1、20112012學年冬季學期課程論文課程名稱： 線性代數(shù)與幾何（1） 課程編號： 論文題目: 淺談矩陣乘法 作者姓名: 學 號: 成 績: 論文評語:評閱人: 評閱日期: 淺談矩陣乘法【摘要】本文通過對矩陣乘法的解讀，對一般矩陣乘法，Hadamard 乘積，Kronecker 乘積，三種矩陣的乘法進行較為詳細的介紹，主要是用來增強對矩陣乘法的理解，從而對線性代數(shù)這門課程有更深入的了解?！娟P鍵字】矩陣乘法 Hadamard乘積 Kronecker乘積一·引言 矩陣作為一個全新的概念，我們經(jīng)常拿它與實數(shù)，向量等較為熟悉的概念進行類比，故而在探討矩陣的運算的時候也不例外。但是，雖然矩陣的加

2、法，減法的法則符合我們的習慣，即與我們之前學習過的加減法較為相近，但是，在所有的矩陣運算中，矩陣乘法的法則卻是最不符合我們的習慣的，掌握的難度也最大，但它卻也是最重要的。 在本文中，我們將依次對一般矩陣乘法，Hadamard乘積，Kronecker乘積三種較為常見的矩陣乘法進行介紹，包括定義，運算性質，應用，推廣等多個方面。二·一般矩陣乘法1·定義對任意正整數(shù)任意的數(shù)域，任意的矩陣和可以相乘，得到的乘積是一個矩陣它的第元對于矩陣的乘法需要注意如下事項：（1） 并非任意兩個矩陣都可以相乘。可以相乘的條件也與它們可以相加減的條件不同?？梢韵喑说臈l件是：的列數(shù)與的行數(shù)相等。(2）

3、的乘法法則可以這樣來理解：n維的行向量與n維列向量的乘積是一個數(shù)，等于與的相應位置的元之積之和：任意矩陣與矩陣相乘，將的第行與的第列相乘得到的數(shù)作為第元，得到的矩陣就是的乘積。例1：設解：注意：（1）AB可以由B的兩行分別乘得到，BA可以由B的兩列分別乘得到。（2）如果，并且或者，那么（3）如果，則都可以由所有的元乘同一個數(shù)得到，也就是說：，用去乘矩陣相當于用數(shù)乘。2·性質結合律： 對任意成立。證明：設則，其中 從而 其中 （1）另一方面，其中 從而 其中 （2）比較（1）和（2）可知 G=H，即 矩陣乘法結合律成立與數(shù)乘的結合律：對任意使運算有意義的矩陣及任意數(shù)成立。乘法對于加法的

4、分配律：對任意使運算有意義的成立。3·矩陣乘法的來源和意義線性方程組的簡潔表示對線性方程組若令， 則此方程組借助矩陣乘法便可記為：如果矩陣A 是可逆的，則有: ，這與普通的一元一次方程ax = b，無論在形式上，或解法上都得以統(tǒng)一。此外，在解析幾何中，平面上的二次曲線和空間中的二次曲面，其方程的化簡和分類，皆可借助矩陣的乘法得以簡捷又統(tǒng)一的處理。 接連變換的關系在平面解析幾何中，常用到坐標旋轉，設X 軸繞原點旋轉A(如圖)，則新舊坐標的關系是: 即 再將x'軸旋轉角, 則又有即連接兩次旋轉的結果, 用矩陣的表示代換, 則得= 即 這正與用原坐標變換式代換的結果是一致的，而用矩

5、陣乘法表出，不但簡便，而且適用面也廣。消元過程運算化在解線性方程組時, 我們常用的三個同解變換(1)交換兩個方程;(2)用一個不為0 的常數(shù)乘方程的兩端;(3)將一方程乘以常量加在另一個方程上。利用矩陣的乘法，它們皆可用矩陣的等式表之，既簡明，又利于對這些變換作深入的研究。4·矩陣乘法的應用其實矩陣乘法有很多應用，但是我們曾已經(jīng)接觸過的一些應用就不再贅述。來提一下一個比較有意思的應用。即用矩陣乘法預測人口。美國人口統(tǒng)計學家內(nèi)森凱菲茨首先提出用矩陣乘法預測人口。這種方法概括說來就是把現(xiàn)有的分年齡分性別人口數(shù)處理成列矩陣K，分年齡分性別的存活率與修改后的生育率構成方陣M，M·K

6、的乘積所產(chǎn)生的列矩陣,就是按預測初始年人口 年齡分組的組距所確定的第一個預測周期末的人口。如果假定嬰兒出生性比重,分年齡分性別人口存活率和婦女分年齡生育率在整個預測期內(nèi)（若干預測周期）不發(fā)生變化，那么M的各次冪乘以K就得到各相繼預測周期末的分年齡分性別人 口數(shù)。 式中代表第t預測周期末的人口數(shù)列矩陣;t=1,2,.n;M代表分年齡分性別人口存活率和修改后的生育率構成的方陣；K代表預測初始年分年齡分性別人口數(shù)列矩陣。三·Hadamard乘積1·定義設，定義，使得2·性質性質1 ； ； A，B為對稱矩陣，則也為對稱矩陣性質2 性質1的幾個結論由定義顯然可得。為證性質2

7、先有下面兩個引理引理1若A 為數(shù)域F 上的m×n 階矩陣, 則秩A = r，其中為線性無關的列向量，為線性無關的行向量。引理 2 設為m 維列向量, x , y 為n 維行向量, 則性質2的證明：設秩A = r1, 秩B = r2, 由引理1其中是兩組線性無關的列向量組，是兩組線性無關的行向量組。由性質1和引理2可得 =為列向量, 為行向量, 所以秩（()（）1,故得證。四·Kronecker乘積1·定義設 定義2·性質性質1 設矩陣A, B, C, D 使得AC 與BD有定義,則由定義和性質1可得以下推論推論2 設都為非奇異矩陣，則也是非奇異矩陣，并且

8、推論3 設都為上三角(下三角)矩陣，則也是上三角(下三角)矩陣, 且它的主對角元素依次為性質 4 若A , B 都為冪零陣(冪等陣, 對合陣) ,則也為冪零陣(冪等陣,對合陣) .性質 5 若rank（A） = s, rank（B）= t ,則rank () = st五·三者聯(lián)系例：六·結語 雖然在這篇文章中只介紹了一般矩陣乘法，Hadamard乘積，Kronecker乘積三種，但實際上我們可以自己對矩陣的乘法進行定義。不同的定義在不同情況下有可能就會產(chǎn)生意想不到的效果。而矩陣的乘法作為線性代數(shù)這么課程的基礎，我們對乘法的深刻理解是至關重要的。參考資料李尚志 線性代數(shù) 北京：高等教育出版社 2006.5王萼芳 石生明 高