1、高中物理競賽穩(wěn)恒電流習(xí)題一、純電阻電路的簡化和等效1、等勢縮點(diǎn)法將電路中電勢相等的點(diǎn)縮為一點(diǎn)，是電路簡化的途徑之一。至于哪些點(diǎn)的電勢相等，則需要具體問題具體分析【物理情形1】在圖8-4甲所示的電路中，R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，試求A、B兩端的等效電阻RAB 。【模型分析】這是一個(gè)基本的等勢縮點(diǎn)的事例，用到的是物理常識是：導(dǎo)線是等勢體，用導(dǎo)線相連的點(diǎn)可以縮為一點(diǎn)。將圖8-4甲圖中的A、D縮為一點(diǎn)A后，成為圖8-4乙圖對于圖8-4的乙圖，求RAB就容易了。 【答案】RAB = R 。【物理情形2】在圖8-5甲所示的電路中，R1 = 1 ，R2 = 4 ，R3 = 3

2、，R4 = 12 ，R5 = 10 ，試求A、B兩端的等效電阻RAB 。【模型分析】這就是所謂的橋式電路，這里先介紹簡單的情形：將A、B兩端接入電源，并假設(shè)R5不存在，C、D兩點(diǎn)的電勢有什么關(guān)系？學(xué)員判斷結(jié)論：相等。因此，將C、D縮為一點(diǎn)C后，電路等效為圖8-5乙對于圖8-5的乙圖，求RAB是非常容易的。事實(shí)上，只要滿足=的關(guān)系，我們把橋式電路稱為“平衡電橋”。 【答案】RAB = 。相關(guān)介紹英國物理學(xué)家惠斯登曾將圖8-5中的R5換成靈敏電流計(jì)，將R1 、R2中的某一個(gè)電阻換成待測電阻、將R3 、R4換成帶觸頭的電阻絲，通過調(diào)節(jié)觸頭P的位置，觀察電流計(jì)示數(shù)為零來測量帶測電阻Rx的值，這種測量電

3、阻的方案幾乎沒有系統(tǒng)誤差，歷史上稱之為“惠斯登電橋”。請學(xué)員們參照圖8-6思考惠斯登電橋測量電阻的原理，并寫出Rx的表達(dá)式（觸頭兩端的電阻絲長度LAC和LCB是可以通過設(shè)置好的標(biāo)尺讀出的）。學(xué)員思考、計(jì)算【答案】Rx =R0 。【物理情形3】在圖8-7甲所示的有限網(wǎng)絡(luò)中，每一小段導(dǎo)體的電阻均為R ，試求A、B兩點(diǎn)之間的等效電阻RAB 。【模型分析】在本模型中，我們介紹“對稱等勢”的思想。當(dāng)我們將A、B兩端接入電源，電流從A流向B時(shí)，相對A、B連線對稱的點(diǎn)電流流動的情形必然是完全相同的，即：在圖8-7乙圖中標(biāo)號為1的點(diǎn)電勢彼此相等，標(biāo)號為2的點(diǎn)電勢彼此相等。將它們縮點(diǎn)后，1點(diǎn)和B點(diǎn)之間的等效電路

4、如圖8-7丙所示。不難求出，R1B = R ，而RAB = 2R1B 。 【答案】RAB = R 。2、Y型變換【物理情形】在圖8-5甲所示的電路中，將R1換成2的電阻，其它條件不變，再求A、B兩端的等效電阻RAB 。【模型分析】此時(shí)的電橋已經(jīng)不再“平衡”，故不能采取等勢縮點(diǎn)法簡化電路。這里可以將電路的左邊或右邊看成型電路，然后進(jìn)行Y型變換，具體操作如圖8-8所示。根據(jù)前面介紹的定式，有Ra = = = Rb = = = Rc = = = 2再求RAB就容易了。 【答案】RAB = 。3、電流注入法【物理情形】對圖8-9所示無限網(wǎng)絡(luò)，求A、B兩點(diǎn)間的電阻RAB 。【模型分析】顯然，等勢縮點(diǎn)和Y

5、型變換均不適用這種網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算。這里介紹“電流注入法”的應(yīng)用。應(yīng)用電流注入法的依據(jù)是：對于任何一個(gè)等效電阻R，歐姆定律都是適用的，而且，對于每一段導(dǎo)體，歐姆定律也是適用的。現(xiàn)在，當(dāng)我們將無窮遠(yuǎn)接地，A點(diǎn)接電源正極，從A點(diǎn)注入電流I時(shí)，AB小段導(dǎo)體的電流必為I/3 ；當(dāng)我們將無窮遠(yuǎn)接地，B點(diǎn)接電源負(fù)極，從B點(diǎn)抽出電流I時(shí)，AB小段導(dǎo)體的電流必為I/3 ；那么，當(dāng)上面“注入”和“抽出”的過程同時(shí)進(jìn)行時(shí)，AB小段導(dǎo)體的電流必為2I/3 。最后，分別對導(dǎo)體和整個(gè)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用歐姆定律，即不難求出RAB 。 【答案】RAB =R 。相關(guān)介紹事實(shí)上，電流注入法是一個(gè)解復(fù)雜電路的基本工具，而不是僅僅可以適用于無限網(wǎng)

6、絡(luò)。下面介紹用電流注入法解圖8-8中橋式電路（不平衡）的RAB 。從A端注入電流I ，并設(shè)流過R1和R2的電流分別為I1和I2 ，則根據(jù)基爾霍夫第一定律，其它三個(gè)電阻的電流可以表示為如圖8-10所示。然后對左邊回路用基爾霍夫第二定律，有I1R1 + (I1 I2)R5 (I I1)R3 = 0即 2I1 + 10(I1 I2) 3(I I1) = 0整理后得 15I1 10I2 = 3I 對左邊回路用基爾霍夫第二定律，有I2R2 (I I2)R4 (I1 I2)R5 = 0即 4I2 12(I I2) 10(I1 I2) = 0整理后得 5I1 + 13I2 = 6I 解兩式，得 I1 = I

7、 ，I2 = I很顯然 UA I1R1 I2R2 = UB 即 UAB = 2×I + 4×I = I最后對整塊電路用歐姆定律，有 RAB = = 。4、添加等效法【物理情形】在圖8-11甲所示無限網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)電阻的阻值均為R ，試求A、B兩點(diǎn)間的電阻RAB 。【模型分析】解這類問題，我們要用到一種數(shù)學(xué)思想，那就是：無窮大和有限數(shù)的和仍為無窮大。在此模型中，我們可以將“并聯(lián)一個(gè)R再串聯(lián)一個(gè)R”作為電路的一級，總電路是這樣無窮級的疊加。在圖8-11乙圖中，虛線部分右邊可以看成原有無限網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)它添加一級后，仍為無限網(wǎng)絡(luò)，即RABR + R = RAB 解這個(gè)方程就得出了RAB的

8、值。【答案】RAB = R 。學(xué)員思考本題是否可以用“電流注入法”求解？解說可以，在A端注入電流I后，設(shè)第一級的并聯(lián)電阻分流為I1 ，則結(jié)合基爾霍夫第一定律和應(yīng)有的比例關(guān)系，可以得出相應(yīng)的電流值如圖8-12所示對圖中的中間回路，應(yīng)用基爾霍夫第二定律，有(I I1)R + (I I1)R I1R = 0解得 I1 = I很顯然 UA IR I1R = UB 即 UAB = IR + IR = IR最后，RAB = = R 。【綜合應(yīng)用】在圖8-13甲所示的三維無限網(wǎng)絡(luò)中，每兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的導(dǎo)體電阻均為R ，試求A、B兩點(diǎn)間的等效電阻RAB 。【解說】當(dāng)A、B兩端接入電源時(shí)，根據(jù)“對稱等勢”的思想可

9、知，C、D、E各點(diǎn)的電勢是彼此相等的，電勢相等的點(diǎn)可以縮為一點(diǎn)，它們之間的電阻也可以看成不存在。這里取后一中思想，將CD間的導(dǎo)體、DE間的導(dǎo)體取走后，電路可以等效為圖8-13乙所示的二維無限網(wǎng)絡(luò)。對于這個(gè)二維無限網(wǎng)絡(luò)，不難求出 R= R 顯然，RAB = RR 【答案】RAB = R 。二、含源電路的簡化和計(jì)算1、戴維南定理的應(yīng)用【物理情形】在如圖8-14甲所示電路中，電源 = 1.4V，內(nèi)阻不計(jì)，R1 = R4 = 2，R2 = R3 = R5 = 1，試用戴維南定理解流過電阻R5的電流。【模型分析】用戴維南定理的目的是將電源系統(tǒng)或與電源相關(guān)聯(lián)的部分電路等效為一個(gè)電源，然后方便直接應(yīng)用閉合電

10、路歐姆定律。此電路中的電源只有一個(gè)，我們可以援用后一種思路，將除R5之外的電阻均看成“與電源相關(guān)聯(lián)的”部分，于是將電路做“拓?fù)洹弊儞Q，成圖8-14乙圖。這時(shí)候，P、Q兩點(diǎn)可看成“新電源”的兩極，設(shè)新電源的電動勢為，內(nèi)阻為r，則 r= R1R2 + R3R4 = 為P、Q開路時(shí)的電壓。開路時(shí)，R1的電流I1和R3的電流I3相等，I1 = I3 = = A ，令“老電源”的負(fù)極接地，則UP = I1R2 = V ，UQ = I3R4 = V ，所以 = UQP = V最后電路演化成圖8-14丙時(shí)，R5的電流就好求了。【答案】R5上電流大小為0.20A，方向（在甲圖中）向上。2、基爾霍夫定律的應(yīng)用基

11、爾霍夫定律的內(nèi)容已經(jīng)介紹，而且在（不含源）部分電路中已經(jīng)做過了應(yīng)用。但是在比較復(fù)雜的電路中，基爾霍夫第一定律和第二定律的獨(dú)立方程究竟有幾個(gè)？這里需要補(bǔ)充一個(gè)法則，那就是基爾霍夫第一定律的獨(dú)立方程個(gè)數(shù)為節(jié)點(diǎn)總數(shù)減一；基爾霍夫第二定律的獨(dú)立方程個(gè)數(shù)則為獨(dú)立回路的個(gè)數(shù)。而且，獨(dú)立回路的個(gè)數(shù)m應(yīng)該這樣計(jì)算m = p n + 1其中p為支路數(shù)目（不同電流值的數(shù)目），n為節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。譬如，在圖8-15所示的三個(gè)電路中，m應(yīng)該這樣計(jì)算甲圖，p = 3 ，n = 2 ，m = 3 2 + 1 = 2乙圖，p = 6 ，n = 4 ，m = 6 4 + 1 = 3丙圖，p = 8 ，n = 5 ，m = 8 5

12、+ 1 = 4以上的數(shù)目也就是三個(gè)電路中基爾霍夫第二定律的獨(dú)立方程個(gè)數(shù)。思考啟發(fā)：學(xué)員觀察上面三個(gè)電路中m的結(jié)論和電路的外部特征，能得到什么結(jié)果？學(xué)員：m事實(shí)上就是“不重疊”的回路個(gè)數(shù)！（可在丙圖的基礎(chǔ)上添加一支路驗(yàn)證）【物理情形1】在圖8-16所示的電路中，1 = 32V，2 = 24V，兩電源的內(nèi)阻均不計(jì)，R1 = 5，R2 = 6，R3 = 54，求各支路的電流。【模型分析】這是一個(gè)基爾霍夫定律的基本應(yīng)用，第一定律的方程個(gè)數(shù)為 n 1 = 2 ，第二方程的個(gè)數(shù)為 p n + 1 = 2由第一定律，有 I3 = I1 + I2由第二定律，左回路有 1 2 = I1R1 I2R2 左回路有

13、2 = I2R2 + I3R3代入數(shù)字后，從這三個(gè)方程不難解出I1 = 1.0A ，I2 = 0.5A ，I3 = 0.5A這里I2的負(fù)號表明實(shí)際電流方向和假定方向相反。【答案】R1的電流大小為1.0A，方向向上，R2的電流大小為0.5A，方向向下，R3的電流大小為0.5A，方向向下。【物理情形2】用基爾霍夫定律解圖8-14甲所示電路中R5的電流（所有已知條件不變）。【模型分析】此電路p = 6 ，n = 4 ，故基爾霍夫第一定律方程個(gè)數(shù)為3 ，第二定律方程個(gè)數(shù)為3 。為了方便，將獨(dú)立回路編號為、和 ，電流只設(shè)了三個(gè)未知量I1 、I2和I3 ，其它三個(gè)電流則直接用三個(gè)第一定律方程表達(dá)出來，見圖

14、8-17 。這樣，我們只要解三個(gè)基爾霍夫第二定律方程就可以了。對回路，有 I2R1 + I1R5 I3R3 = 0 即 2I2 + 1I1 1I3 = 0 對回路，有 (I2 I1)R2 (I1 + I3)R4 I1R5 = 0 即 1(I2 I1) 2(I1 + I3) 1I1 = 0 對回路，有 = I3R3 + (I1 + I3)R4 即 1.4 = 1I3 + 2(I1 + I3) 解式不難得出 I1 = 0.2A 。（I2 = 0.4A ，I3 = 0.6A）【答案】略。【物理情形3】求解圖8-18所示電路中流過30電阻的電流。【模型分析】基爾霍夫第一定律方程2個(gè)，已在圖中體現(xiàn)基爾霍

15、夫第二定律方程3個(gè)，分別為對回路，有 100 = (I2 I1) + I2·10 對回路，有 40 = I2·10 + I1·30 I3·10 對回路，有 100 = I3·10 + (I1 + I3) ·10 解式不難得出 I1 = 1.0A 。（I2 = 5.5A ，I3 = 4.5A）【答案】大小為1.0A，方向向左。小結(jié)解含源電路我們引進(jìn)了戴維南定理和基爾霍夫定律兩個(gè)工具。原則上，對任何一個(gè)問題，兩種方法都可以用。但是，當(dāng)我們面臨的只是求某一條支路的電流，則用戴維南定理較好，如果要求求出多個(gè)（或所有）支路的電流，則用基爾霍夫定

16、律較好。而且我們還必須看到，隨著獨(dú)立回路個(gè)數(shù)的增多，基爾霍夫第二定律的方程隨之增多，解題的麻煩程度隨之增大。三、液體導(dǎo)電及其它【物理情形】已知法拉第恒量F = 9.65×104C/mol ，金的摩爾質(zhì)量為0.1972kg/mol ，金的化合價(jià)為3 ，要想在電解池中析出1g金，需要通過多少電量？金是在電解池的正極板還是在負(fù)極板析出？【解說】法拉第電解定律（綜合形式）的按部就班應(yīng)用，即 Q = ，代入相關(guān)數(shù)據(jù)（其中m = 1.0×103kg ，n = 3）即可。【答案】需要1.47×103C電量，金在負(fù)極板析出。【相關(guān)應(yīng)用】在圖8-19所示的裝置中，如果在120分鐘內(nèi)

17、淀積3.0×1022個(gè)銀原子，銀的化合價(jià)為1 。在電流表中顯示的示數(shù)是多少？若將阿弗伽德羅常數(shù)視為已知量，試求法拉第恒量。【解說】第一問根據(jù)電流定義即可求得；第二問 F = = 【答案】0.667A；9.63×104C/mol 。四、問題補(bǔ)遺歐姆表圖8-20展示了歐姆表的基本原理圖（未包括換檔電路），虛線方框內(nèi)是歐姆表的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，它包含表頭G、直流電源（常用干電池）及電阻R 。當(dāng)被測電阻Rx接入電路時(shí)，表頭G電流I = 可以看出，對給定的歐姆表，I與Rx有一一對應(yīng)的關(guān)系，所以由表頭指針的位置可以知道Rx的大小。為了讀數(shù)方便，事先在刻度盤上直接標(biāo)出歐姆值。考查I（Rx）函數(shù)，

18、不難得出歐姆表的刻度特點(diǎn)有三：大值在左邊、小值在右邊；不均勻，小值區(qū)域稀疏、大值區(qū)域密集；沒有明確的量程，最右邊為零，最左邊為 。歐姆表雖然沒有明確的量程，并不以為著測量任何電阻都是準(zhǔn)確的，因?yàn)榇笾祬^(qū)域的刻度線太密，難以讀出準(zhǔn)確讀數(shù)。這里就有一個(gè)檔位選擇問題。歐姆表上備有“×1”、“×10”、“×100”、“×1k”不同檔位，它們的意義是：表盤的讀數(shù)乘以這個(gè)倍數(shù)就是最后的測量結(jié)果。比如，一個(gè)待測電阻阻值越20k，選擇“×10”檔，指針將指在2k附近（密集區(qū)），不準(zhǔn)，選擇“×1k”檔，指針將指在20附近（稀疏區(qū)），讀數(shù)就準(zhǔn)確了。不同的檔位是因?yàn)闅W姆表的中值電阻可以選擇造成的。當(dāng)Rx =（Rg + r + R）時(shí)，表頭電流I = Ig ，指針指在表盤的幾何中心，故稱此時(shí)的Rx即（Rg + r + R）為