1、8 6一鐵心上繞有線圈100匝，已知鐵心中磁通量與時(shí)間的關(guān)系為，求在時(shí)，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)分析由于線圈有N 匝相同回路，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于各匝回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，在此情況下，法拉第電磁感應(yīng)定律通常寫(xiě)成，其中稱(chēng)為磁鏈解線圈中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)當(dāng) 時(shí)，8 10如圖（）所示，把一半徑為R 的半圓形導(dǎo)線OP 置于磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，當(dāng)導(dǎo)線以速率v 水平向右平動(dòng)時(shí)，求導(dǎo)線中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E 的大小，哪一端電勢(shì)較高？分析本題及后面幾題中的電動(dòng)勢(shì)均為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，除仍可由求解外（必須設(shè)法構(gòu)造一個(gè)閉合回路），還可直接用公式求解在用后一種方法求解時(shí)，應(yīng)注意導(dǎo)體上任一導(dǎo)線元l 上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì).在一般情況下，

2、上述各量可能是l 所在位置的函數(shù)矢量（v ×B）的方向就是導(dǎo)線中電勢(shì)升高的方向解1如圖（）所示，假想半圓形導(dǎo)線OP 在寬為2R 的靜止形導(dǎo)軌上滑動(dòng)，兩者之間形成一個(gè)閉合回路設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈氛颍我粫r(shí)刻端點(diǎn)O 或端點(diǎn)P 距 形導(dǎo)軌左側(cè)距離為x，則即由于靜止的 形導(dǎo)軌上的電動(dòng)勢(shì)為零，則E 2RvB式中負(fù)號(hào)表示電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針，對(duì)OP 段來(lái)說(shuō)端點(diǎn)P 的電勢(shì)較高解2建立如圖（c）所示的坐標(biāo)系，在導(dǎo)體上任意處取導(dǎo)體元l，則由矢量（v ×B）的指向可知，端點(diǎn)P 的電勢(shì)較高解3連接OP 使導(dǎo)線構(gòu)成一個(gè)閉合回路由于磁場(chǎng)是均勻的，在任意時(shí)刻，穿過(guò)回路的磁通量常數(shù).由法拉第電磁感應(yīng)定律

3、可知，E 0又因 E EOP EPO即 EOP EPO 2RvB由上述結(jié)果可知，在均勻磁場(chǎng)中，任意閉合導(dǎo)體回路平動(dòng)所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為零；而任意曲線形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)就等于其兩端所連直線形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)上述求解方法是疊加思想的逆運(yùn)用，即補(bǔ)償?shù)姆椒? 11長(zhǎng)為L(zhǎng)的銅棒，以距端點(diǎn)r 處為支點(diǎn)，以角速率繞通過(guò)支點(diǎn)且垂直于銅棒的軸轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)與軸平行，求棒兩端的電勢(shì)差分析應(yīng)該注意棒兩端的電勢(shì)差與棒上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)是兩個(gè)不同的概念，如同電源的端電壓與電源電動(dòng)勢(shì)的不同在開(kāi)路時(shí)，兩者大小相等，方向相反（電動(dòng)勢(shì)的方向是電勢(shì)升高的方向，而電勢(shì)差的正方向是電勢(shì)降落的方向）本題可直接用積分法求

4、解棒上的電動(dòng)勢(shì)，亦可以將整個(gè)棒的電動(dòng)勢(shì)看作是OA 棒與OB 棒上電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，如圖（）所示而EO A 和EO B 則可以直接利用第 2 節(jié)例1 給出的結(jié)果解1如圖（）所示，在棒上距點(diǎn)O 為l 處取導(dǎo)體元l，則因此棒兩端的電勢(shì)差為當(dāng)L 2r 時(shí)，端點(diǎn)A 處的電勢(shì)較高解2將AB 棒上的電動(dòng)勢(shì)看作是OA 棒和OB 棒上電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，如圖（）所示其中,則8 12如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng) 的導(dǎo)體棒OP，處于均勻磁場(chǎng)中，并繞OO軸以角速度旋轉(zhuǎn)，棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為，磁感強(qiáng)度B 與轉(zhuǎn)軸平行求OP 棒在圖示位置處的電動(dòng)勢(shì)分析如前所述，本題既可以用法拉第電磁感應(yīng)定律 計(jì)算（此時(shí)必須構(gòu)造一個(gè)包含OP導(dǎo)體在內(nèi)的閉合回路，

5、 如直角三角形導(dǎo)體回路OPQO），也可用來(lái)計(jì)算由于對(duì)稱(chēng)性，導(dǎo)體OP 旋轉(zhuǎn)至任何位置時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)與圖示位置是相同的解1由上分析，得由矢量的方向可知端點(diǎn)P 的電勢(shì)較高解2設(shè)想導(dǎo)體OP 為直角三角形導(dǎo)體回路OPQO 中的一部分，任一時(shí)刻穿過(guò)回路的磁通量為零，則回路的總電動(dòng)勢(shì)顯然，EQO 0，所以由上可知，導(dǎo)體棒OP 旋轉(zhuǎn)時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)切割的磁感線數(shù)與導(dǎo)體棒QP 等效后者是垂直切割的情況8 17半徑為R 2.0 cm 的無(wú)限長(zhǎng)直載流密繞螺線管，管內(nèi)磁場(chǎng)可視為均勻磁場(chǎng)，管外磁場(chǎng)可近似看作零若通電電流均勻變化，使得磁感強(qiáng)度B 隨時(shí)間的變化率為常量，且為正值，試求：（1） 管內(nèi)外由磁場(chǎng)變化激發(fā)的感生電場(chǎng)

6、分布；（2） 如，求距螺線管中心軸r 50 cm處感生電場(chǎng)的大小和方向分析變化磁場(chǎng)可以在空間激發(fā)感生電場(chǎng)，感生電場(chǎng)的空間分布與場(chǎng)源變化的磁場(chǎng)（包括磁場(chǎng)的空間分布以及磁場(chǎng)的變化率 等）密切相關(guān)，即.在一般情況下，求解感生電場(chǎng)的分布是困難的但對(duì)于本題這種特殊情況，則可以利用場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解可以設(shè)想，無(wú)限長(zhǎng)直螺線管內(nèi)磁場(chǎng)具有柱對(duì)稱(chēng)性，其橫截面的磁場(chǎng)分布如圖所示由其激發(fā)的感生電場(chǎng)也一定有相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性，考慮到感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線為閉合曲線，因而本題中感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線一定是一系列以螺線管中心軸為圓心的同心圓同一圓周上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度Ek 的大小相等，方向沿圓周的切線方向圖中虛線表示r R和r R 兩個(gè)區(qū)域的電

7、場(chǎng)線電場(chǎng)線繞向取決于磁場(chǎng)的變化情況，由楞次定律可知，當(dāng)時(shí)，電場(chǎng)線繞向與B 方向滿(mǎn)足右螺旋關(guān)系；當(dāng) 時(shí)，電場(chǎng)線繞向與前者相反解如圖所示，分別在r R 和r R 的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)任取一電場(chǎng)線為閉合回路l（半徑為r 的圓），依照右手定則，不妨設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈氛颍?） r R，r R， 由于，故電場(chǎng)線的繞向?yàn)槟鏁r(shí)針（2） 由于r R，所求點(diǎn)在螺線管外，因此將r、R、的數(shù)值代入，可得，式中負(fù)號(hào)表示Ek的方向是逆時(shí)針的8 19截面積為長(zhǎng)方形的環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)，其尺寸如圖（）所示，共有N 匝（圖中僅畫(huà)出少量幾匝），求該螺繞環(huán)的自感L分析如同電容一樣，自感和互感都是與回路系統(tǒng)自身性質(zhì)（如形狀、匝數(shù)、介質(zhì)等）

8、有關(guān)的量求自感L 的方法有兩種：1設(shè)有電流I 通過(guò)線圈，計(jì)算磁場(chǎng)穿過(guò)自身回路的總磁通量，再用公式計(jì)算L2讓回路中通以變化率已知的電流，測(cè)出回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)EL ，由公式計(jì)算L式中EL 和都較容易通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，所以此方法一般適合于工程中此外，還可通過(guò)計(jì)算能量的方法求解解用方法1 求解，設(shè)有電流I 通過(guò)線圈，線圈回路呈長(zhǎng)方形，如圖（）所示，由安培環(huán)路定理可求得在R1 r R2 范圍內(nèi)的磁場(chǎng)分布為由于線圈由N 匝相同的回路構(gòu)成，所以穿過(guò)自身回路的磁鏈為則若管中充滿(mǎn)均勻同種磁介質(zhì)，其相對(duì)磁導(dǎo)率為r ，則自感將增大r倍8 21有兩根半徑均為a 的平行長(zhǎng)直導(dǎo)線，它們中心距離為d試求長(zhǎng)為l的一對(duì)導(dǎo)線的自感

9、（導(dǎo)線內(nèi)部的磁通量可略去不計(jì)）分析兩平行長(zhǎng)直導(dǎo)線可以看成無(wú)限長(zhǎng)但寬為d 的矩形回路的一部分設(shè)在矩形回路中通有逆時(shí)針?lè)较螂娏鱅，然后計(jì)算圖中陰影部分（寬為d、長(zhǎng)為l）的磁通量該區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)可以看成兩無(wú)限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線分別在該區(qū)域產(chǎn)生的磁場(chǎng)的疊加解在如圖所示的坐標(biāo)中，當(dāng)兩導(dǎo)線中通有圖示的電流I 時(shí)，兩平行導(dǎo)線間的磁感強(qiáng)度為穿過(guò)圖中陰影部分的磁通量為則長(zhǎng)為l 的一對(duì)導(dǎo)線的自感為如導(dǎo)線內(nèi)部磁通量不能忽略，則一對(duì)導(dǎo)線的自感為L(zhǎng)1 稱(chēng)為外自感，即本題已求出的L，L2 稱(chēng)為一根導(dǎo)線的內(nèi)自感長(zhǎng)為l的導(dǎo)線的內(nèi)自感，有興趣的讀者可自行求解8 23如圖所示，一面積為4.0 cm2 共50 匝的小圓形線圈A，放在半徑為2

10、0 cm 共100 匝的大圓形線圈B 的正中央，此兩線圈同心且同平面設(shè)線圈A 內(nèi)各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度可看作是相同的求：（1） 兩線圈的互感；（2） 當(dāng)線圈B 中電流的變化率為50 A·1 時(shí)，線圈A 中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向分析設(shè)回路中通有電流I1 ，穿過(guò)回路的磁通量為21 ，則互感M M21 21I1 ；也可設(shè)回路通有電流I2 ，穿過(guò)回路的磁通量為12 ，則 雖然兩種途徑所得結(jié)果相同，但在很多情況下，不同途徑所涉及的計(jì)算難易程度會(huì)有很大的不同以本題為例，如設(shè)線圈B 中有電流I 通過(guò)，則在線圈A 中心處的磁感強(qiáng)度很易求得，由于線圈A 很小，其所在處的磁場(chǎng)可視為均勻的，因而穿過(guò)線圈A 的磁通

11、量BS反之，如設(shè)線圈A 通有電流I，其周?chē)拇艌?chǎng)分布是變化的，且難以計(jì)算，因而穿過(guò)線圈B 的磁通量也就很難求得，由此可見(jiàn)，計(jì)算互感一定要善于選擇方便的途徑解（1） 設(shè)線圈B 有電流I 通過(guò)，它在圓心處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度穿過(guò)小線圈A 的磁鏈近似為則兩線圈的互感為（2）互感電動(dòng)勢(shì)的方向和線圈B 中的電流方向相同8 24如圖所示，兩同軸單匝線圈A、C 的半徑分別為R 和r，兩線圈相距為d若r很小，可認(rèn)為線圈A 在線圈C 處所產(chǎn)生的磁場(chǎng)是均勻的求兩線圈的互感若線圈C 的匝數(shù)為N 匝，則互感又為多少？解設(shè)線圈A 中有電流I 通過(guò)，它在線圈C 所包圍的平面內(nèi)各點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度近似為穿過(guò)線圈C 的磁通為則兩線圈

12、的互感為若線圈C 的匝數(shù)為N 匝，則互感為上述值的N 倍8 25如圖所示，螺繞環(huán)A 中充滿(mǎn)了鐵磁質(zhì)，管的截面積S 為2.0 cm2 ，沿環(huán)每厘米繞有100 匝線圈，通有電流I1 4.0 ×10 2 A，在環(huán)上再繞一線圈C，共10 匝，其電阻為0.10 ，今將開(kāi)關(guān) 突然開(kāi)啟，測(cè)得線圈C 中的感應(yīng)電荷為2.0 ×10 3 C求：當(dāng)螺繞環(huán)中通有電流I1 時(shí)，鐵磁質(zhì)中的B 和鐵磁質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率r分析本題與題 相似，均是利用沖擊電流計(jì)測(cè)量電磁感應(yīng)現(xiàn)象中通過(guò)回路的電荷的方法來(lái)計(jì)算磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度線圈C 的磁通變化是與環(huán)形螺線管中的電流變化相聯(lián)系的解當(dāng)螺繞環(huán)中通以電流I1 時(shí)，在環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的

13、磁感強(qiáng)度則通過(guò)線圈C 的磁鏈為設(shè)斷開(kāi)電源過(guò)程中，通過(guò)C 的感應(yīng)電荷為qC ，則有由此得相對(duì)磁導(dǎo)率8 27一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，截面各處的電流密度相等，總電流為I試證：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度導(dǎo)線內(nèi)所貯藏的磁能為分析本題中電流激發(fā)的磁場(chǎng)不但存在于導(dǎo)體內(nèi)當(dāng)r R 時(shí)，而且存在于導(dǎo)體外當(dāng)r R 時(shí)，由于本題僅要求單位長(zhǎng)度導(dǎo)體內(nèi)所儲(chǔ)存的磁能，故用公式計(jì)算為宜，因本題中B 呈柱對(duì)稱(chēng)性，取單位長(zhǎng)度，半徑為r，厚為r 的薄柱殼（殼層內(nèi)處處相同）為體元V，則該體元內(nèi)儲(chǔ)存的能量，積分即可求得磁能證根據(jù)以上分析單位長(zhǎng)度導(dǎo)線內(nèi)貯存的磁能為上述結(jié)果僅為單位長(zhǎng)度載流導(dǎo)線內(nèi)所具有的磁場(chǎng)能量，它是總磁場(chǎng)能量的一部分，總能量還應(yīng)包括導(dǎo)線外磁場(chǎng)所儲(chǔ)

14、存的磁能8 30在真空中，若一均勻電場(chǎng)中的電場(chǎng)能量密度與一0.50 的均勻磁場(chǎng)中的磁場(chǎng)能量密度相等，該電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為多少？解,按題意，當(dāng)時(shí)，有，則8 31設(shè)有半徑R 0.20 m 的圓形平行板電容器，兩板之間為真空，板間距離d 0.50 cm，以恒定電流I 2.0 A 對(duì)電容器充電求位移電流密度（忽略平板電容器的邊緣效應(yīng)，設(shè)電場(chǎng)是均勻的）分析盡管變化電場(chǎng)與傳導(dǎo)電流二者形成的機(jī)理不同，但都能在空間激發(fā)磁場(chǎng)從這個(gè)意義來(lái)說(shuō)，變化電場(chǎng)可視為一種“廣義電流”，即位移電流在本題中，導(dǎo)線內(nèi)存在著傳導(dǎo)電流Ic，而在平行板電容器間存在著位移電流Id，它們使電路中的電流連續(xù)，即解忽略電容器的邊緣效應(yīng)，電容器內(nèi)電

15、場(chǎng)的空間分布是均勻的，因此板間位移電流，由此得位移電流密度的大小8 7有兩根相距為d 的無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線，它們通以大小相等流向相反的電流，且電流均以的變化率增長(zhǎng)若有一邊長(zhǎng)為d 的正方形線圈與兩導(dǎo)線處于同一平面內(nèi)，如圖所示求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)分析本題仍可用法拉第電磁感應(yīng)定律來(lái)求解由于回路處在非均勻磁場(chǎng)中，磁通量就需用來(lái)計(jì)算（其中B 為兩無(wú)限長(zhǎng)直電流單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B1 與B2 之和）為了積分的需要，建立如圖所示的坐標(biāo)系由于B 僅與x 有關(guān)，即，故取一個(gè)平行于長(zhǎng)直導(dǎo)線的寬為x、長(zhǎng)為d 的面元S，如圖中陰影部分所示，則，所以，總磁通量可通過(guò)線積分求得（若取面元，則上述積分實(shí)際上為二重積分）本

16、題在工程技術(shù)中又稱(chēng)為互感現(xiàn)象，也可用公式求解解1穿過(guò)面元S 的磁通量為因此穿過(guò)線圈的磁通量為再由法拉第電磁感應(yīng)定律，有解2當(dāng)兩長(zhǎng)直導(dǎo)線有電流I 通過(guò)時(shí)，穿過(guò)線圈的磁通量為線圈與兩長(zhǎng)直導(dǎo)線間的互感為當(dāng)電流以變化時(shí)，線圈中的互感電動(dòng)勢(shì)為試想：如線圈又以速率v 沿水平向右運(yùn)動(dòng)，如何用法拉第電磁感應(yīng)定律求圖示位置的電動(dòng)勢(shì)呢？此時(shí)線圈中既有動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，又有感生電動(dòng)勢(shì)設(shè)時(shí)刻t，線圈左端距右側(cè)直導(dǎo)線的距離為，則穿過(guò)回路的磁通量，它表現(xiàn)為變量I和的二元函數(shù)，將代入 即可求解，求解時(shí)應(yīng)按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，注意，其中，再令d 即可求得圖示位置處回路中的總電動(dòng)勢(shì)最終結(jié)果為兩項(xiàng)，其中一項(xiàng)為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，另一項(xiàng)為感生電動(dòng)勢(shì)8

17、 14如圖（）所示，在“無(wú)限長(zhǎng)”直載流導(dǎo)線的近旁，放置一個(gè)矩形導(dǎo)體線框，該線框在垂直于導(dǎo)線方向上以勻速率v 向右移動(dòng)，求在圖示位置處，線框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向分析本題亦可用兩種方法求解其中應(yīng)注意下列兩點(diǎn)：1當(dāng)閉合導(dǎo)體線框在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，線框中的總電動(dòng)勢(shì)就等于框上各段導(dǎo)體中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和如圖（）所示，導(dǎo)體eh 段和fg 段上的電動(dòng)勢(shì)為零此兩段導(dǎo)體上處處滿(mǎn)足，因而線框中的總電動(dòng)勢(shì)為其等效電路如圖（）所示2用公式求解，式中是線框運(yùn)動(dòng)至任意位置處時(shí)，穿過(guò)線框的磁通量為此設(shè)時(shí)刻t 時(shí)，線框左邊距導(dǎo)線的距離為，如圖（c）所示，顯然是時(shí)間t 的函數(shù)，且有在求得線框在任意位置處的電動(dòng)勢(shì)E（）后，再令

18、d，即可得線框在題目所給位置處的電動(dòng)勢(shì)解1根據(jù)分析，線框中的電動(dòng)勢(shì)為由Eef Ehg 可知，線框中的電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)閑fgh解2設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榫€框回路的正向根據(jù)分析，在任意位置處，穿過(guò)線框的磁通量為相應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為令d，得線框在圖示位置處的電動(dòng)勢(shì)為由E 0 可知，線框中電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较? 16有一磁感強(qiáng)度為B 的均勻磁場(chǎng)，以恒定的變化率在變化把一塊質(zhì)量為m 的銅，拉成截面半徑為r的導(dǎo)線，并用它做成一個(gè)半徑為R 的圓形回路圓形回路的平面與磁感強(qiáng)度B 垂直試證：這回路中的感應(yīng)電流為式中 為銅的電阻率，d 為銅的密度解圓形回路導(dǎo)線長(zhǎng)為，導(dǎo)線截面積為，其電阻R為在均勻磁場(chǎng)中，穿過(guò)該回路的磁通量為，由法拉第電磁感應(yīng)定律可得