1、第15講 泰勒公式授課題目泰勒公式教學內容1. 帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式；2. 帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的麥克勞林公式；3. 六個常見函數的麥克勞林公式；泰勒公式的應用.教學目的和要求通過本次課的教學，使學生能較好地了解帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式和麥克勞林公式，熟記六個常見函數的麥克勞林公式，會應用泰勒公式計算某些 型極限和函數的近似值教學重點及難點教學重點：佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式，六個常見函數的麥克勞林公式；教學難點：佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式.教學方法及教材處理提示(1) 從函數的多項式逼近的角度，引入函數的

2、泰勒多項式概念，進而引出帶佩亞諾余項本的泰勒公式、麥克勞林公式(2) 以例題的形式講授六個常見函數的麥克勞林公式，并要求學生熟記這六個式子.可以采用老師一邊講，學生一邊練的互動方式進行授課.(3) 泰勒公式的應用十分廣泛，本講只應用泰勒公式來討論極限問題和函數的近似計算問題.(4) 本節的難點是掌握帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式的證明對較好學生可要求掌握證明的方法作業布置作業內容：教材 :1（2，3），2（1），3（1，2），5（1）.講授內容 一 、帶有佩亞諾型余項的泰勒公式 由微分概念知：在點可導，則有 即在點附近，用一次多項式逼近函數時，其誤差為()的高階無窮小量然

3、而在很多場合，取一次多項式逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項式去逼近，并要求誤差為，其中為多項式的次數為此，我們考察任一次多項式 (1)逐次求它在點處的各階導數，得到 ，即 由此可見，多項式的各項系數由其在點的各階導數值所唯一確定 對于一般函數，設它在點存在直到階的導數由這些導數構造一個次多項式 （2）稱為函數在點處的泰勒(Taylor)多項式，的各項系數1，2，)稱為泰勒系數由上面對多項式系數的討論，易知與其泰勒多項式在點有相同的函數值和相同的直至階導數值，即 （3）下面將要證明，即以(2)式所示的泰勒多項式逼近時，其誤差為關于的高階無窮小量 定理68 若函數在點存在直至階導數，則

4、有 （4）證：設 (現在只要證 由關系式(3)可知，并易知因為存在，所以在點的某鄰域U()內存在1階導函數于是，當且時，允許接連使用洛必達法則1次，得到 定理所證的(4)式稱為函數在點處的泰勒公式，稱為泰勒公式的余項，形如的余項稱為佩亞諾(Peano)型余項所以(4)式又稱為帶有佩亞諾型余項的泰勒公式注1 若在點附近滿足 （5） 注2 滿足(5)式要求(即帶有佩亞諾型誤差)的n次逼近多項式是唯一的 以后用得較多的是泰勒公式(4)在時的特殊形式： （6）它也稱為(帶有佩亞諾余項的)麥克勞林(Maclaurin)公式例1 驗證下列函數的麥克勞林公式： (2) (4) ； (6) 證：這里只驗證其中

5、兩個公式，其余請讀者自行證明(2) 設，由于，因此代人公式(6)，便得到的麥克勞林公式由于這里有，因此公式中的余項可以寫作，也可以寫作)關于公式3)中的余項可作同樣說明設因此代人公式(6)，便得的麥克勞林公式 例2 寫出的麥克勞林公式，并求與解：用替換公式1)中的，便得根據定理68注2，知道上式即為所求的麥克勞林公式 由泰勒公式系數的定義，在上述的麥克勞林公式中，與的系數分別為由此得到例3 求在處的泰勒公式解：由于因此例 4 求極限. 解：本題可用洛必達法則求解(較繁瑣)，在這里可應用泰勒公式求解考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子(取，并利用例2)：因而求得二 、帶有拉格朗

6、日型余項的泰勒公式上面我們從微分近似出發，推廣得到用次多項式逼近函數的泰勒公式（4）。它的佩亞諾型余項只是定性地告訴我們：當時，逼近誤差是較高階的無窮小量。現在我們將泰勒公式構造一個定量形式的余項，以便于對逼近誤差進行具體的計算或估計。定理 6.9 （泰勒定理）若函數在上存在直至階的連續導函數，在內存在階導函數，則對任意給定的，至少存在一點，使得 證：作輔助函數所要證明的(7)式即為或.不妨設,則與在上連續,在內可導,且又因，所以由柯西中值定理證得其中.它的余項為稱為拉格朗日型余項所以稱為帶有拉格朗日型余項的泰勒公式。當時，得到也稱為(帶有拉格朗日余項的)麥克勞林公式例5 把例1中六個麥克勞林公式改寫為帶有拉格朗日型余項的形式解：(1)，由，得到 (2) 由得到