1、課程設(shè)計任務(wù)書題 目: 高階系統(tǒng)的時域分析 初始條件：設(shè)單位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求完成的主要任務(wù): （包括課程設(shè)計工作量及其技術(shù)要求，以及說明書撰寫等具體要求）（1） 當K=10，a=1，b=4時用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2） 如穩(wěn)定，則求取系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)、單位斜坡響應(yīng)和單位加速度響應(yīng)，用Matlab繪制相應(yīng)的曲線，并計算單位階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標，計算單位斜坡響應(yīng)和單位加速度響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)性能指標。（3） 如不穩(wěn)定，則計算系統(tǒng)穩(wěn)定時K、a和b的取值范圍，在穩(wěn)定范圍內(nèi)任取一值重復第2個要求。（4） 繪制a=1，b=4時系統(tǒng)的根軌跡。時間安排：任 務(wù)時 間（天）指導老師下達任

2、務(wù)書，審題、查閱相關(guān)資料2分析、計算3編寫程序2撰寫報告2論文答辯1指導教師簽名： 年 月 日系主任（或責任教師）簽名： 年 月 日目 錄1 高階系統(tǒng)的數(shù)學模型12 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析13 高階系統(tǒng)的時域分析33.1 單位階躍響應(yīng)43.1.1 求單位階躍響應(yīng)43.1.2 單位階躍響應(yīng)動態(tài)性能73.1.3 單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)性能93.2 單位斜坡響應(yīng)103.2.1 求單位斜坡響應(yīng)103.2.2 單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)性能113.3 單位加速度響應(yīng)113.3.1 求單位加速度響應(yīng)113.3.2 單位加速度響應(yīng)穩(wěn)態(tài)性能134 系統(tǒng)根軌跡135 設(shè)計心得體會15參考文獻15高階系統(tǒng)的時域分析1 高階系統(tǒng)的數(shù)學模型

3、一個高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為：對分子、分母進行因式分解，得到零極點形式： (1)式(1)中，K=b0/a0；zi ,pj分別為系統(tǒng)閉環(huán)零、極點。本設(shè)計給定的單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 (2)則其閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假設(shè)為負反饋）： (3)2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均位于s左半平面。若求出閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根，就可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但對于高階系統(tǒng)來說，求特征方程根很困難，并且不易對參數(shù)進行分析。現(xiàn)使用一種不用求解特征根來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法勞斯穩(wěn)定判據(jù)。設(shè)系統(tǒng)的特征方程為，則可列出勞斯表如表1所示。

4、表1 勞斯表按照勞斯穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：勞斯表中第一列各值均為正。否則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列各系數(shù)符號改變次數(shù)即為特征方程正實部根的數(shù)目。當K=10，a=1，b=4時，代入式(3)得到系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：D(s)=s4+5s3+12s2+18s+40=0. 按勞斯判據(jù)可列出如下勞斯表：由于勞斯表第一列數(shù)值符號有兩次變化，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，且存在2個正實部根。現(xiàn)繼續(xù)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)求原給定系統(tǒng)穩(wěn)定時K，a，b的取值范圍。原給定系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：D(s)=s4+(4+a)s3+(8+4a)s2+(8a+K)s+Kb=0，按勞斯判據(jù)可列出如下勞斯表：根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，

5、令勞斯表中第一列各元素為正，即：即K、a和b必須滿足： (4)系統(tǒng)才穩(wěn)定。3 高階系統(tǒng)的時域分析取K=15，a=2，b=2時系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) (5)分析，此時K、a、b的值滿足不等式組(4)，系統(tǒng)穩(wěn)定。3.1 單位階躍響應(yīng) 求單位階躍響應(yīng)單位階躍輸入r(t)=1(t)，R(s)=1/s.對于n（n3）階系統(tǒng)先將系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)一般形式化成如(1)式所示零極點形式，則在單位階躍輸入作用下，系統(tǒng)輸出可表示為（假設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)極點均不相同）：將該式展開成部分分式的形式，響應(yīng)可表示為式中，A0、Aj(j=1,2,q)、Bk和Ck(k=1,2,r)是由部分分式展開時獲得的系數(shù)。對上式取拉普拉斯反變換得到系統(tǒng)

6、時域響應(yīng)表達式：由上式可知，高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)分量組成。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，上式瞬態(tài)響應(yīng)分量的指數(shù)衰減項和正弦衰減項均隨響應(yīng)時間t趨于無窮而趨于零，系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)值。各瞬態(tài)分量在過渡過程中所起作用的大小，將取決于它們的指數(shù)的值及相應(yīng)系數(shù)項Aj、Bk、Ck的大小。在瞬態(tài)過程中，某衰減項的指數(shù)|pj|或的值越大，則該項衰減越快，反之亦然。而|pj|和就是系統(tǒng)的極點到虛軸的距離。因此，如果分布在s平面左半部分的極點離虛軸越遠，則它對應(yīng)的分量衰減越快。顯然，對系統(tǒng)過渡過程影響最大的，是那些離虛軸最近的極點。各衰減項的系數(shù)不僅與相應(yīng)的極點在s平面中的位置有關(guān)，而且還與

7、零點的位置有關(guān)。極點的位置距原點越遠，則相應(yīng)分量的系數(shù)越小，該分量對系統(tǒng)過渡過程的影響就越小。如果某極點與零點很靠近，則相應(yīng)分量的系數(shù)也很小，這時零極點對系統(tǒng)過渡過程的影響也將很小。因此，高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性主要由系統(tǒng)傳遞函數(shù)中那些靠近虛軸而又遠離零點的極點來決定。如果高階系統(tǒng)有一個極點（或一對共軛復數(shù)極點）離虛軸最近，且其附近又無零點存在，而其他所有極點與虛軸的距離都在此極點與虛軸的距離的五倍以上，則可近似地認為系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性由這個（或這對）極點來確定，而其它極點的影響可以忽略不計，這個（或這對）極點就稱為高階系統(tǒng)的主導極點。下面以選取的系統(tǒng)進行分析，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為上面的式(5)。在

8、單位階躍輸入作用下，系統(tǒng)輸出為對上式進行部分分式展開：對部分分式進行拉普拉斯反變換，并設(shè)初始條件全部為零，得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)： (6)對于高階系統(tǒng)，用上述解析法求解系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)比較復雜，若借助MATLAB軟件將十分簡單。MATLAB中tf2zp()函數(shù)能將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為零極點模型，residue()函數(shù)可以直接求出傳遞函數(shù)部分分式展開，由這些結(jié)果可以直接寫出系統(tǒng)的輸出解析解。另外，利用step()函數(shù)還能準確繪制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線。式(5)所表示系統(tǒng)可以用下面的MATLAB語句求解系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。num=15 30;den=1 6 16 31 30; %描述閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子

9、、分母多項式sys=tf(num,den); %高階系統(tǒng)建模z,p,k=tf2zp(num,den);%對傳遞函數(shù)進行因式分解zpk(z,p,k) %給出閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點形式r,p,k=residue(num,den,0) %對C(s)部分分式展開 %在分母多項式后補零相當于乘以sstep(sys) %繪制高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線grid %添加柵格title(單位階躍響應(yīng)); %標注標題xlabel(t); ylabel(c(t); %標注橫、縱坐標軸程序運行后得到系統(tǒng)零極點形式、部分分式展開式，這里不列出。繪制的單位階躍響應(yīng)曲線如圖1所示。 圖1 單位階躍響應(yīng)曲線由(6)式單位階躍響

10、應(yīng)時域表達式可知系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時，單位階躍響應(yīng)的指數(shù)項和阻尼正弦余弦項均趨近于零，穩(wěn)態(tài)輸出為常數(shù)項1，這與用MATLAB繪制的響應(yīng)曲線相符。現(xiàn)將(6)式中三個瞬態(tài)分量曲線用MATLAB軟件畫出，如圖2所示。其中曲線1為瞬態(tài)分量，曲線2為分量，曲線3為分量.由比較曲線可以看到，各分量的衰減速率和初始值都與相應(yīng)的極點到虛軸的距離密切相關(guān)。與e-3t項相比，e-0.5t項具有慢得多的衰減速率。因此，對于除了t趨近于零以外的所有時間，e-3t項在合成的時域響應(yīng)中的貢獻可以忽略不計。所以可以說，e-0.5t項在響應(yīng)中起著主導作用，相應(yīng)地，s = -0.5±2.1794i是該系統(tǒng)的主導極點。圖2

11、單位階躍響應(yīng)瞬態(tài)分量比較 單位階躍響應(yīng)動態(tài)性能動態(tài)性能指標是指穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動態(tài)過程隨時間t的變化狀況的指標，體現(xiàn)系統(tǒng)動態(tài)過程特征。用解析法求解高階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標很困難，這里用MATLAB編程求解。調(diào)用單位階躍響應(yīng)函數(shù)step()，獲得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，當采用y,t=step(sys)的調(diào)用格式時，將返回值y及相應(yīng)的時間t，通過對y和t進行計算，可以得到高階系統(tǒng)各項動態(tài)性能指標。利用MATLAB編程求取系統(tǒng)動態(tài)性能指標流程圖如圖3所示。圖3 求取系統(tǒng)動態(tài)性能程序流程圖利用MATLAB編程求取系統(tǒng)動態(tài)性能指標程序如下：sys=tf(15 30,1 6 16 31 30);

12、 %系統(tǒng)建模 %計算峰值時間tp和對應(yīng)最大超調(diào)量MpC=dcgain(sys) %取系統(tǒng)終值y,t=step(sys); %求取單位階躍響應(yīng)，返回變量輸出y和時間tY,k=max(y); %求輸出響應(yīng)的最大值Y（即峰值）和位置ktp=t(k) %取峰值時間Mp=(Y-C)/C %計算最大超調(diào)量 %計算上升時間trn=1;while y(n)<C %循環(huán)求取第一次到達終值時的時間 n=n+1;endtr=t(n) %計算調(diào)節(jié)時間(誤差帶取2%)i=length(t); %求取仿真時間t序列的長度while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C) i=i-1

13、;endts=t(i)程序運行后，輸出結(jié)果為：C=1tp=1.8265Mp=0.3685tr=1.2645ts=7.5868即上升時間為1.2645s，峰值時間為1.8265s，最大超調(diào)量為36.85%，并且系統(tǒng)在7.5868s后進入穩(wěn)態(tài)。 單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能是系統(tǒng)在典型輸入作用下，當時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出量的最終復現(xiàn)輸入量的程度。穩(wěn)態(tài)性能分析主要是指穩(wěn)態(tài)誤差的計算。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量。現(xiàn)采用靜態(tài)誤差系數(shù)法計算單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差。將K=15，a=2，b=2代入（2）式，得待分析系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，其靜態(tài)位置誤差系數(shù)為：所以單位階躍輸入作用下系統(tǒng)的穩(wěn)

14、態(tài)誤差為：3.2 單位斜坡響應(yīng) 求單位斜坡響應(yīng)單位斜坡輸入，此時展開為部分分式：對部分分式進行拉普拉斯反變換，并設(shè)初始條件全部為零，得系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)： (7)用MATLAB繪制系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)曲線使用lsim()函數(shù)，lsim()可以繪制線性定常系統(tǒng)在任意輸入信號作用下的時間響應(yīng)曲線，程序代碼如下：sys=tf(15, conv(1 3,1 1 5); %系統(tǒng)建模t=0:0.01:10; %響應(yīng)時間u=t; %單位斜坡輸入lsim(sys,u,t) %單位斜坡響應(yīng)gridxlabel(t); ylabel(c(t) %標注橫、縱坐標軸title(單位斜坡響應(yīng)); %標注標題程序運行后得到系

15、統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)曲線如圖4所示。圖4 單位斜坡響應(yīng)曲線由(7)式單位斜坡響應(yīng)時域表達式分析可知，本系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量為(t-0.5333)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出速度恰好與單位斜坡輸入速度相同，即系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入，在位置上存在穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差，這與圖4所示曲線相符合。 單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)性能待分析系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，其靜態(tài)速度誤差系數(shù)為所以系統(tǒng)在單位斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為3.3 單位加速度響應(yīng) 求單位加速度響應(yīng)單位加速度輸入，此時展開為部分分式形式：對部分分式進行拉普拉斯反變換，并設(shè)初始條件全部為零，得系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)：(8)下面用MATLAB繪制系統(tǒng)單位加速度響應(yīng)曲線，仍然使用lsim(

16、)函數(shù)。在MATLAB工作空間中輸入如下程序代碼：num=15; den=conv(1 3,1 1 5); sys=tf(num,den); %系統(tǒng)建模t=0:0.01:10; %響應(yīng)時間序列u=0.5*t.2; %單位加速度輸入lsim(sys,u,t) %繪制單位加速度響應(yīng)曲線gridxlabel('t'); ylabel('c(t)');title('單位加速度響應(yīng)');程序運行后，得到系統(tǒng)單位加速度響應(yīng)曲線如圖5所示。由(8)式單位加速度響應(yīng)時域表達式分析可知，系統(tǒng)單位加速度響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出為()，穩(wěn)定時系統(tǒng)不能跟蹤加速度輸入，隨響應(yīng)時間t

17、的增大，穩(wěn)態(tài)位置誤差將越來越大，從圖5所示單位加速度響應(yīng)曲線也可以看出。圖5 單位加速度響應(yīng)曲線 單位加速度響應(yīng)穩(wěn)態(tài)性能待分析系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，其靜態(tài)速度誤差系數(shù)為：所以在單位加速度輸入作用下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：4 系統(tǒng)根軌跡繪制a=1，b=4時系統(tǒng)的根軌跡圖，將a、b的值代入式(2)，得到系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 (9)MATLAB中提供了rlocus()函數(shù)，可以直接用于繪制開環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。先在MATLAB中輸入系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，然后調(diào)用rlocus()函數(shù)就可以繪制出精確的根軌跡曲線，具體MATLAB程序代碼如下：num=1 4; den=conv(1 0,conv(1 4 8,1 1

18、);sys=tf(num,den);rlocus(sys) %繪制根軌跡圖title(根軌跡圖)xlabel(實軸); ylabel(虛軸);程序運行后，得到系統(tǒng)根軌跡圖如圖6所示。圖6 系統(tǒng)根軌跡圖單擊根軌跡上的點，則可以顯示出該點處的增益值和其他相關(guān)信息。例如，若單擊根軌跡和虛軸相交的點，則可以得出該點處增益的臨界值為6.64，如圖6所示。可以看出，當0<K<6.64時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。5 設(shè)計心得體會對高階系統(tǒng)進行時域分析，運用經(jīng)典解析方法，采用拉普拉斯反變換求解瞬態(tài)響應(yīng)時域表達式比較復雜，要計算出各項動態(tài)性能指標也很困難。但對于許多高階系統(tǒng)，利用主導極點法可以簡化系統(tǒng)的分析和性能指標的估算。而利用MATLAB軟件可以方便地對高階系統(tǒng)時域響應(yīng)進行準確分析。通過本次課程設(shè)計，加深了對所學自動控制原理課程知識的理解，特別是系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，系統(tǒng)各項動態(tài)性能指標，穩(wěn)態(tài)誤差以及系統(tǒng)根軌跡等相關(guān)知識的理解。設(shè)計時借助MATLAB軟件進行控制系統(tǒng)分析，進一步熟悉了MATL