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文檔簡介
1、 高二選修2-2導數定積分單元檢測時間:120分鐘分值:150分第卷(選擇題共60分)一、選擇題:(本大題共12小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1曲線ylnx上一點P和坐標原點O的連線恰好是該曲線的切線,則點P的橫坐標為()AeB.Ce2 D2解析:設點P的坐標是(a,lna),則有,lna1,ae,因此點P的橫坐標是e,選A.答案:A2(2010四川雙流縣質檢)已知函數f(x)的定義域為R,f (x)為其導函數,函數yf (x)的圖象如圖所示,且f(2)1,f(3)1,則不等式f(x26)1的解集為()A(2,3)(3,2) B(,)C(2,3)
2、 D(,)(,)答案A解析由f (x)圖象知,f(x)在(,0上單調遞增,在0,)上單調遞減,由條件可知f(x26)1可化為0x262,2x3或3x2.3已知f(x)為定義在(,)上的可導函數,且f(x)e2f(0),f(2010)e2010f(0)Bf(2)e2010f(0)Cf(2)e2f(0),f(2010)e2010f(0)Df(2)e2f(0),f(2010)0,所以g(x)在(,)上是增函數,因此有g(2)g(0),g(2010)g(0),即f(0),f(0),整理得f(2)e2f(0),f(2010)e2010f(0),選A.答案:A4)已知點在曲線上,為曲線在點處的切線的傾斜角
3、,則的取值范圍是 (A)0,) (B) (C) (D) 解析:選D.,即,答案:B5已知m0),則f (x)1,故f(x)在x1處取得極小值3ln2,f(x)3ln20,d.答案D8已知函數f(x)在R上可導,且f(x)x22xf(2),則f(1)與f(1)的大小關系為()Af(1)f(1) Bf(1)f(1)Cf(1)f(1) D不確定解析:f(x)x22xf(2)f(x)2x2f(2)f(2)42f(2)f(2)4,所以f(x)x28x(x4)216,且在(,4上為減函數,11f(1),所以選B.答案:B9若對可導函數f(x),g(x),當x0,1時恒有f(x)g(x)f(x)g(x),若
4、已知,是一個銳角三角形的兩個內角,且,記F(x)(g(x)0),則下列不等式正確的是()AF(sin)F(sin)CF(cos)F(cos) DF(cos)F(cos)解析:F(x),f(x)g(x)f(x)g(x),F(x)0,F(x)在0,1上單調遞減,又、是一銳角三角形的兩內角,0,sinsin,即cossin,F(sin)0且a1),21,在有窮數列(n1,2,10)中,任意取正整數k(1k10),則前k項和大于的概率是 A. B. C. D.解析:整體變量觀念,利用等比數列構建不等式求解2a1a()n,則前k項和Sk1()kk4P,選C.答案:C12.設點在曲線上,點在曲線上,則的最
5、小值為A. B. C. D. 【解析】選B. 與互為反函數,曲線與曲線關于直線對稱,只需求曲線上的點到直線距離的最小值的2倍即可.設點,點到直線距離. 令,則.由得;由得,故當時,取最小值.所以,.所以.第卷(非選擇題共90分)二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分請把正確答案填在題中橫線上)13已知函數f(x)的導函數為f(x),且f(x)3x22xf(2),則f(5)_.解析:對f(x)3x22xf(2)求導,得f(x)6x2f(2),令x2,得f(2)12,則f(x)6x24.再令x5,得f(5)65246.答案:614設函數f(x)ax3bx2cx(c0),其圖象在點A(1
6、,0)處的切線的斜率為0,則f(x)的單調遞增區間是_解析:f(x)ax2bxc,則由題意,得f(1)abc0且f(1)abc0,解得ba,ca,c0,a0,所以f(x)a(3x24x1)a(3x1)(x1)0,即(3x1)(x1)0,解得x1,因此函數f(x)的單調遞增區間為,1答案:,115若y(sintcostsint)dt,則y的最大值是 解析:y(sintcostsint)dt(sintsin2t)dt(costcos2t)cosxcos2xcosx(2cos2x1)cos2xcosx(cosx1)222.答案 216已知函數f(x)x3ax22bxc,當x(0,1)時函數f(x)取
7、得極大值,當x(1,2)時函數f(x)取得極小值,則u的取值范圍為_解析:f(x)x2ax2b,當x(0,1)時函數f(x)取得極大值,當x(1,2)時函數f(x)取得極小值,u的幾何意義是點A(a,b)與B(1,2)連線的斜率,如圖,結合圖形可得u0)(1)當a1時,求f(x)的單調區間;(2)若f(x)在(0,1上的最大值為,求a的值解析:函數f(x)的定義域為(0,2),f(x)a,(1)當a1時,f(x),所以f(x)的單調遞增區間為(0,),單調遞減區間為(,2)(2)當x(0,1時,f(x)a0,即f(x)在(0,1上單調遞增,故f(x)在(0,1上的最大值為f(1)a,因此a.1
8、9(本小題滿分12分)設f(x)ax3bxc(a0)為奇函數,其圖象在點(1,f(1)處的切線與直線x6y70垂直,導函數f(x)的最小值為12.(1)求函數f(x)的解析式;(2)求函數f(x)的單調增區間,并求函數f(x)在1,3上的最大值和最小值解析:(1)f(x)為奇函數,f(x)f(x),即ax3bxcax3bxc,c0.又f(x)3ax2b的最小值為12,b12.由題設知f(1)3ab6,a2,故f(x)2x312x.(2)f(x)6x2126(x)(x),當x變化時,f(x)、f(x)的變化情況表如下:x(,)(,)(,)f(x)00f(x)極大值極小值函數f(x)的單調遞增區間
9、為(,)和(,),f(1)10,f(3)18,f()8,f()8,當x時,f(x)min8;當x3時,f(x)max18.20(本小題滿分12分)(2010北京)已知函數f(x)ln(1x)xx2(k0)(1)當k2時,求曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線方程;(2)求f(x)的單調區間解析:(1)當k2時,f(x)ln(1x)xx2,f(x)12x.由于f(1)ln2,f(1),所以曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線方程為yln2(x1),即3x2y2ln230.(2)f(x),x(1,)當k0時,f(x).所以,在區間(1,0)上,f(x)0;在區間(0,)上,f(x)0.故f
10、(x)的單調遞增區間是(1,0),單調遞減區間是(0,)當0k0.所以,在區間(1,0)和上,f(x)0;在區間上,f(x)0,故f(x)的單調遞增區間是(1,)當k1時,由f(x)0,得x1(1,0),x20.所以,在區間和(0,)上,f(x)0;在區間上,f(x)0(nN*),所以an1an2.又因為a13,所以數列an是以3為首項,以2為公差的等差數列,所以Sn3n2n22n.又因為f(n)n22n,所以Snf(n),故點(n,Sn)也在函數yf(x)的圖象上(2)f(x)x22xx(x2),由f(x)0,得x0或x2,當x變化時,f(x)、f(x)的變化情況如下表:x(,2)2(2,0
11、)0(0,)f(x)00f(x)極大值極小值注意到|(a1)a|12,從而當a12a,即2a1時,f(x)的極大值為f(2),此時f(x)無極小值;當a10a,即0a0)(1)函數f(x)在區間(0,)上是增函數還是減函數?證明你的結論;(2)若當x0時,f(x) 恒成立,求正整數k的最大值解析:(1)f(x) 1ln(x1) ln(x1)x0,x20, 0,ln(x1)0,f(x)0時,f(x) 恒成立,令x1,有k (x0)恒成立,即證當x0時,(x1)ln(x1)12x0恒成立令g(x)(x1)ln(x1)12x,則g(x)ln(x1)1,當xe1時,g(x)0;當0xe1時,g(x)0
12、.當x0時,(x1)ln(x1)12x0恒成立因此正整數k的最大值為3.解法二:當x0時,f(x) 恒成立,即h(x) k對x0恒成立即h(x)(x0)的最小值大于k.h(x) 記(x)x1ln(x1)(x0),則(x) 0,(x)在(0,)上連續遞增,又(2)1ln30,(x)0存在唯一實根a,且滿足:a(2,3),a1ln(a1)由xa時,(x)0,h(x)0;0x0,h(x)0)的最小值為h(a) a1(3,4)因此正整數k的最大值為3.備選已知函數,()討論函數的單調性; ()證明:若,則對任意,有解:()的定義域為 2分(i)若即,則,故在單調增加(ii)若,而,故,則當時,;當及時,故在單調減少,在單調增加(iii)若,即,同理可得在單調減少,在單調增加(II)考慮函數則 由于故,即在單調增加,從而當時有,即,故,當時,有 12分2008聯賽13已知函數的圖像與直線 有且僅有三個交點,交點的橫坐標的最大值為,求證: 答13圖證 的圖象與直線 的三個交點如答13圖
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