1、習題五1.一顆骰子連續擲4次，點數總和記為X.估計P10<X<18.【解】設表每次擲的點數，則 從而 又X1,X2,X3,X4獨立同分布.從而 所以 2. 假設一條生產線生產的產品合格率是0.8.要使一批產品的合格率達到在76%與84%之間的概率不小于90%，問這批產品至少要生產多少件？【解】令而至少要生產n件，則i=1,2,n,且X1，X2，Xn獨立同分布，p=PXi=1=0.8.現要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n268.96, 故取n=269.3. 某車間有同型號機床200部，每部機床開動的概率為0.7，假定各機床開動與否互不影響，開動時每部機床消耗電能15個單位.問

2、至少供應多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產.【解】要確定最低的供應的電能量，應先確定此車間同時開動的機床數目最大值m，而m要滿足200部機床中同時開動的機床數目不超過m的概率為95%,于是我們只要供應15m單位電能就可滿足要求.令X表同時開動機床數目，則XB（200，0.7）, 查表知 ,m=151.所以供電能151×15=2265（單位）.4. 一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk（k=1，2，20），設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區間（0，10）上服從均勻分布.記V=，求PV105的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,20由中心

3、極限定理知，隨機變量于是 即有 PV>1050.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m.現從這批木柱中隨機地取出100根，問其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】設100根中有X根短于3m，則XB（100，0.2）從而 6. 某藥廠斷言，該廠生產的某種藥品對于醫治一種疑難的血液病的治愈率為0.8.醫院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言.（1） 若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？（2） 若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7，問接受這一斷言的概率是多少？【解】

4、令(1) XB(100,0.8)， (2) XB(100,0.7)， 7. 用Laplace中心極限定理近似計算從一批廢品率為0.05的產品中，任取1000件，其中有20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數X，則p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故 8. 設有30個電子器件.它們的使用壽命T1，T30服從參數=0.1單位：（小時）-1的指數分布，其使用情況是第一個損壞第二個立即使用，以此類推.令T為30個器件使用的總計時間，求T超過350小時的概率.【解】 故9. 上題中的電子器件若每件為a元，那么在年計劃中一年至少需多少元才能以9

5、5%的概率保證夠用（假定一年有306個工作日，每個工作日為8小時）.【解】設至少需n件才夠用.則E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.從而即故所以需272a元.10. 對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數是一個隨機變量，設一個學生無家長、1 名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學校共有400名學生，設各學生參加會議的家長數相與獨立，且服從同一分布.（1） 求參加會議的家長數X超過450的概率？（2） 求有1名家長來參加會議的學生數不多于340的概率.【解】（1） 以Xi(i=1,2,400)記第i個學生來參加會議的家長數

6、.則Xi的分布律為Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而,由中心極限定理得于是 (2) 以Y記有一名家長來參加會議的學生數.則YB(400,0.8)由拉普拉斯中心極限定理得11. 設男孩出生率為0.515，求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000個嬰兒中男孩的個數，則XB（10000，0.515）要求女孩個數不少于男孩個數的概率，即求PX5000. 由中心極限定理有12. 設有1000個人獨立行動，每個人能夠按時進入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計，在一次行動中：（1）至少有多少個人能夠進入？（

7、2）至多有多少人能夠進入？【解】用Xi表第i個人能夠按時進入掩蔽體（i=1,2,1000）.令 Sn=X1+X2+X1000.(1) 設至少有m人能夠進入掩蔽體，要求PmSn10000.95，事件由中心極限定理知：從而 故 所以 m=900-15.65=884.35884人(2) 設至多有M人能進入掩蔽體，要求P0SnM0.95.查表知=1.65,M=900+15.65=915.65916人.13. 在一定保險公司里有10000人參加保險，每人每年付12元保險費，在一年內一個人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險公司領得1000元賠償費.求：（1） 保險公司沒有利潤的概率為多大；（2）

8、 保險公司一年的利潤不少于60000元的概率為多大？【解】設X為在一年中參加保險者的死亡人數，則XB（10000，0.006）.(1) 公司沒有利潤當且僅當“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率為 (2) 因為“公司利潤60000”當且僅當“0X60”于是所求概率為 14. 設隨機變量X和Y的數學期望都是2，方差分別為1和4，而相關系數為0.5試根據契比雪夫不等式給出P|X-Y|6的估計. （2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以15. 某保險公司多年統計資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，以X表示在隨機抽查的100個索賠戶中，因被盜向保險公司索賠的戶

9、數.（1） 寫出X的概率分布；（2） 利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值.（1988研考）【解】（1） X可看作100次重復獨立試驗中，被盜戶數出現的次數，而在每次試驗中被盜戶出現的概率是0.2，因此，XB(100,0.2)，故X的概率分布是(2) 被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率即為事件14X30的概率.由中心極限定理，得 16. 一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的.假設每箱平均重50千克，標準差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977.【解】設Xi（i=1,2,n）