1、1.5 常微分方程1） 了解微分方程、解、通解、初始條件和特解等概念2） 掌握變量等可分離的方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、全微分方程的解法3） 會用降階法求下列三種類型的高階方程：、4） 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)5） 掌握二階常微分齊次線性微分方程的解法。1.5.1 微分方程的基本概念1 微分方程的概念凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，稱為微分方程。微分方程中所表現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階。如方程： 是一階微分方程。又如方程： 是三階微分方程一般地，n階微分方程的形式是：其中F是個變量的函數(shù)，是必須出現(xiàn)的，而等變量則可以不出現(xiàn)。2

2、微分方程的解 通解微分方程的解是一個函數(shù)，把這函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式。確切地說，對于階微分方程（1.5-1），設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有階導(dǎo)數(shù)，且在區(qū)間上滿足，則稱函數(shù)為微分方程（1.5-1）在區(qū)間上的解。如果二元代數(shù)方程所確定的隱函數(shù)是某微分方程的解，那么就稱為該微分方程的隱式解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)（這里所說的任意常數(shù)時互相獨立的）與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解。如方程：是二階微分方程，而函數(shù)滿足該方程，即這函數(shù)是方程的解，又這函數(shù)中含有兩個獨立的任意常數(shù)，故這函數(shù)是上述微分方程的通解。3 初始條件與特解能用來確定通解中的任意常數(shù)的條件稱為

3、初始條件。通常一階微分方程的初始條件為：。二階微分方程的初始條件為：；。其中，、和都是給定的值。通解中的任意常數(shù)全部確定后，就得到一個確定的解，這種解稱為微分方程的特解。1.5.2 可分離變量的方程一階微分方程：，稱為可分離變量的方程。把式中的的函數(shù)和歸入方程的一端，的函數(shù)和歸入另一端，成為：。這一步驟稱為分離變量。分離變量后，兩端可分別積分：設(shè)的原函數(shù)依次為與，即得方程(1.5-2)的通解為：1.5.3 齊次微分方程方程 稱為齊次微分方程令，則，于是原方程化為：這是可分離變量的方程，可用分離變量法求的方程的通解。1.5.4 一階線性方程稱為一階線性方程。當(dāng)時，該式稱為線性齊次方程；當(dāng)不恒等于

4、零時，該式稱為線性非齊次方程。線性齊次方程是一個變量可分離的方程，經(jīng)分離變量并積分后，得通解： 或 非齊次方程的通解為：注:使用所謂的常數(shù)變易法來求解非齊次線性方程的通解。由線性齊次方程的通解，可假設(shè)非齊次線性方程的通解為：，代入后，可得：=由此：非齊次微分方程的通解為：1.5.5 全微分方程若方程的左端恰好是某個函數(shù)的全微分，則該方程稱為全微分方程，且。就是上述方程的通解，且滿足：在區(qū)域G內(nèi)恒成立時，該方程就是全微分方程，其通解為：其中為內(nèi)適當(dāng)選定的點。1.5.6 幾種可降階的方程1 這類方程可直接積分，積分一次得即把原方程降低一階，積分次，即可得通解2 這是不顯含的二階方程，令，則，代入即

5、得：這樣就把二階方程降為一階方程，設(shè)求得此一階方程的通解為，則原方程的通解為：3 這是不顯含的二階方程，令，則：代入方程得：即把二階方程降為一階方程。設(shè)求得此一階方程的通解為，即，分離變量并積分得原方程的通解為：1.5.7 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理設(shè)有二階齊次線性方程：則有：l 性質(zhì)定理：如果與是上述方程的兩個解，那么就是上述方程的解，其中、是兩個任意常數(shù)。l 結(jié)構(gòu)定理：如果與是方程的兩個線性無關(guān)的特解，那么就是上述方程的特解，其中、是兩個任意常數(shù)。設(shè)有二階非齊次線性方程：則有：l 結(jié)構(gòu)定理：如果是上述方程的一個特解，是與上述方程對應(yīng)的齊次方程的通解，那么就是二階非齊次線性方程的通解。l 迭加原理：設(shè)方程的右端，而與分別是方程與的特解，那么就是原方程的特解。1.5.8 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式是：其中為常數(shù)。以代替上式中的（），得一代數(shù)方程：該方程稱為微分方程的特征方程，特征方程的根稱為特征根。按特征根的情況，可直接寫出上述方程的通解如下：l 特征方程有兩個不相等的實根：，該方程的通解為：l 特征方程有兩個相等的實