子的加速度逐漸減小。分析與解：在振子向平衡位置運動的過程中，易知x減小，根據上述關系很容易判斷，回復力F、加速度a減小；速度V增大。即D選項正確。 問題3：必須弄清簡諧運動的對稱性簡諧運動的對稱性是指振子經過關于平衡位置對稱的兩位置時，振子的位移、回

4、復力、加速度、動能、勢能、速度、動量等均是等大的（位移、回復力、加速度的方向相反，速度動量的方向不確定）。運動時間也具有對稱性，即在平衡位置對稱兩段位移間運動的時間相等。理解好對稱性這一點對解決有關問題很有幫助。例3 如圖2所示。彈簧振子在振動過程中，振子經a、b兩點的速度相同，若它從a到b歷時0.2s，從b再回到a的最短時間為0.4s，則該振子的振動頻率為（    ）A. 1Hz       B. 1.25Hz        

5、0; C. 2Hz          D. 2.5Hz    分析與解：振子經a、b兩點速度相同，根據彈簧振子的運動特點，不難判斷a、b兩點對平衡位置（O點）一定是對稱的，振子由b經o到a所用的時間也是0.2s，由于“從b再回到a的最短時間是0.4s”，說明振子運動到b后是第一次回到a點，且ob不是振子的最大位移。設圖中的c、d為最大位移處，則振子從b經c到b歷時0.2s，同理，振子從a經d到a，也歷時0.2s，故該振子的周期T=0.8S，根據周期和頻率互為倒數的關

6、系，不難確定該振子的振動頻率為1.25Hz。故本題答B。 例4 如圖3所示，一輕質彈簧豎直放置，下端固定在水平面上，上端處于a位置，當一重球放在彈簧上端靜止時，彈簧上端被壓縮到b位置。現將重球（視為質點）從高于位置的c位置沿彈簧中軸線自由下落，彈簧被重球壓縮到最低位置d。以下關于重球運動過程的正確說法應是（    ）A. 重球下落壓縮彈簧由a至d的過程中，重球做減速運動。B. 重球下落至b處獲得最大速度。C. 重球下落至d處獲得最大加速度。D. 由a至d過程中重球克服彈簧彈力做的功等于小球由c下

7、落至d處時重力勢能減少量。    分析與解：重球由c至a的運動過程中，只受重力作用，做勻加速運動；由a至b的運動過程中，受重力和彈力作用，但重力大于彈力，做加速度減小的加速運動；由b至d的運動過程中，受重力和彈力作用，但重力小于彈力，做加速度增大的減速運動。所以重球下落至b處獲得最大速度，由a至d過程中重球克服彈簧彈力做的功等于小球由c下落至d處時重力勢能減少量，即可判定B、D正確。C選項很難確定是否正確，但利用彈簧振子的特點就可非常容易解決這一難題。重球接觸彈簧以后，以b點為平衡位置做簡諧運動，在b點下方取一點，使，根據簡諧運動的對稱性，可知，重球在a

8、、的加速度大小相等，方向相反，如圖4所示。而在d點的加速度大于在點的加速度，所以重球下落至d處獲得最大加速度，C選項正確。 問題4：必須弄清簡諧運動的周期性簡諧運動具有周期性，其運動周期T的大小由振動系統本身的性質決定。理解了這一點，在解決相關問題時就不易出錯。例5 有人利用安裝在氣球載人艙內的單擺來確定氣球的高度。已知該單擺在海平面處的周期是T0。當氣球停在某一高度時，測得該單擺周期為T。求該氣球此時離海平面的高度h。（把地球看作質量均勻分布的半徑為R的球體）分析與解：設單擺的擺長為L，地球的質量為M，則據萬有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力加速度分別為：據單擺

9、的周期公式可知由以上各式可求得 例6 一彈簧振子作簡諧運動，周期為T，則下列說法中正確的是（    ）A. 若t時刻和（t+t）時刻振子運動位移的大小相等、方向相同，則t一定等于T的整數倍；B. 若t時刻和（t+t）時刻振子運動速度的大小相等、方向相反，則t一定等于T/2的整數倍；C. 若t=T，則在t時刻和（t+t）時刻振子運動的加速度一定相等；D. 若t=T/2 ，則在t時刻和（t+t）時刻彈簧的長度一定相等。分析與解：若t時刻和（t+t）時刻振子運動位移的大小相等、方向相同，表明

10、兩時刻振子只是在同一位置，其速度方向還可能相反，則t不一定是T的整數倍，故A選項錯誤。若t時刻和（t+t）時刻振子運動速度的大小相等、方向相反，這時振子可能處于平衡位置兩側的兩個對稱的位置上，也可能是兩次處于同一位置上，這都不能保證t一定是T/2的整數倍。故選項B錯誤。振子每經過一個周期，必然回到原來的位置，其對應的加速度一定相等。故選項C正確。經過半個周期，彈簧的長度變化大小相等、方向相反，即一個對應彈簧被壓縮，另一個對應彈簧被拉伸，這兩種情況下彈簧的長度不相等，可見選項D錯誤。綜上所述，本題正確答案為C。問題5：必須弄清簡諧運動圖象是分析簡諧運動情況的基本方法簡諧運動圖象能夠反映簡諧運動的

11、運動規律，因此將簡諧運動圖象跟具體運動過程聯系起來是討論簡諧運動的一種好方法。例7 如圖5中兩單擺擺長相同，平衡時兩擺球剛好接觸，現將擺球A在兩擺線所在平面內向左拉開一小角度后釋放，碰撞后，兩擺球分開各自做簡諧運動，以mA、mB分別表示擺球A、B的質量，則（    ）A. 如果mA>mB，下一次碰撞將發生在平衡位置右側；B. 如果mA<mB，下一次碰撞將發生在平衡位置左側；C. 無論兩擺球的質量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置右側；D. 無論兩擺球的質量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡

12、位置左側 。    分析與解：由于碰撞后兩擺球分開各自做簡諧運動的周期相同，任作出B球的振動圖象如圖6所示，而A球碰撞后可能向右運動，也可能向左運動，因此A球的振動圖象就有兩種情況，如圖6中A1和A2。從圖中很容易看出無論兩擺球的質量之比是多少，下一次碰撞只能發生在平衡位置。即CD選項正確。從例7可以看出，利用振動圖象分析問題非常簡便。希望同學們養成利用圖象分析問題的習慣。 問題6：會解機械振動與機械能等的綜合問題 例8 如圖7所示為一單擺的共振曲線，則該單擺的擺長約為多少？共振時擺球的最大速度大小是多少？（g取1

13、0m/s2）分析與解：這是一道共振曲線所給信息和單擺振動規律進行推理和綜合分析的題目。由題意知，當單擺共振時頻率f=0.5Hz，即，振幅A=8cm=0.08m。由得根據機械能守恒定律可得：解得 問題7：會根據共振的條件分析求解相關問題。例9 如圖8所示。曲軸上掛一個彈簧振子，轉動搖把，曲軸可帶動彈簧振子上下振動。開始時不轉動搖把，讓振子自由振動，測得其頻率為2Hz。現勻速轉動搖把，轉速為240r/min。（1）當振子穩定振動時，它的振動周期是多大？（2）轉速多大時，彈簧振子的振幅最大？    分析與解：根據圖示裝置可知，當曲轉轉動一周

14、時，給彈簧振子施加一次作用力，所以振子做受迫振動，當振子振動穩定時其振動周期等于驅動力的周期（即曲軸的轉動周期），即：T=T驅=60/240S=0.25S。要使振子做受迫振動的振幅最大，即發生共振，必須滿足f驅=f固=2Hz所以轉速為2r/s（即120r/min）時，振子振動的振幅最大 問題8：波的波速、波長、頻率、周期和介質的關系：例10 簡諧機械波在給定的媒質中傳播時，下列說法中正確的是（    ）A. 振幅越大，則波傳播的速度越快；B. 振幅越大，則波傳播的速度越慢；C. 在一個周期內，振動質元走過

15、的路程等于一個波長；D. 振動的頻率越高，則波傳播一個波長的距離所用的時間越短。分析與解：波在介質中傳播的快慢程度稱為波速，波速的大小由介質本身的性質決定，與振幅無關，所以A、B二選項錯。由于振動質元做簡諧運動，在一個周期內，振動質元走過的路程等于振幅的4倍，所以C選項錯誤；根據經過一個周期T ，振動在介質中傳播的距離等于一個波長，所以振動的頻率越高，則波傳播一個波長的距離所用的時間越短，即D選項正確。 例11 關于機械波的概念，下列說法中正確的是（    ）A. 質點振動的方向總是垂直于波的傳播方向B.

16、 簡諧波沿長繩傳播，繩上相距半個波長的兩個質點振動位移的大小相等C. 任一振動質點每經過一個周期沿波的傳播方向移動一個波長D. 相隔一個周期的兩個時刻的波形相同分析與解：質點振動的方向可以與波的傳播方向垂直（橫波），也可以與波的傳播方向共線（縱波），故A選項錯誤。相距一個波長的兩個質點振動位移大小相等、方向相同，相距半個波長的兩個質點振動位移大小相等、方向相反，B選項正確。這是由于相距半個波長的兩個質點的振動狀態相差半個周期，所以它們的位移大小相等、方向相反。波每經過一個周期就要向前傳播一個波長，但介質中的各個質點并不隨波向前遷移，只是在各自的平衡位置附近振動，向

17、前傳播的是質點的振動狀態。所以C選項錯誤。在波的傳播過程中，介質中各點做周期性的振動，相隔一個周期，各質點的振動又回到上一周期的振動狀態。因此，相隔一個周期的兩時刻波形相同。故D選項正確。波動是振動的結果，波動問題中很多知識點與振動有關系，因此要搞清波動與振動的聯系與區別，在解決問題時才能抓住關鍵。 問題9：判定波的傳播方向與質點的振動方向方法一：若知道某一時刻t的波形曲線，將波形曲線沿波的傳播方向平移一微小的距離（小于），它便是t+t時刻的波形曲線，知道了各個質點經過t時間到達的位置，質點的振動方向就可以判斷出來了。方法二：通過波的傳播方向判斷出波源的位置，在質點A靠近波源一側附近

18、（不超過）圖象上找另一質點B，若質點B在A的上方，則A向上運動，若B在A的下方，則A向下運動。即沿波的傳播方向，后振動的質點總是追隨先振動的質點來運動的。方法三：運用逆向復描波形法解答十分簡捷。即，手握一支筆，逆著波的傳播方向復描已知波形，凡復描時筆尖沿波形向上經過的質點，此刻均向上運動；凡復描時筆尖沿波形向下經過的質點，此刻均向下運動（波峰和波谷點除外）。例12 一簡諧橫波在x軸上傳播，在某時刻的波形如圖9所示。已知此時質點F的運動方向向下，則（   ）   A. 此波朝x軸負方向傳播  &#

19、160;         B. 質點D此時向下運動C. 質點B將比質點C先回到平衡位置  D. 質點E的振幅為零分析與解：本題主要考查對波的傳播方向與波上某質點運動方向間的關系的推理判斷，以及對波形圖的想像能力。對于本題，已知質點F向下振動，由上述方法可知，此列波向左傳播。質點B此時向上運動，質點D向下運動，質點C比B先回到平衡位置。在此列波上所有振動質點的振幅都是相等的。故只有A、B選項正確。 例13 簡諧橫波某時刻的波形圖如圖10所

20、示。由此圖可知（    ）A. 若質點a向下運動，則波是從左向右傳播的B. 若質點b向上運動，則波是從左向右傳播的C. 若波從右向左傳播，則質點c向下運動D. 若波從右向左傳播，則質點d向上運動分析與解：運用上述逆向復描波形法可立即判定出B、D正確。 問題10：已知波的圖象，求某質點的坐標例14 一列沿x方向傳播的橫波，其振幅為A，波長為，某一時刻波的圖象如圖11所示。在該時刻，某一質點P的坐標為（，0），經過周期后，該質點的坐標為（    ）A.（）&#

21、160;    B.（，A）      C.（，A）       D.（）分析與解：如圖11所示，波上P質點此刻的坐標為（，0），由于此列波向右傳播，據逆向復描波形法可知，此刻質點P向下運動。再過周期，它運動到負向最大位移處，其坐標變為（，A），顯然選項B正確。 問題11：已知波速V和波形，作出再經t時間后的波形圖方法一：平移法：先算出經t時間波傳播的距離x=Vt，再把波形沿波的傳播方向平移x即可。因為波動圖象的重復性，若已知波長，則波形平移n個

22、時波形不變，當x=n+x時，可采取去整n留零x的方法，只需平移x即可。方法二：特殊點法：在波形上找兩特殊點，如過平衡位置的點和與它相鄰的峰（谷）點，先確定這兩點的振動方向，再看t=nT+t，由于經nT波形不變，所以也采取去整nT留零t的方法，分別作出兩特殊點經t后的位置，然后按正弦規律畫出新波形。例15 如圖12所示，a圖中有一條均勻的繩，1、2、3、4是繩上一系列等間隔的點。現有一列簡諧橫波沿此繩傳播。某時刻，繩上9、10、11、12四點的位置和運動方向如圖b所示（其他點的運動情況未畫出），其中點12的位移為零，向上運動，點9的位移達到最大值。試在圖中畫出再經過周期時點3、4、5、

23、6的位置和速度方向，其他點不必畫（圖c的橫、縱坐標與圖a、b完全相同）。  分析與解：作某一時刻的波形圖或通過作圖確定波上某些質點的位置和速度方向問題，是一個難點問題，主要考查學生的空間想像能力和推理判斷能力。根據圖12 b 9、10、11、12各質點的振動情況，可畫出此時刻的波形圖，如圖13所示。由逆向復描波形法可確定各質點的運動（速度）方向（見圖13）。波上質點3此時在負向最大位移處，再經過3T/4，它到達平衡位置且向下運動；質點6此時在平衡位置且向下運動，再經過3T/4它將到達正的最大位移處。因此，質點3、4、5、6的位置和速度方向如圖14所示。圖14 例1

24、6 一列簡諧橫波向右傳播，波速為v。沿波傳播方向上有相距為L的P、Q兩質點，如圖15所示。某時刻P、Q兩質點都處于平衡位置，且P、Q間僅有一個波峰，經過時間t，Q質點第一次運動到波谷。則t的可能值（    ）A. 1個          B. 2個    C. 3個         D. 4個    分析與解：解答本題

25、，必須做出在題設條件下可能的波的圖形，然后才能作出判定。題中指出：“某時刻P、Q兩質點都處于平衡位置，且P、Q間僅有一個波峰”，符合這一條件的波形圖有4個，如圖15所示。顯然，Q質點第一次運動到波谷所需的時間t的可能值有4個。故D選項正確。 問題12：已知波的圖象，求波速例17 一根張緊的水平彈性長繩上的a、b兩點，相距14.0 m，b點在a點的右方，如圖16所示。當一列簡諧橫波沿此長繩向右傳播時，若a點的位移達到正極大時，b點的位移恰為零，且向下運動，經過1.00s后，a點的位移為零，且向下運動，而b點的位移達到負極大，則這簡諧橫波的波速可能等于（  

26、  ）A. 4.67m/s       B. 6m/s    C. 10m/s         D. 14m/s分析與解：本題考查振動以及波動的傳播規律，只有理解波動（圖象）傳播的規律，準確把握波動過程中的圖象關于時間和空間的周期性，才能作出確切和完整的判斷。由于波向右傳播，據“a點位移達正極大時，b點的位移恰為零，且向下運動”，可畫出此時a、b間的最簡波形，如圖17所示。因未明確a、b距離與波長

27、的約束關系，故a、b間的距離存在“周期性”。即   （n1=0，1，2，）因所給定時間與周期的關系未知，故運動時間也存在“周期性”。即 （n2=0，1，2，）因此可能的波速為  當n2=0，n1=0時，V=4.67m/s；當n2=0，n1=1時，V=2m/s；（n2=0，V隨n1增大還將減小。）當n2=1，n1=0時，V=23.3m/s；（n1=0，V隨n2的增大而增大。）當n2=1，n1=1時，V=10m/s；據以上計算數據，不可能出現B和D選項的結果，故選項A、C正確。 例18 一列橫波沿直線在空間傳播，某一時

28、刻直線上相距為d的M、N兩點均處在平衡位置，且M、N之間僅有一個波峰，若經過時間t，N質點恰好到達波峰位置，則該列波可能的波速是多少？分析與解：本題沒有給定波的傳播方向，僅告訴我們在某一時刻M、N兩點均處在平衡位置，且M、N之間僅有一個波峰。由此我們可以推想，處在直線MN上的各個質點在該時刻相對平衡位置的位移可能會有以下四種情況，即波的圖像有以下四種圖形（如圖18中A、B、C、D圖，各圖中均為左端為M，右端為N）（    ）若波的傳播方向由M到N，那么：    在A圖中，經過時間t，N恰好到達波峰，說明時間t內波向

29、右前進的距離，且，所以波速。在B圖中，經過時間t，波峰傳到N點，則波在時間t內向右前進的距離，且，所以波速。在C圖中，經過時間t，波向右前進的距離，且，所以波速。在D圖中，經過時間t，波向右前進的距離，且，所以波速。若波的傳播方向從N到M，那么：    在A圖中，質點N此時要向下振動，經過時間t，N到達波峰，則時間，在時間t內波向左前進的距離，所以波速。    在B圖中，經過時間t， N到達波峰，則時間，在此時間內波向左前進的距離，所以波速。    在C圖中，波在時

30、間t內向左前進的距離，且，所以波速。    在D圖中，質點N經過變為波峰，所以，在時間t內波向左前進的距離，所以波速。所以該列波可能的波速有五種、。其實上述解決問題的方法過于程序化，如果能夠判斷出八種情況下該時刻波形圖上的波峰在傳播方向上到N點的距離S，波速v就等于。例如：最后一種情況中，波峰在傳播方向上到N點的距離，所以波速。其它情況讀者可自行解決。 【模擬試題】1. 一物體在某行星表面受到的萬有引力是它在地球表面受到的萬有引力的14，在地球上走得準的擺鐘搬到此行星上后，此鐘的分針走一整圈所經歷的時間實際上是（  

31、;  ）A. 14h      B. 12h       C. 2h        D. 4h  2. 如圖1所示，將小球甲、乙、丙（都可視為質點）分別從A、B、C三點由靜止同時釋放，最后都到達豎直面內圓弧的最低點D，其中甲是從圓心A出發做自由落體運動，乙沿弦軌道從一端B到達另一端D，丙沿圓弧軌道從C點運動D，且C點很靠近D點。如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判斷正確的

32、是（    ）A. 甲球最先到達D點，乙球最后到達D點；B. 甲球最先到達D點，丙球最后到達D點；C. 丙球最先到達D點，乙球最后到達D點；D. 甲球最先到達D點，無法判斷哪個球最后到達D點。圖1  3. 把一個篩子用四根彈簧支起來，篩子上裝一個電動偏心輪，它每轉一周給篩子一個驅動力，這就做成了一個共振篩，篩子在做自由振動時，每次全振動用時1s，在某電壓下電動偏心輪轉速是36r/min。已知如果增大電壓可以使偏心輪轉速提高，增大篩子的質量，可以增大篩子的固有周期。那么，要使篩子的振幅增大，下列哪

33、些做法正確（    ） 提高輸入電壓             降低輸入電壓  增加篩子質量                 減小篩子質量A.         

34、B.          C.          D. 4. 如圖2，一彈簧振子A沿光滑水平面作簡諧運動。在振幅相同的條件下， 第一次當振子A通過平衡位置時，將一塊橡皮泥B輕粘在A上共同振動，第二次當振子A剛好位于位移最大值時將同一塊橡皮泥輕粘在A上之后的振動過程中，具有相同物理量的是（    ）A. 振幅   

35、;            B. 周期           C. 最大速度值         D. 最大加速度值圖2  5. 細長輕繩下端拴一小球構成單擺，在懸點正下方擺長處有一個能擋住擺線的釘子A，如圖3所示。現將單擺向左方拉開一個小角度，然后無初速地釋放。對于以后的運

36、動，下列說法中正確的是（    ）A. 擺球往返運動一次的周期比無釘子時的單擺周期小；B. 擺球在左、右兩側上升的最大高度一樣；C. 擺球在平衡位置左右兩側走過的最大弧長相等；D. 擺線在平衡位置右側的最大擺角是左側的兩倍。圖3  6. 一列簡諧波沿一直線向左運動，當直線上某質點a向上運動到達最大位移時，a點右方相距0.15m的b點剛好向下運動到最大位移處，則這列波的波長可能是（    ）A. 0.6m    B.

37、0.3m    C. 0.2m    D. 0.1m圖4  7. 圖5中，波源S從平衡位置y=0開始振動，運動方向豎直向上（y軸的正方向），振動周期T=0.01s，產生的簡諧波向左、右兩個方向傳播，波速均為V=80m/s。經過一段時間后，P、Q兩點開始振動，已知距離SP=1.2m、SQ=2.6m。若以Q點開始振動的時刻作為計時的零點，則在圖6的振動圖象中，能正確描述P、Q兩點振動情況的是（    ）A. 甲為Q點振動圖象；  

38、   B. 乙為Q點振動圖象 C. 丙為P點振動圖象；     D. 丁為P點振動圖象圖5圖68. 如圖7，一簡諧橫波在x軸上傳播，軸上a、b兩點相距12m。t 0時a點為波峰，b點為波谷；t 0.5s時，a點為波谷，b點為波峰。則下列判斷中正確的是（    ）A. 波一定沿x軸正方向傳播；          B. 波長可能是8m；C. 周期可能是0.5s；               D. 波速一定是24m/s。圖7  9. 一列簡諧橫波沿x軸負方向傳播，圖8是t&#