1、精選優質文檔-傾情為你奉上實變函數試卷一一、單項選擇題（3分×5=15分）1、下列各式正確的是（ ）（A）; （B）;（C）; （D）;2、設P為Cantor集，則下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列說法不正確的是（ ）(A) 凡外側度為零的集合都可測（B）可測集的任何子集都可測(C) 開集和閉集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可測4、設是上的有限的可測函數列,則下面不成立的是( )（A）若, 則 (B) 是可測函數（C）是可測函數;（D）若,則可測5、設f(x)是上有界變差函數，則下面不成立的是（ ）(A) 在上有界 (B) 在上幾乎處處存在導數（C）

2、在上L可積 (D) 二. 填空題(3分×5=15分)1、_2、設是上有理點全體，則=_,=_,=_.3、設是中點集，如果對任一點集都_，則稱是可測的4、可測的_條件是它可以表成一列簡單函數的極限函數.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、設為上的有限函數，如果對于的一切分劃，使_,則稱為 上的有界變差函數。三、下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則舉反例說明.(5分×4=20分)1、設，若E是稠密集，則是無處稠密集。2、若，則一定是可數集.3、若是可測函數，則必是可測函數4設在可測集上可積分，若，則四、解答題（8分×2=16分）.1、（8分）設 ，則在上

3、是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。考 生 答 題 不 得 超 過 此 線2、（8分）求五、證明題（6分×4+10=34分）.1、（6分）證明上的全體無理數作成的集其勢為.2、（6分）設是上的實值連續函數，則對于任意常數是閉集。考 生 答 題 不 得 超 過 此 線3、（6分）在上的任一有界變差函數都可以表示為兩個增函數之差。4、（6分）設在上可積，則.5、（10分）設是上有限的函數，若對任意，存在閉子集，使在上連續，且，證明：是上的可測函數。(魯津定理的逆定理試卷一 （參考答案及評分標準）一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D二、1 2、； ； 3、4、充要 5、成

4、一有界數集。三、1錯誤2分例如：設是上有理點全體，則和都在中稠密5分2錯誤2分例如：設是集，則，但c ， 故其為不可數集 5分3錯誤例如：設是上的不可測集，則是上的可測函數，但不是上的可測函數4錯誤四、1在上不是可積的，因為僅在處連續，即不連續點為正測度集.3分因為是有界可測函數，在上是可積的6分因為與相等，進一步，8分2解：設，則易知當時， 2分又因，()，所以當時，4分從而使得6分但是不等式右邊的函數，在上是可積的，故有8分五、1設 2分 .3分.5分6分2.2分.3分5分.6分3. 對，使對任意互不相交的有限個當時，有2分將等分，使，對，有，所以在上是有界變差函數.5分所以從而，因此，是

5、上的有界變差函數.6分4、在上可積2分據積分的絕對連續性，有.4分對上述，從而，即6分5存在閉集在連續2分令，則在連續4分又對任意,.6分故在連續.8分又所以是上的可測函數，從而是上的可測函數.10分實變函數試卷二一.單項選擇題（3分×5=15分）1設是兩集合，則 =（ ）(A) (B) (C) (D) 2. 下列說法不正確的是( )(A) 的任一領域內都有中無窮多個點，則是的聚點(B) 的任一領域內至少有一個中異于的點，則是的聚點(C) 存在中點列，使，則是的聚點(D) 內點必是聚點3. 下列斷言( )是正確的。（A）任意個開集的交是開集；(B) 任意個閉集的交是閉集；(C) 任意

6、個閉集的并是閉集；(D) 以上都不對；4. 下列斷言中( )是錯誤的。（A）零測集是可測集； （B）可數個零測集的并是零測集；（C）任意個零測集的并是零測集；（D）零測集的任意子集是可測集；5. 若，則下列斷言（ ）是正確的(A) 在可積在可積；(B) (C) ;(D) 二. 填空題(3分×5=15分)1、設，則_。2、設為Cantor集，則 ，_，=_。3、設是一列可測集，則4、魯津定理：_5、設為上的有限函數，如果_則稱為上的絕對連續函數。三.下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則說明原因或舉出反例.(5分×4=20分)1、由于，故不存在使之間對應的映射。2、

7、可數個零測度集之和集仍為零測度集。3、收斂的函數列必依測度收斂。4、連續函數一定是有界變差函數。四.解答題(8分×2=16分)1、設 ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。2、求極限 .五.證明題(6分×3+ =34分)1.(6分) 1、設f(x)是上的實值連續函數，則對任意常數 c， 是一開集.2.(6分) 設使，則E是可測集。3. （6分）在上的任一有界變差函數都可以表示為兩個增函數之差。4.（8分）設函數列 在有界集上“基本上”一致收斂于，證明：收斂于。5.（8分）設在上可積，則對任何，必存在上的連續函數，使.（答案及評分標準）一、1，C 2, C 3, B

8、 4, C 5, A二、1， 2，c ；0 ； 3， 4，設是上有限的可測函數，則對任意，存在閉子集，使得在上是連續函數，且。5，對任意，使對中互不相交的任意有限個開區間只要，就有三、1錯誤 記中有理數全體顯然。5分2正確設為零測度集， ，所以，因此，是零測度集。5分3錯誤。例如：取作函數列：顯然當。但當時，且這說明不測度收斂到1.5分4錯誤2分例如：顯然是的連續函數。如果對取分劃，則容易證明，從而得到5分四、1在上不是可積的，因為僅在處連續，即不連續點為正測度集3分因為是有界可測函數，所以在上是可積的.6分因為與相等, 進一步，8分2設，則易知當時，2分又4分但是不等式右邊的函數，在上是可積

9、的6分故有8分五、1.1分在點連續，對當時，有3分，5分因此，從而為開集.6分2對任何正整數，由條件存在開集使1分令，則是可測集3分又因對一切正整數成立，因而，即是一零測度集，所以也可測.5分由知，可測。6分3、易知是上的增函數2分令, 則對于有所以是上的增函數4分因此，其中與均為上的有限增函數.6分4、因為在上“基本上”一致收斂于，所以對于任意的，存在可測集，在上一致收斂于，且3分令，則在上處處收斂到5分，k=1,2所以8分5、證明：設由于在上有限，故.2分由積分的絕對連續性，對任何，使4分令，在上利用魯津定理，存在閉集和在上的連續函數使（1）（2）時，且6分所以.8分實變函數試卷三（參考答

10、案及評分標準）一、單項選擇題（3分×5=15分）1、設，則（ B ）(A) （B）(C) （D）2、設是上有理點全體，則下列各式不成立的（ D ）（A） (B) (C) =0，1 (D) 3、下列說法不正確的是（ C ）(A) 若，則 （B） 有限個或可數個零測度集之和集仍為零測度集 (C) 可測集的任何子集都可測 （D）凡開集、閉集皆可測4、設是一列可測集，且，則有（ A ）（A） (B) （C）;（D）以上都不對5、設f(x)是上絕對連續函數，則下面不成立的（ B ）(A) 在上的一致連續函數 (B) 在上處處可導（C）在上L可積 (D) 是有界變差函數二. 填空題(3分

11、5;5=15分)1、設集合，則_2、設為Cantor集，則 ，_0_，=_。3、設是中點集，如果對任一點集都有_，則稱是可測的4、葉果洛夫定理：設是上一列收斂于個有限的函數 的可測函數，則對任意存在子集，使在上一致收斂且。5、設在上可測，則在上可積的 充要 條件是|在上可積.（填“充分”，“必要”，“充要”）三、下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則舉反例說明.(5分×4=20分)1、任意多個開集之交集仍為開集。解：不成立 2分反例：設Gn=( ),n=1,2,L, 每個Gn為開集但 不是開集. 5分2、若，則一定是可數集.解：不成立 反例:設是集，則， 但c ， 故其為不

12、可數集 .5分3、收斂的函數列必依測度收斂。解：不成立 2分例如：取作函數列：顯然當。但當時，且這說明不測度收斂到1 5分4、連續函數一定是有界變差函數。解：不成立 2分例如：顯然是的連續函數。如果對取分劃，則容易證明，從而得到 5分四、解答題（8分×2=16分）.1、（8分）設 ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。解：在上不是可積的，因為僅在處連續，即不連續點為正測度集 .3分因為是有界可測函數，在上是可積的 6分因為與相等，進一步， 8分2、求極限 解：記則在0,1上連續,因而在0,1上（R）可積和（L）可積. .2分又 4分 .6分且在上非負可積,故由Lebesgu

13、e控制收斂定理得 .8分五、證明題（6分×4+10=34分）.1、（6分）試證證明：記中有理數全體,令顯然 5分所以 6分2、（6分）設f(x)是上的實值連續函數，則對任意常數 c， 是一開集.證明: .1分因f（x）連續，故. .4分即.所以是E的內點.由的任意性,E的每一個點都是內點,從而E為開集. 6分考 生 答 題 不 得 超 過 此 線3、（6分）設是可測集的非負可積函數，是的可測函數，且，則也是上的可積函數。證明：， 1分是可測集的非負可積函數 是上的可積函數. . 4分同理，也是上的可積函數.是上的可積函數。 6分4、（6分）設在上積分確定，且于，則在上也積分確定，且證

14、明：于 在上積分確定，在上也積分確定，且5、（10分）設在上,而成立,則有證明:記,由題意知由知 2分對任意,由于從而有 又因為在上,故 8分所以于是: 故在上有 10分實變函數試卷四（參考答案及評分標準）一.單項選擇題（3分×5=15分）1設P為Cantor集，則 C（A） À0 (B) (C) (D) 2. 下列說法不正確的是( C )(A) 的任一領域內都有中無窮多個點，則是的聚點(B) 的任一領域內至少有一個中異于的點，則是的聚點(C) 存在中點列，使，則是的聚(D) 內點必是聚點3.設在上可積,則下面不成立的是( C )(A)在上可測 (B)在上a.e.有限(C)

15、在上有界 (D)在上可積4. 設是一列可測集，則有（B ）（A） (B) （C）;（D）以上都不對5.設為上的有界變差函數,則下面不成立的( D )(A)在上可積 (B)在上可積(C)在上可積 (D)在上絕對連續二. 填空題(3分×5=15分)1、設，則_（0，2）_。2、設,若則是 閉 集；若，則是 開_集；若，則是_完備_集.3、設是一列可測集，則4、魯津定理：_設是上有限的可測函數，則對任意，存在閉子集，使得在上是連續函數，且_，則稱為上的有界變差函數。5、設為上的有限函數，如果對于的一切劃分，使成一有界數集，則稱為上的有界變差函數。三.下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不

16、成立,則說明原因或舉出反例.(5分×4=20分)1、A為可數集，B為至多可數集，則AB是可數集.解：成立 2分因A可數,所以可設A=a1,a2,an,又B至多可數,設B=b1,b2,bn(當B有限時),或B=b1,b2,¼,bn,¼(當B可數時)當B有限時,當B可數時,所以可數. 5分(注:可分和討論,沒討論不扣分,主要考察排序方法).2、若，則.解：不成立. .2分反例：為中的全體有理點集，則有，而5分注：其余例只要正確即可。3、若是可測函數，則必是可測函數解：不成立.2分例如：設是上的不可測集，則是上的可測函數，但不是上的可測函數5分4設在可測集上可積分，若，

17、則解：不成立.2分5分四.解答題(8分×2=16分)1、（8分）設 ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。解：在上不是可積的，因為僅在處連續，即不連續點為正測度集.3分因為是上的有界可測函數，在上是可積的6分因為與相等，進一步，8分2、（8分）求解：設，則易知當時，.2分又因，()，所以當時，4分從而使得6分但是不等式右邊的函數，在上是可積的，故有8分五.證明題(6分×3+ =34分)1、（6分）設是上的實值連續函數，則對于任意常數是閉集。證明：.2分.3分5分.6分2.(6分) 設使，則E是可測集。證明：對任何正整數，由條件存在開集使1分令，則是可測集 3分又因對一切正整數成立，因而，即是一零測度集，所以也可測.5分由知，可測。 6分3.（6分） 設為E上可積函數列，.于E，且，k為常數，則在E上可積.由于E得于E .1分再由Fatou引理 .4分所以