1、高三復習知識梳理之四：導數及其應用（含定積分）【考點綜述】本部分的要求一般有三個層次：第一層次是主要考查導數的概念，求導的公式和求導法則，為基礎層面；第二層次是導數的簡單應用，包括求單調區間、函數的極值、證明函數的增減性等，為導數應用的重點層次，以求導考察單調性為突破口；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數內容和傳統內容中有關不等式和函數的單調性等有機地結合在一起，設計綜合題，通過將新課程內容和傳統內容相結合，加強了能力考查力度，使試題具有更廣泛的實際意義，體現了導數作為工具分析和解決一些函數性質問題的思想方法，這類問題用傳統教材是難以甚至無法解決的；為導數應用的較高層次，用于設計壓軸

2、題，突出導數應用的靈活性與思想方法的交匯性。預測：重點放在第二層次，已向第三層次進軍（還常設計壓軸題）！即：考查對導數本質的理解和計算，并力求結合應用問題，已經表現出逐步加深與綜合考查的趨勢，如已涉及理論探討和較為嚴格的邏輯證明。【重點知識】1. 平均變化率及瞬時變化率：(1)函數f(x)從x1到x2的平均變化率：（2）函數f(x)在x0處的瞬時變化率：=2. 導（函）數的定義：（1）在點x0處可導存在、都存在且相等。（2）在一點x=x0處的導數為=（3）若對任意都有=成立，則函數在區間上可導；在端點a、b處判斷是否可導的方法是：若存在，則在（a,b上可導；若在存在，則在a,b）上可導；若，都

3、存在，則在a,b上可導。注：新課標對極限要求降低，上述定義涉及的極限表達式僅供理解定義本質時作參考。3. 基本初等函數的導數公式為常數）；但不為零）； ； ； 4. 導數的四則運算法則 若的導數都存在，則：； 為常數）；特別地，；5. 復合函數求導公式（課本2021頁）（1）復合層次的劃分：對較為復雜函數準確求導的前提是：會熟練地進行復合函數層次的劃分。以基本初等函數作為劃分基本層次的標準。基本初等函數有以下六類：常函數；指數函數；對數函數；冪函數為常數）；三角函數； 反三角函數（略）。（2）求導法則設，則。例如：求導：已知函數在R上滿足，則曲線在點處的切線方程是6. 抽象函數求導問題 如：設

4、函數在上的導函數為，且，下面的不等式在上恒成立的是（ ）A.B.C. D.已知對任意實數，有，且時，則時（ ）ABCD【重點結論】1. 求導與單調性：若函數在區間I上可導，且使的點x僅有有限個，則在區間I上為嚴格遞增（減）函數的充要條件為：對一切有 例如：已知函數在R上是減函數，求a的取值范圍。已知函數f(x) = 在(2，)內單調遞減，求實數a的取值范圍。2. 求導與極值：（課本2728頁）若當時且當時，則為在上的極大（小）值。注意：（1）正確理解極值定義： （2）極值也可能在不可導點取得，如：在處取得極小值，但是不可導。 （3）駐點即滿足的點不一定是取得極值的點，如：在點處。綜上，滿足的點

5、是此點是極值點的既不充分也不必要條件。 例如：函數的極值點是（ ）A、x=2B、x=1C、x=1或1或0D、x=0求的極值點。已知函數的導數，若在處取到極大值，則的取值范圍是。（狀元之路50頁5）3. 求導與幾何意義：以曲線上一點為切點的切線方程是（1）注意鑒別：“過曲線上一點的切線”與“在曲線上一點處的切線”的區別：“在曲線上一點處的切線”是指以此點為切點的切線，而“過曲線上一點的切線”只表示曲線的切線過“此點”，但是“此點”不一定就是切點！例如：已知曲線，則過點P（2，4）的切線方程是。（狀元之路44頁）練習：已知曲線上一點求過點P的切線方程。（2）利用導數的幾何意義識圖：如已知函數的導函

6、數的圖象如下圖，那么的圖象可能是（ ）4. 定積分重點結論（1）定義式；（2）面積與定積分的關系：若，則；若則；若，則。（面積與定積分的轉化）“面積”與幾何意義、物理意義（變力做功、位移等）均有密切關系。 （3）微積分基本定理：=F(b)-F(a)；（用于計算，尋找原函數） （4）（用于分段）【典例分析】題型1 求單調區間例1設函數，其中a0。（1）求的單調區間；（2）解不等式1。題型2 研究極值問題例2 設函數f(x)=(a、b、c、dR)的圖象關于原點對稱，且x=1時，f(x)取極小值。(1)求a、b、c、d的值；(2)當x-1,1時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點的切線互相垂直？試證明

7、你的結論；(3)若x1,x2-1,1時，求證：|f(x1)-f(x2)|。題型3 導數與圖象特征結合例3已知平面向量=(,-1)，=(,).(1)證明；(2)若存在不同時為零的實數k和t，使=+(t2-3) ，=-k+t，試求函數關系式k=f(t)；(3)據(2)的結論，討論關于t的方程f(t)-k=0的解的情況.例4已知函數在區間，內各有一個極值點（I）求的最大值；（II）當時，設函數在點處的切線為，若在點處穿過函數的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函數的表達式【啟迪遷移】1已知函數（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：總

8、結：用導數方法討論“函數與的圖象交點個數”問題，一般步驟如下：1. 構造函數；2. 求導，研究的單調性與極值（必要時研究函數圖象端點的極限情況）；3. 畫出函數的圖象（示意圖），觀察它與x軸的交點情況（以上不必寫在卷面上），由此列出方程（組）或不等式（組）；4. 解方程或不等式（組）得解并作答。題型4 導數的實際應用例5 從邊長為2a 的正方形鐵片的四個角各截去一小塊邊為的正方形（如右圖所示），再將四邊向上折起，做成一個無蓋的長方體鐵盒，要求長方體的高度與底面正方形邊長的比值不超過常數t.問取何值時，容積V有最大值。題型5 用于證明不等式或求“恒成立”型不等式參數范圍（肇始于課本27頁練習B3

9、）例6證明：當x0時，有【啟迪遷移】1設函數。（）求函數的單調區間；（）已知對任意成立，求實數的取值范圍。2. 已知數列an各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意的nN*，都有4Sn=(an+1)2。(1)求數列an的通項公式；(2)若2ntSn對于任意的nN*成立，求實數t的最大值。3. 已知函數f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函數f(x)的最大值；(2)設0ab,證明：0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.題型6.用于討論某些超越方程的解例7討論方程實根個數。 【啟迪遷移】1.證明方程x=sinx在(，)內只有一個實根。題型7.定積分應用例8 求值：例

10、9 求由拋物線，直線所圍成圖形的面積。例10 請先閱讀：在等式（）的兩邊求導，得：，由求導法則得，化簡得等式：（1）利用上題的想法（或其他方法），結合等式（，正整數），證明：（2）對于正整數，求證：（i）；（ii）；（iii）【實戰演練】一、選擇題1對于R上可導的任意函數滿足，則（ ）A.B. C. D.（狀元之路49頁）2已知曲線，這三條曲線與x=1的交點分別為A、B、C，又設k1、k2、k3分別為以A、B、C為切點且分別與這三條曲線相切的直線的斜率，則（ ） A k1k2k3 B k3k2k1 C k1k3k2 D k3k10，函數在上是單調增函數，則a的最大值是（ ） A 0 B 1 C

11、 2 D 3（狀元之路47頁4）4已知二次函數的導數為，對于任意實數x都有，則的最小值為（ ）A 3 B C 2 D （狀元之路49頁B1）5函數的導函數為，若，則實數x的取值范圍是（） A. （0，1） B. C. D. 二、填空題6曲線與曲線在交點處的切線的夾角為。7已知且，則的取值范圍是。8已知函數f (x)=ax3bx2，曲線y=f (x)過點P(1，2)，且在點P處的切線恰好與直線x3y=0垂直。若f (x)在區間m，m1上單調遞增，則m的取值范圍。三、解答題9已知曲線，求與C1、C2均相切的直線l的方程。10函數，過曲線上的點的切線方程為y=3x+1（1）若時有極值，求的表達式；（

12、2）在（1）的條件下，求在-3，1上的最大值；（3）若函數在區間-2，1上單調遞增，求b的取值范圍。11某醫藥研究所開發一種新藥，如果成年人按規定的劑量服用，據監測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間近似滿足如圖所示的曲線。（1）寫出服藥后y與t之間的函數關系式y=f(t)；（2）據進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療疾病有效。求服藥一次治療疾病有效的時間？當t=5時，第二次服藥，問t時，藥效是否連續？12設拋物線y=x2與直線y=xa（a是常數）有兩個不同的交點，記拋物線在兩交點處切線分別為l1，l2，求值a變化時l1與l2交點的軌跡。13已知曲線。

13、從點向曲線引斜率為的切線，切點為。（）求數列的通項公式；（）證明：。14.已知函數，（1）討論函數的單調性；（2）證明：若，則對于任意有。15.已知函數f(x)=x+8x,g(x)=6lnx+m（）求f(x)在區間t,t+1上的最大值h(t);（）是否存在實數m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；，若不存在，說明理由。16.求定積分：(1)(2)17. 已知,求值, 使.答案：【重點知識】5. 復合函數求導公式劃分復合層次：， 求導：；法1 （代換法）由（1）得，即，（2）聯立（1）（2）消去得，所求切線方程為，即 法2 （復合函數求導

14、法）兩邊求導得，令x=1得，在原式中令x=1得，于是所求切線方程為，即注：法2用到復合函數求導的結論，此法的好處是可以不必求其解析式。6. 抽象函數求導問題構造特殊函數，適合題意要求，排除B,D；若取，可以排除C；故選A. 用結論：奇函數在對稱區間上單調性相同，偶函數在對稱區間上單調性相反，選B.【重點結論】1. 求導與單調性：遞減對任意恒成立錯解：f(x)=，由f (x)在(2，)內單調遞減，知f(x)0在x(2，)內恒立，即0在x(2，)內恒立。因此，a。剖析：上題看似正確，實際上卻忽視了一個重要問題：未驗證f(x)是否恒為零。因為f (x)在區間D上單調遞增（或遞減）的充要條件f(x)0

15、 (f(x)0)且f(x)在任一子區間上不恒為零。而當a=時，f(x) =不是單調遞減函數，不合題意。故a的取值范圍是2. 求導與極值：錯解: f (x) =x63x43x21,則由f(x)=6x512x36x=0得極值點為x=1，x=1和x=0，故正確答案為C.正解: 事實上，這三點只是駐點(導數等于0的點)，由f(x) =6x512x36x=6x(x1)2(x1)2知，當x(，1)時，f(x)0；當x(1，0)時，f(x)0；當x(0，1)，f(x)0；當x(1，)時，f(x)0. f (x)在 (，1)、(1，0)單調遞增，在(0，1)、(1，)單調遞減。則x=0為極小值點，x=1或1都

16、不是極值點（稱為拐點）。故應選D。剖析：（1）在可導的條件下，滿足f(x0)=0的點x=x0（稱為駐點）只是它為極大（小）值點的必要而不充分條件，如果一味地把駐點等同于極值點，往往容易導致失誤。答案：x=1，0(易遺漏)注：在求極值點的時候，有時還要注意導數不存在的點.如上例中x=0處。3. 求導與幾何意義：設切點為，則，而，切線方程為，又切線過點P（2，4）有解：得 若則P（2，4）為切點，切線方程為4x-y-4=0； 若則為切點，切線方程為x-y+2=0.練習答案為12x-3y-16=0, 3x-3y+2=0.（2）利用導數的幾何意義識圖：解析：導函數都為正，說明都是增函數，均適合；在點x

17、0處有相同導數說明這兩個函數圖像在點x0處的切線平行（排除B）；g(x)的導函數遞增說明g(x)的圖象向下凸，f(x)的導函數遞減說明f(x)的圖象向上凸，結合以上性質應選D。不過，用導數研究圖像凸凹性，超出了新教材應用范圍，是有超綱嫌疑的！當然，不提圖象凸凹性，在圖像上觀察切線斜率的變化趨勢也可直觀獲解，這對于導數幾何意義的靈活運用提出了較高要求。評注：通過導數可以研究函數的單調性、極值、凸凹性、駐點、拐點、漸近線等，結合定義域、值域可以較好地使用描點法直觀地較為準確地作出函數圖象，這對于深入認識函數本質具有重要作用。在研究圖象性質的問題中有一大類是討論函數f(x)圖象與曲線g(x)尤其是與

18、直線y=a的公共點個數問題，其基本解法是通過構造新函數轉化為討論函數的零點或研究方程實解問題；反之，對于一些方程實根討論問題也可轉化為構造相關函數研究其性質（單調性與極值）而獲解。【典例分析】題型1 求單調區間例1解：(1) 當a1時，有，此時f/(x)0，函數f(x)在區間上是單調遞減函數。 當0a1時，解不等式f/(x)0得，f(x)在區間上是單調遞增函數。(2)當a1時,函數f(x)在區間上是單調遞減函數,由f(0)=1,當且僅當x0時f(x)1.當0a1時，f(x)在區間上是單調遞減函數,在上是單調遞增函數,由f(x)=1得x=0或，且,當且僅當時，f(x)1.綜上可得：當a1時，f(

19、x)1的解集為x|x0;當0a1時，f(x)1的解集為x|。題型2 研究極值問題例2 解(1) 函數f(x)圖象關于原點對稱，對任意實數x，都有f(-x)=- f(x).-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx.f(x)=3ax2+c.x=1時,f(x)取極小值-.f(1)=0且f(1)=- ,即3a+c=0且a+c=-.解得a=,c=-1.經檢驗，適合題意。(2)證明：當x-1,1時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立，假設圖象上存在兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得過這兩點的切線互相垂直，則由

20、f(x)=x2-1，知兩點處的切線斜率分別為k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-1)=-1. (*)x1、x2-1,1,x12-10，x22-10(x12-1)(x22-1)0，這與(*)相矛盾，故假設不成立.(3)證明：f(x)=x2-1,由f(x)=0,得x=1.當x(-，-1)或（1，+）時，f(x)0;當 x(-1，1)時，f(x)0.f(x)在-1,1上是減函數，且fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= -.在-1,1上，|f(x)|.于是x1,x2-1,1時，|f(x1)-f(x2)|f(x1)|+|f(x2)|+=.故x1,x2-1

21、,1時,|f(x1)-f(x2)|.題型3 導數與圖象特征結合例3解 (1)=+(-1)=0.(2)，=0即+(t2-3) (-k+t)=0.整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)=0=0，=4，=1，上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)；又k,t不同時為零，故。于是(3)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)= t(t2-3)與直線y=k的交點個數.于是f(t)= (t2-1)= t(t+1)(t-1).令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當t變化時，f(t)、f(t)的變化情況如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )

22、f(t)+0-0+F(t)極大值極小值當t=-1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=.當t=-1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=-.函數f(t)=t(t2-3)的圖象如圖1321所示，可觀察出：(1)當k或k-時,方程f(t)-k=0有且只有一解；(2)當k=，k=-或時,方程f(t)-k=0有兩解；(3) 當-k且時,方程f(t)-k=0有三解.例4解：（I）法1 因為函數在區間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根，設兩實根為（），則，且于是，且當，即，時等號成立故的最大值是16 法2 作出可行域G如圖所示： 令,尋求其幾何意義，可得拋物線過點時縱截距取最小值即（II）法1

23、：由知在點處的切線的方程是，即，因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，則不是的極值點而，且若，則和都是的極值點所以，即，又由，得，故法2：同法1得因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，于是存在（）當時，當時，；或當時，當時，設，則有結論：在左右兩側同號，即：當時，當時，；或當時，當時，由結合的結構特征（拋物線開口向上）知是的一個極值點，則，所以，又由，得，故【啟迪遷移】1解：（1）求函數的導數；曲線在點處的切線方程為：，即（2）如果有一條切線過點，則存在，使于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數根記，則當變化時，變化情況如下表：000增極大值減極

24、小值增由的單調性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數根綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數根，則即評注：準確解決本題的關鍵是：將條件“過點可作曲線的三條切線”等價轉化為討論函數的圖象特征（有三個零點的充要條件）。題型4 導數的實際應用例5 錯解：因為所以函數的定義域為（0，這時V在定義域內有惟一極值點由問題的實際意義可知，正解：當這時V在定義域內有惟一極值點由問題的實際意義可知，知V在定義域內為增函數，故當題型5 導數的綜合應用1. 用于證明不等式或求“恒成立”型不等式參數范圍例6分析：構造

25、函數，研究其單調性后作判斷。【啟迪遷移】1. 解：(1)函數f(x)的定義域為(-1，+)，f(x)=-1. 令f(x)=0，解得x=0.當-1x0時，f(x)0;當x0時，f(x)0.又f(0)=0，故當且僅當x=0時，f(x)取得最大值,最大值為0.（2）證法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=aln由（1）結論知ln(1+x)-x-1，且x0)由題設0ab，得因此，.又，.綜上，.證法二：.設，則.當0xa時，因此F(x)在上為增函數.從而，當x=a時，F(x)有極小值F(a). 即.設，則當x0時，因此上為減函數。即，綜上，原不等式得證。2解析：（）若

26、 則，列表如下：+0-單增極大值單減單減（）在兩邊取對數, 得,由于所以(1)由(1)的結果可知,當時, 為使(1)式對所有成立,當且僅當,即為所求。評注：尋找（2）中不等式與（1）的聯系（觀察其結構特征），通過取對數轉化為求函數f(x)的最大值問題。3. 分析：利用Sn-Sn-1=an(n2)易得an=2n-1，從而Sn=n2則問（2）轉化為t恒成立，故只需求出數列的最小項，有以下求法：法1：研究數列bn的單調性。法2：數列作為一類特殊的函數，欲求的最小項可先研究連續函數的單調性，求導得，易得為函數的極小值也是最小值點，又，所以而，故（注：不能直接對求導，為什么？）3. 用于討論某些超越方程

27、的解例7簡析 設的切線為，切點為，則,另一方面有,由知代入得于是有：（1）當時方程有一解，為（2）當時方程無解，（3）當時有兩解。 評注：體會用切線定位，解決問題的妙用。【啟迪遷移】1.解答：設f(x)=xsinx，即證f(x)=0只有一個實數根。因為f(x)=1cosx0，其中等號只在孤立點x=2k(kZ)時成立。故f(x)在(，)上是遞增的。又由于f(0)=0，故當x0時，f(x)0，當x0時，f (x)0。因此f (x)=0只有一個實數根x=0.例10【證明】（1）在等式兩邊對求導得 移項得 （*）（2）（i）在（*）式中，令，整理得所以（ii）由（1）知兩邊對求導，得在上式中，令得，即

28、 ，亦即又由（i）知，由+得（iii）將等式兩邊在上對積分， 由微積分基本定理，得， 所以 【實戰演練】一、選擇題 CDDCB4. 提示：，可知必有（否則），于是二、填空題6 90。7 （-，-1）。8m0或 m-3。三、解答題9由得，由 ，得；設直線l與的切點為的切點為根據已知條件+整理得；由得；即，代入與聯立可解得x1=0或x1=2當x1=0時，x2=2；當x1=2時，x2=0；直線l過（0，0）、（2，0）點，或直線過（2，4）、（0，-4）點因此所求直線方程為y=0或y=4x-4。10解：（1）由求導數得過上點的切線方程為：，而過上，的切線方程為故 即在x=-2時有極值，故=0 由式聯立解得，（2）-2+00+極大極小，在-3，1上最大值為13。（3）在區間 -2，1上單調遞增，又，由（1）知，依題意在-2，1上恒有在-2，1上恒成立。 當時，； 當時，b不存在；當時，0b6；綜合上述討論可知，所求參數b取值范圍是：b0。11解答：（1）當0t1時，y=4t， 當t1時，此時M（1，4）在曲線上，這時，所以（2） 解得服藥一次治療疾病有