1、課時考點9 解斜三角形高考要求 三角形中的三角函數關系是歷年高考的重點內容之一，本節主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 重難點歸納 (1)運用方程觀點結合恒等變形方法巧解三角形；(2)熟練地進行邊角和已知關系式的等價轉化；(3)能熟練運用三角形基礎知識，正、余弦定理及面積公式與三角函數公式配合，通過等價轉化或構建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘 熱點題型1 判斷ABC的形狀例1 在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c, b=acosC,且ABC的最大邊長為12，最小角的正弦值為。（1） 判斷ABC的形狀；（2） 求ABC的面積。解：（1） b=a

2、cosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=,sinB=sin(A+C),從而（#）式變為sin(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，ABC是直角三角形。（2）ABC的最大邊長為12，由（1）知斜邊=12，又ABC最小角的正弦值為，RtABC的最短直角邊為12=4，另一條直角邊為SABC=16啟示：對于涉及三角形的三角函數變換非常重要,如: A+B+C=,(; ), =sin(B+C),CosA=, , 等.另外靈活運用正弦定理、余弦定理，要注意邊角互換.變式1：在ABC中，若tanAtanB，試判斷ABC的形狀分析：三角形分類是

3、按邊或角進行的，所以判定三角形形狀時一般要把條件轉化為邊之間關系或角之間關系式，從而得到諸如a2b2c2，a2b2>c2（銳角三角形），a2b2c2（鈍角三角形）或sin(AB)0，sinAsinB，sinC1或cosC0等一些等式，進而判定其形狀，但在選擇轉化為邊或是角的關系上，要進行探索解法一：由同角三角函數關系及正弦定理可推得，A、B為三角形的內角，sinA0，sinB02A2B或2A2B，AB或AB所以ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由已知和正弦定理可得：整理得a4a2c2b2c2b40，即（a2b2）（a2b2c2）0，于是a2b2或a2b2c20，ab或a2b2c2AB

4、C是等腰三角形或直角三角形熱點題型2 與數列及平面向量的數量積的綜合例2 中，內角.的對邊分別為.，已知.成等比數列，且（1）求的值；（2）若，求的值解：（1）由得：由及正弦定理得：于是：（2）由得：，因，所以：，即：由余弦定理得：于是：故：變式2：在中，.的對邊分別為.。（1） 若a,b,c 成等比數列，求f(B)=sinB+cosB的值域。（2） 若a,b,c 成等差數列，且A-C=，求cosB的值。解: (1) , 當且僅當時取等號, f(B)=sinB+cosB= 的值域為(2) sinA+sinC=2sinB C= sin()+sin()=2sinB展開,化簡,得 , , cosB=

5、熱點題型3 正弦定理、余弦定理在解三角形中的綜合運用例3 在ABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值解法一：設E為BC的中點，連接DE，則DE/AB，且，設BE=x在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，從而，即又，故，解法二：以B為坐標原點，為x軸正向建立直角坐標指法，且不妨設點A位于第一象限由，則，設=（x，0），則由條件得從而x=2，（舍去）故于是解法三：過A作AHBC交BC于H，延長BD到P使BP=DP，連接AP、PC過窗PNBC交BC的延長線于N，則，而，BC=BN=CN=2，故由正弦定理得，變式3：在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c, ABC

6、的外接圓半徑R=，且滿足.(1) 求角B和邊b的大小；(2) 求ABC的面積的最大值。解: (1) 由整理得 sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosBsin(B+C)= 2sinAcosB sinA=2sinAcosB cosB= B= b=2RsinB b=3(2) = 當A=時, 的最大值是熱點題型4 (備選) 綜合運用三角知識解決實際問題 例4在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北30°東，俯角為30°的B處，到11時10分又測得該船在島北60°西、俯角為60°的C處。(1)求船的航行速度是每小時多少千米；(2)又經過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠？解 (1)在RtPAB中，APB=60° PA=1，AB= (千米)在RtPAC中，APC=30°，AC= (千米)在ACB中，CAB=30°+60°=90°(2)DAC=90°60°=30°sinDCA=sin(180°AC