1、華 北 水 利 水 電 學 院 數項級數斂散性判別法(總結)課程名稱： 高等數學（2） 專業班級：地質工程2011002班 2012 年 5月 27日 數項級數斂散性判別法(總結)摘要：本文是對數項級數斂散性的判別方法的簡單歸納總結，我們學習過的數項級數斂散性有很多種，如柯西(Cauchy)判別法，拉阿貝(Raabe)判別法，狄利克雷(Dirichlei)判別法，高斯(Gauss)判別法等,進而得到一般的解題思. 關鍵詞：數項級數 斂散性 判別方法 歸納總結 解題思路Abstract: This paper is a simple summary of a number of Converge

2、nce and Divergence of the discriminant method, we have studied a number of series convergence Divergence There are many, such as Cauchy (the Cauchy) discrimination, the La Abei (Raabe)discrimination law, Dirichlet (Dirichlei) identification method, gauss (Gauss) discrimination law, and thus be a gen

3、eral problem-solving thinking.Keywords: number of series convergence and divergence of discrimination methods to summarize the problem-solving ideas引言： 在數學中無窮級數是逼近理論的中的重要內容，其本身也是一個重要內容。而數項級數斂散性判別方法是解決無窮級數的一種重要手段，我們只要按照指定的判別方法進行解題，一般都能很容易求得結果，而判別方法又有多種，有的方法適合于一些特殊的級數，而有的方法在一些級數中簡單在另一些級數中卻非常的繁瑣，因此在選擇判

4、別方法時我們不能帶有盲目性 ，拿判別方法進行實驗性的解題，只為求得結果，而不管方法的簡單與繁瑣，如果我們對判別方法進行簡單的總結，從而熟練的掌握各種判別方法，再解題時選擇從簡單的方法入手解出正確的答案，避免用繁瑣的方法解題，這樣就能提高自己在數學級數中的解題效率，我們只有對所學的判別方法的使用條件及特點熟悉后，解題思路才不會凌亂 .所以下面我將對常數項級數斂散性判別方法進行歸納總結一下.無窮級數基本概念 設是一個數列，稱表達式為（常數項）無窮級數，簡稱數項級數或級數，記為或，稱為級數的通項或一般項。 下面是幾個級數的例子：（1）1+2+3+4（2）1-1/2+1/3-1/4+（3）1+1/2+

5、1/4+（或）定義12.1 若級數的部分和數列收斂，即極限存在，則稱級數收斂，此時稱極限為級數的和，記為 或=S若級數的部分和數列發散，即極限不存在，則稱級數發散。教材中常數項級數斂散性判別方法有以下幾種特殊項級數 （一）等比級數（即幾何級數）判別法：（1） 當時，級數收斂；且和s= （2） 當時，級數發散 （二）級數判別法：(1)當時，級數發散(2)當時，級數收斂正項級數（三） （比較判別法的極限形式）：設與是兩個正項級數，若(1)當時，兩級數同時收斂或同時發散；(2)當且級數收斂時，級數也收斂； (3)當且級數發散時，級數也發散；（四）比式判別法（極限形式）若為正項級數，且則 (1)當時，

6、級數也收斂；(2)當時，或時，級數發散；注：當時，）比式判別法不能對級數的斂散性作出判斷，因為它可能是收斂的，也可能是發散的.例如，級數與，它們的比式極限都是 但是收斂的，而是發散的.（五）根式判別法（極限形式）若為正項級數，且則(1)當時，級數收斂(2)當時，級數發散注：當時，根式不能對級數的斂散性作出判斷例如，級數與，二者都有，但是收斂的，而是發散的.但是收斂的，而是發散的.（六）積分判別法：設是上非負遞減函數那么正項級數與非正常積分同時收斂或同時發散；（七）拉貝判別法（極限形式）若為正項級數，且存在，則(1)當時，級數收斂；(2)當時，級數發散；(3)當時拉貝判別法無法判斷.一般項級數（

7、八）級數若，則此級數發散.（九）柯西收斂準則級數收斂的充要條件：當 時，有： （十）絕對收斂定義法：若級數各項絕對值所組成的級數正項級數收斂，則稱原級數絕對收斂；若級數收斂，而級數發散，則稱級數條件收斂；（十一）萊布尼茲判別法：若交錯級數滿足下述兩個條件：(1)數列單調遞減；(2)則級數收斂.（十二）阿貝耳判別法：設級數若為單調有界數列，且級數收斂，則級數收斂.（十三）狄利克雷判別法：設級數若單調遞減，且又級數的部分和數列有界，則級數收斂.每個級數收斂的判別方法往往不是唯一的，按什么步驟判別其斂散性才能較快地得出結論呢？ (1)等比級數和級數的斂散性判別比較簡單，由級數的形式就可直接看出；由，

8、即可判斷，級數發散；比式判別法和根式判別法只要算出和的值即可。前者比后者更常用，但后者較之前者更有效（見例1），以上這些方法都比較簡單，應優先考慮：比較原則需要找一個已知其斂散性的級數作比較（見例2）：積分判別法是利用非負函數的單調性和積分性質，并以非正常積分為比較對象來判斷正項級數的斂散性的方法（見例3）：比式判別法和根式判別法是基于把要判斷的級數與某一幾何級數相比較的想法而得到的，也就是說，只有那些級數的通項收斂于零的速度比某一幾何級數的通項收斂速度快的級數，這兩種方法才能鑒定出它的收斂性.如果級數的通項收斂于零的速度較慢，就必須尋找級數的通項收斂于零的速度較慢的級數作為比較標準，那么以P

9、-級數為比較標準，得到拉貝判別法（見例4）.對于一般項級數應先判別的斂散性，可按正項級數的斂散性判別方法判定，若收斂，則絕對收斂（見例5），若發散：再看是否滿足交錯級數的收斂條件，若滿足則為條件收斂（見例6）.對于行如的級數可用阿貝爾判別法（見例7）或狄利克雷判別法（見例8）判別其收斂性，這兩種方法難度都比較大，應適當選取和,最后對于任意的級數都可以用柯西收斂準則進行判斷其斂散性，但繁瑣，難度大，在可以使用以上方法判斷時，應盡量避免使用柯西收斂準則（見例9）例1：判別級數的斂散性解：首先它不是等比級數，也不是級數，由于 故用比式判別法無法判定此級數的斂散性，現在用根式判別法來考察這個級數，由于

10、 所以 由根式判別法知原級數收斂.注：能由比式判別法判定斂散性的級數，也能用根式判別法來判斷，反之不成立.例2 判別級數的斂散性解：它不是等比級數也不是級數，也無法用比式判別法和根式判別法來解題。由于 ，根據比較原則，及調和級數發散，所以級數也發散.例3 討論級數的斂散性 解：研究非正常積分，由于當時收斂 時發散，由積分判別法級數在時收斂 時發散例4 討論級數當時的斂散性解：無論哪一個值，級數的比式極限都有所以用比式判別法都無法判別此級數的斂散性，現在應用拉貝判別法來討論，當時，由于所以級數是發散的.當時，由于這時，拉貝判別法也無法對此級數作出判斷，當時，由于所以級數收斂.例5的各項絕對值所組

11、成的級數是應用比式判別法，對于任意實數都有=0因此，所考察的級數對任何實數都絕對收斂.例6 考察級數 的斂散性.解：因為發散，不滿足絕對收斂定義，而此級數滿足萊布尼茨條件，故收斂.例7 討論級數 (x>0)的斂散性.解：對于數列 來說，當x>0時，0<<=1又即數列 是單調有界的，又 收斂，由阿貝爾判別法知道愿級數收斂.例8 證明：若數列 具有性質： ,則級數 對任何x都收斂.證明：因為= 當x時,故有： 所以級數 的部分和數列當x時有界，由狄利克雷判別法得級數收斂.例9 證明級數的收斂性證明：為p-級數，p=2>1，顯然此級數是收斂的.（下面用柯西收斂準則證明）

12、由于=<=<因此，對任給正數 ，取，使得當m>N 及任意自然數p，由上式就有<<由柯西收斂準則推得級數是收斂的. 結束語總結了數項級數斂散性的判別法和解題思路，我們就能更好地掌握如何先則數項級數斂散性的判別法，做到避繁就簡，思路清晰，起到事半功倍的效果. 在數學的學習中我們經常會遇到這樣或那樣的問題，只有不斷的做出總結，才能在學習中得到簡單的解題技巧，而不讓數學中的難題成為我們提高學習能力攔路虎，在對無窮極限的判別方法做出了總結后，我們就應該收獲這份經驗，為以后的學習或工作都養成總結的良好習慣。數學是與我們的生活息息相關的話題，對于一個給定的問題，在理論和應用中運用數學的邏輯思維和解題技巧會讓我們對于這個問題有更深刻的理解，例如：一個球落地后被彈起又落下求第20次的高度(假設每次損失的能量一定)。我們解決問題的過程其實就是我們探索奧秘，得到真理的過程。 參考文獻：1高等數學 上海交通大學，集美大學第三版 2011.62華東師范大學數學系編數學分析（第三版）北京大學高等教育出版社，19913數學分析習題解析下冊，陜西師范大學出版社，1993The Induction about Convergence Criterions of Constant Term Series and the Analysis of Thinks of Solution