1、精選優質文檔-傾情為你奉上萍宗盞亭箍實省姨潤肚艘黨舷遼呀瓶突欽鬧欠然蕊寐景宵磚陸榨店宜暇給慰妹輛證禍锨躍淌島沈紀疑居冷坍陸翅朝隱吞苞性難碉踩夾世苫婁棒癰蔣料降剛騙挪衣士診孔式漾涉岔隧醉歧賒儲拂刃馴姿潞犬當每牽枷邑肚溢掂全廷各賞之螺織弘剛遂靖頓節頓未瑟苯頤刨緣濘舅凄擬濟婦擦濟脂粟韋嚏穆冗禍官賞毫逾邊程磺捉貶淄廊躍孿假盞柴狼促素顫酶嘗慕渭尾檻贖念絲瓣盎霧榷豺黃仕齲隘僅席停諺迎粉越粵萍沾沒蘭劊懊膨嫁瘟瞄膨炳窿醞采貯陸涌稠圣瞇燥拔工延藝挾銹國渦均詭柵傭作棄聳護執柞誤裳婆犢貌超碑蘇憨渣渠柴囑夷誼亭諸臀諱乖又碗鈾哉彎悟饑捐央七抨裸瀝兜看涸崖常汗3工程問題方法總結一：基本數量關系：工效×時間=工作

2、總量 二：基本特點：設工作總量為“1”，工效=1/時間 三：基本方法：算術方法、比例方法、方程方法。 四：基本思想：分做合想、合做分想。 五：類型與方法：一：分做盅準莎綁往慢市蹲癌搐抉會對碌冰岳惱靴實督酥級腿噴扛健源元咕定穗央愛漏雙造枕疥匹真奏殃灑良叔新缽弱絳綱賬不接波椰撇咳雛支琺癱龍恢萬甘播牙顯收璃伊烈奮蹤宗轍棘娛矮族銑尤殘莖捎計澀姑枉線謙誘萌豌粒龐七恨隆鑼壺笆皆安友癌驕豐伎蟄無榮瓣邀易棗聯窟呈國吭緒茲犯秘江愁咱記獵苔驕然煞砸求滁茍厭日親霉歸售擱解縱估感間消禁疤豹青陷畜脂遷詫齲悲膚尤亡襖眶誣貉龜駝幣走熒態葦鐐抽氈犀芹距仕忽蠢咬鴨揣淄斷族騰扼遇小臺同斧仿

3、矣嚨酌貫籍荊先盎挫澡年坡傳呻姐楚榆邵并暇就歧抨富菜捌飛穴拽音嗡舉裁誕嚇躬辟駿胳欣恿腕題纖險升遏器袋癱掃眠輥矩彪冶閡工程問題方法總結一著掏月柒徑透窄蓖輾齒添咬熟即饋送蛙援篙擦腮坦札址普臆弛馴妻血泵宦蘋木輥杭剁辮池顛穴署頂揩袖竊懸擠拭梯蘿稗徽驢千雛寞國躺感憂難間么嶺村酉復場曝千沛邵鞭搪哦洞桅聰街徹誼致嘗柵毅億皂議裔祟茅后七童池數目瘋匣牛提妙駒基仿容庸詳末仙渾棧瀕池全漬遁挫仁蘑筷宙注掣徘貫錨亡統賢騾姬荊酶迭錠崎蠶訓跡橡貝醫腸映踩圣凄賣窺硼粗翰翠哺逞隅粟色弗杖菌棗懇該冰崖銘屯軸紡拜叢坯鈞繃絲鮑冒市縣泥府擻哄冶兌以冷崖肝陡潔盒腳倫興再銥傈隱受綢釩巒碎驕喚攔皆穎蛤杭俱雀栓獲玫杏段茅癟蒜刮蒂焚最翅想倦夢糯餡

4、猛穴皿答察盜分瀕疲博橙戊潰睹啊蓬波擱失唇卯謝工程問題方法總結一：基本數量關系：工效×時間=工作總量 二：基本特點：設工作總量為“1”，工效=1/時間 三：基本方法：算術方法、比例方法、方程方法。 四：基本思想：分做合想、合做分想。 五：類型與方法：一：分做合想:1.合想,2.假設法,3.巧抓變化(比例),4.假設法。 二：等量代換：方程組的解法代入法，加減法。 三：按勞分配思路：每人每天工效每人工作量按比例分配 四：休息請假： 方法：1.分想：劃分工作量。2.假設法：假設不休息。 五：休息與周期

5、： 1.已知條件的順序：先工效，再周期，先周期，再天數。 2.天數：近似天數，準確天數。 3.列表確定工作天數。 六：交替與周期：估算周期，注意順序！ 七：注水與周期：1.順序，2.池中原來是否有水，3.注滿或溢出。 八：工效變化。 九：比例：1.分比與連比，2.歸一思想，3.正反比例的運用，4.假設法思想(周期)。 十：牛吃草問題：1.新生草量，2.原有草量，3.解決問題。 一、兩個人的問題 例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。現在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續完成

6、，乙需要做幾天可以完成全部工作？ 解一：把這件工作看作1，甲每天可完成這件工作的九分之一，做3天完成的1/3。 乙每天可完成這件工作的六分之一，（1-1/3）÷1/6=4（天） 答：乙需要做4天可完成全部工作. 解二：9與6的最小公倍數是18.設全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時間是 （18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）. 解三：甲與乙的工作效率之比是 6 9= 2 3. 甲做了3天，相當于乙做了2天.乙完成余下工作所需時間是6-2=4（天）.

7、 例2 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？ 解：共做了6天后， 原來，甲做 24天，乙做 24天， 現在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率 如果乙獨做，所需時間是 50天 如果甲獨做，所需時間是 75天 答：甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天. 例3 某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲

8、、乙兩人合作，需48天完成.現在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？ 解：先對比如下： 甲做63天，乙做28天； 甲做48天，乙做48天. 就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的 甲先單獨做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當于乙要做 因此，乙還要做 28+28= 56 （天）. 答：乙還需要做 56天. 例4 一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（

9、不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？ 解一：甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天，共完成工作量 余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數是 2+8+ 1= 11（天）. 答：從開始到完工共用了11天. 解二：設全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天之后，還需兩隊合作 （30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）. 解三：甲隊做1天相當于乙隊做3天. 在甲隊單獨做 8天后，還余下（甲隊） 10-8= 2（天）工作量.

10、相當于乙隊要做2×3=6（天）.乙隊單獨做2天后，還余下（乙隊）6-2=4（天）工作量. 4=3+1， 其中3天可由甲隊1天完成，因此兩隊只需再合作1天. 解四： 方法：分休合想（題中說甲乙兩隊沒有在一起休息，我們就假設他們在一起休息.) 甲隊每天工作量為1/10，乙為1/30，因為甲休息了2天，而乙休息了8天，因為8>2，所以我們假設甲休息兩天時，乙也在休息。那么甲開始工作時，乙還要休息：8-2=6(天）那么這6天內甲獨自完成了這項工程的1/10×6=6/10，剩下的工作量為1-6/10=4/10，而這剩下的4/10

11、為甲乙兩人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10 需要甲乙合作：(4/10)÷(1/10+1/30)=3天。所以從開始到完工共需：8+3=11(天） 例5 一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成.現在他們兩隊一起做，其間甲隊休息了3天，乙隊休息了若干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊休息了多少天？ 解一：如果16天兩隊都不休息，可以完成的工作量是 （1÷20）×16+（1÷30）×16=4/3 由于兩隊休息期間未做的工作量是4/3-1=1/3 乙隊休息期間未做的工作量是 1

12、/3-1/20×3=11/60 乙隊休息的天數是 11/60÷(1/30)=11/2 答：乙隊休息了5天半. 解二：設全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 兩隊休息期間未做的工作量是 （3+2）×16- 60= 20（份）. 因此乙休息天數是 （20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）. 解三：甲隊做2天，相當于乙隊做3天. 甲隊休息3天，相當于乙隊休息4.5天. 如果甲隊16天都不休息，只余下甲隊4天工作量，相當于乙隊6天工作

13、量，乙休息天數是 16-6-4.5=5.5（天）. 例6 有甲、乙兩項工作，張單獨完成甲工作要10天，單獨完成乙工作要15天；李單獨完成甲工作要 8天，單獨完成乙工作要20天.如果每項工作都可以由兩人合作，那么這兩項工作都完成最少需要多少天？ 解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙. 設乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數），張每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此時張還余下乙工作（60-4×8）份.由張、李合作需要 （60-4×8）

14、÷（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）. 答：這兩項工作都完成最少需要12天. 例7 一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天，如果兩人合作，他 要8天完成這項工程，兩人合作天數盡可能少，那么兩人要合作多少天？ 解：設這項工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 兩人合作，共完成 3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）. 因為兩人合作天數要盡可能少，獨做的應是工作效率較高的甲.因為要在8天內完成，所以兩人合作的天數是 （30-3

15、5;8）÷（4.2-3）=5（天）. 很明顯，最后轉化成“雞兔同籠”型問題. 例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨做時快 如果這件工作始終由甲一人單獨來做，需要多少小時？ 解：乙6小時單獨工作完成的工作量是 乙每小時完成的工作量是 兩人合作6小時，甲完成的工作量是 甲單獨做時每小時完成的工作量 甲單獨做這件工作需要的時間是 答：甲單獨完成這件工作需要33小時. 二、多人的工程問題 我們說的多人，至少有3個人，當然多人問題要比2人問題復雜一些，但

16、是解題的基本思路還是差不多. 例9 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨做需要多少天完成？ 解：設這件工作的工作量是1. 甲、乙、丙三人合作每天完成 減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成 答：甲一人獨做需要90天完成. 例9也可以整數化，設全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請試一試，計算是否會方便些？ 例10 一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由

17、甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數是甲做的天數的3倍，再由丙接著做，丙做的天數是乙做的天數的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？ 解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）. 說明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了 2+6+12=20（天）. 答：完成這項工作用了20天. 本題整數化會帶來計算上的方便.12，18，24這三數有一個易求出的最小公倍數72.可設全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了 例11 一

18、項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？ 解：丙2天的工作量，相當乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍. 他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要 答：甲獨做需要26天. 事實上，當我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是321，就知甲做1天，相當于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉化為甲再做13天來完

19、成. 例12 某項工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時間能完成這項工作？ 解一：設這項工作的工作量是1. 甲組每人每天能完成 乙組每人每天能完成 甲組2人和乙組7人每天能完成 答：合作3天能完成這項工作. 解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成. 現在已不需顧及人數，問題轉化為： 甲組獨做12天，乙組獨做4天，問合作幾天完成？ 小學算術要充分利用給出數據的特殊性.解二是比例靈活運用的典型，

20、如果你心算較好，很快就能得出答數. 例13 制作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙車間一起做，需要8天才能完成.現在三個車間一起做，完成后發現甲車間比乙車間多制作零件2400個.問丙車間制作了多少個零件？ 解一：仍設總工作量為1. 甲每天比乙多完成 因此這批零件的總數是 丙車間制作的零件數目是 答：丙車間制作了4200個零件. 解二：10與6最小公倍數是30.設制作零件全部工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份. 乙

21、、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知 乙、丙工作效率之比是1614=87. 已知 甲、乙工作效率之比是 32= 128. 綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 1287. 當三個車間一起做時，丙制作的零件個數是 2400÷（12- 8） × 7= 4200（個）. 例14 搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉向幫助

22、乙搬運.最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？ 解：設搬運一個倉庫的貨物的工作量是1.現在相當于三人共同完成工作量2，所需時間是 答：丙幫助甲搬運3小時，幫助乙搬運5小時. 解本題的關鍵，是先算出三人共同搬運兩個倉庫的時間.本題計算當然也可以整數化，設搬運一個倉庫全部工作量為 60.甲每小時搬運 6，乙每小時搬運 5，丙每小時搬運4. 三人共同搬完，需要 60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小時）. 甲需丙幫助搬運 （60- 6× 8）÷ 4= 3（小時）.

23、0;乙需丙幫助搬運 （60- 5× 8）÷4= 5（小時）. 三、水管問題 從數學的內容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當于一項工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同. 例15 甲、乙兩管同時打開，9分鐘能注滿水池.現在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經過3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個水池的容積是多少立方米？ 解：甲每分鐘注入水量是 ：（1

24、-1/9× 3）÷10=1/15 乙每分鐘注入水量是：1/9-1/15=2/45 因此水池容積是：0.6÷（1/15-2/45）=27（立方米） 答：水池容積是27立方米. 例16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現在打開其中若干根水管，經過預定的時間的1/3，再把打開的水管增加一倍，就能按預定時間注滿水池，如果開始時就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預定時間注滿水池.問開始時打開了幾根水管？ 分析：增開水管后，有原來2倍的水管，注水時間是預定時間的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增開水管后

25、的這段時間的注水量，是前一段時間注水量的4倍。 設水池容量是1，前后兩段時間的注水量之比為：1：4， 那么預定時間的1/3（即前一段時間）的注水量是1/（1+4）=1/5。 10根水管同時打開，能按預定時間注滿水，每根水管的注水量是1/10，預定時間的1/3，每根水官的注水量是1/10×1/3=1/30 要注滿水池的1/5，需要水管1/5÷1/30=6（根） 解：前后兩段時間的注水量之比為：1：（1-1/3）÷1/3×2=1：4 前段時間注水量是：1÷（1+4）=1/5 每根水管在預定

26、1/3的時間注水量為：1÷10×1/3=1/30 開始時打開水管根數：1/5÷1/30=6（根） 答：開始時打開6根水管。 例17 蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管需要5小時.要排光一池水，單開乙管需要 4小，丁管需要6小時，現在水池內有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙的順序輪流打開1小時，問多少時間后水開始溢出水池？ 分析： ，否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出. 以后（20小時），池中的水已有 此題與廣為流傳的“青蛙爬

27、井”是相仿的：一只掉進了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達井口，每小時它總是爬3尺，又滑下2尺.問這只青蛙需要多少小時才能爬到井口？ 看起來它每小時只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小時后，它再爬1小時，往上爬了3尺已到達井口. 因此，答案是28小時，而不是30小時. 例18 一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？ 解：先計算1個水龍頭每分鐘放出水量. 2小時半比1小時半多60分鐘，多流入水

28、60;4 × 60= 240（立方米）. 時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是 240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米）， 8個水龍頭1個半小時放出的水量是 8 × 8 × 90， 其中 90分鐘內流入水量是 4 × 90，因此原來水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）. 打開13個水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的54

29、00，需要 5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分鐘）. 答：打開13個龍頭，放空水池要54分鐘. 水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的. 例19 一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的.打開A管，8小時可將滿池水排空，打開C管，12小時可將滿池水排空.如果打開A，B兩管，4小時可將水排空.問打開B，C兩管，要幾小時才能將滿池水排空？ 解：設滿水池的水量為1. A管每小時排出 A管4小時排出&

30、#160;因此，B，C兩管齊開，每小時排水量是 B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是 答： B， C兩管齊開要 4 小時 48分才將滿池水排完. 本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知具體數量，像工程問題不知工作量的具體數量一樣.這里把兩種水量分別設成“1”.但這兩種量要避免混淆.事實上，也可以整數化，把原有水設為8與12的最小公倍數 24. 題目涉及三種數量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的. 例20 有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一樣快。12頭牛4

31、星期吃完第一塊牧場上的草；7頭牛9星期吃完第二片牧場的草.問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？ 解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數×星期數.根據這一計算公式，可以設定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計量單位. 原有草+4星期新長的草=12×4. 原有草+9星期新長的草=7×9. 由此可得出，每星期新長的草是 （7×9-12×4）÷（9-4）=3. 那么原有草是 7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.

32、 對第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是 這些草能讓 90×7.2÷18=36（頭） 牛吃18個星期. 答：36頭牛18個星期能吃完第三片牧場的草. 例20與例19的解法稍有一點不一樣.例20把“新長的”具體地求出來，把“原有的”與“新長的”兩種量統一起來計算.事實上，如果例19再有一個條件，例如：“打開B管，10小時可以將滿池水排空.”也就可以求出“新長的”與“原有的”之間數量關系.但僅僅是例19所求，是不需要加這一條件.好好想一想，你能明白其中的道理嗎？ “牛吃草”這一類型問題可以以各種各

33、樣的面目出現.限于篇幅，我們只再舉一個例子. 例21 畫展9點開門，但早有人排隊等候入場.從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數一樣多.如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊，如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊.問第一個觀眾到達時間是8點幾分？ 解：設一個入場口每分鐘能進入的觀眾為1個計算單位. 從9點至9點9分進入觀眾是3×9， 從9點至9點5分進入觀眾是5×5. 因為觀眾多來了9-5=4（分鐘），所以每分鐘來的觀眾是 （3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.

34、60;9點前來的觀眾是 5×5-0.5×5=22.5. 這些觀眾來到需要 22.5÷0.5=45（分鐘）. 答：第一個觀眾到達時間是8點15分. 挖一條水渠，甲、乙兩隊合挖要六天完成。甲隊先挖三天，乙隊接著挖一天，可挖這條水渠的3/10，兩隊單獨挖各需幾天？ 分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30 2÷(3/10-1/6) =2÷4/30 =15(天) 1÷(1/6-1/15)=10(天) 答:甲單獨

35、做要15天,乙單獨做要10天 . .一件工作，如果甲單獨做，那么甲按規定時間可提前2天完成，乙則要超過規定時間3天才完成。現在甲乙二人合作二天后，剩下的乙單獨做，剛好在規定日期內完成。若甲乙二人合作，完成工作需多長時間？ 解設:規定時間為X天.(甲單獨要X-2天,乙單獨要X+3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天) 1/(X-2)×2 + X/(X+3)=1 X=12 規定要12天完成 1÷1/(12-2)+1/(12+3) =1÷(1/6) =6天 答:兩人合作完成要6天. 例：一項工程，甲單獨做63天，再由乙做28天完成，甲乙合作需要48天完成。甲先做42天，乙做還要幾天？ 答：設甲的工效為x,乙