1、一. 填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）1.設(shè)有節(jié)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)的值分別為，則二次拉格朗日插值基函數(shù)為 。 2.設(shè)，則關(guān)于節(jié)點(diǎn)的二階向前差分為 。3.設(shè)，則 ， 。4. 個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精確度為 。二簡(jiǎn)答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）1. 哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說平方根法計(jì)算穩(wěn)定？2. 什么是不動(dòng)點(diǎn)迭代法？滿足什么條件才能保證不動(dòng)點(diǎn)存在和不動(dòng)點(diǎn)迭代序列收斂于的不動(dòng)點(diǎn)？3. 設(shè)n階矩陣A具有n個(gè)特征值且滿足，請(qǐng)簡(jiǎn)單說明求解矩陣A的主特征值和特征向量的算法及流程。三求一個(gè)次數(shù)不高于3的多項(xiàng)式，滿足下列插值條件：12324123并估計(jì)誤差。（10分

2、）四試用的牛頓-科特斯求積公式計(jì)算定積分。（10分）五用Newton法求的近似解。（10分）六試用Doolittle分解法求解方程組： （10分）七請(qǐng)寫出雅可比迭代法求解線性方程組 的迭代格式，并判斷其是否收斂？（10分）八就初值問題考察歐拉顯式格式的收斂性。（10分）數(shù)值分析（A）卷標(biāo)準(zhǔn)答案 （200920101）一 填空題（每小題3分，共12分）1. ； 2.7；3. 3，8；4. 。二簡(jiǎn)答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）1. 解：系數(shù)矩陣為對(duì)稱正定的方程組可用平方根法。 （4分）對(duì)于對(duì)稱正定陣 A，從可知對(duì)任意k i 有。即 L 的元素不會(huì)增大，誤差可控，不需選主元，所以穩(wěn)定。

3、 （4分）2. 解：（1）若，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。 （2分）（2）必須滿足下列三個(gè)條件，才能保證不動(dòng)點(diǎn)存在和不動(dòng)點(diǎn)迭代序列收斂于的不動(dòng)點(diǎn)：1）是在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)； （2分）2）的值域是定義域的子集； （2分）3）在其定義域內(nèi)滿足李普希茲條件。 （2分）3.解：參照冪法求解主特征值的流程 （8分）步1：輸入矩陣A，初始向量v0，誤差限e，最大迭代次數(shù)N;步2：置k:=1,:=0，u0=v0/|v0|;步3：計(jì)算vk=Auk-1;步4：計(jì)算并置mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5：若|mk- | e，計(jì)算，輸出mk,uk；否則，轉(zhuǎn)6；步6：若kN,置k:=k+1, :=mk，轉(zhuǎn)3；否則

4、輸出計(jì)算失敗 信息，停止三 解：（1）利用插值法加待定系數(shù)法： 設(shè)滿足 則（3分） 再設(shè) （3分） （1分） （1分）（2） （2分）四解：應(yīng)用梯形公式得 （2分） （1分） 應(yīng)用辛普森公式得： （2分） （1分） 應(yīng)用科特斯公式得： （2分） （2分）五解：由零點(diǎn)定理，在內(nèi)有根。 （2分）由牛頓迭代格式 （4分） 取得， （3分）故取 （1分） 六解：對(duì)系數(shù)矩陣做三角分解： （2分） （4分）若，則； （2分）若，則 （2分）七解：（1）對(duì)于方程組，雅可比方法的迭代矩陣為 （2分）其特征多項(xiàng)式為，且特征值為 （2分）故有，因而雅可比迭代法不收斂。 （1分）（2）對(duì)于方程組，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩陣為 （2分）其特征值為 （2分）故有，因而雅可比迭代法收斂。 （1分）八證明題（本大題共2小題，每小題7分，共14分）1. 證：該問題的精確解為 （2分）歐拉公式為 （2分）對(duì)任意