1、高三數學第二輪復習教案第5講 解析幾何問題的題型與方法（二）七、強化訓練1、已知P是以、為焦點的橢圓上一點，若 ，則橢圓的離心率為 （ ） （A） （B） （C） （D） 2、已知ABC的頂點A（3，1），AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y59=0，B的平分線所在直線的方程為：x4y+10=0，求邊BC所在直線的方程。3、求直線l2：7xy+4=0到l1：x+y2=0的角平分線的方程。4、已知三種食物P、Q、R的維生素含量與成本如下表所示。食物P食物Q食物R維生素A（單位/kg）400600400維生素B（單位/kg）800200400成本（元/kg）654現在將xkg的食物P和ykg

2、的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物.如果這100kg的混合物中至少含維生素A44 000單位與維生素B48 000單位，那么x，y，z為何值時，混合物的成本最小？5、某人有樓房一幢，室內面積共180 m2，擬分隔成兩類房間作為旅游客房.大房間每間面積為18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿費為40元；小房間每間面積為15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿費為50元.裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元.如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？6、已知ABC三邊所在直線方程AB：x6=0，BC：x

3、2y8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圓的方程。7、已知橢圓x2+2y2=12，A是x軸正方向上的一定點，若過點A，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，求點A的坐標。8、已知橢圓（ab0）上兩點A、B，直線上有兩點C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圓為x2+y22y8=0，求橢圓方程和直線的方程。9、求以直線為準線，原點為相應焦點的動橢圓短軸MN端點的軌跡方程。10、若橢圓的對稱軸在坐標軸上，兩焦點與兩短軸端點正好是正方形的四個頂點，又焦點到同側長軸端點的距離為，求橢圓的方程。11、已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上。（）求此橢圓的離心率；（2 ）若橢圓的右焦

4、點關于直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程。12、設A（x1，y1）為橢圓x2+2y2=2上任意一點，過點A作一條直線，斜率為，又設d為原點到直線的距離，r1、r2分別為點A到橢圓兩焦點的距離。求證：為定值。13、 某工程要將直線公路l一側的土石，通過公路上的兩個道口A和B，沿著道路AP、BP運往公路另一側的P處，PA=100m，PB=150m，APB=60°，試說明怎樣運土石最省工？14、已知橢圓（ab0），P為橢圓上除長軸端點外的任一點，F1、F2為橢圓的兩個焦點，（1）若，求證：離心率；（2）若，求證：的面積為。15、在RtABC中，CBA=90°，AB=2，AC=。

5、DOAB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持| PA |+| PB |的值不變。（1）建立適當的坐標系，求曲線E的方程；（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設， 試確定實數的取值范圍。16、 （2004年北京春季高考） 已知點A（2，8），在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點F重合（如圖）。（I）寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標；（II）求線段BC中點M的坐標；（III）求BC所在直線的方程。八、參考答案1、解：設c為為橢圓半焦距， 又 解得： 選（D）。說明：垂直向量的引入為解決解析幾何問題開辟了新思路。求解此類問題的關鍵是利用向

6、量垂直的充要條件：“”，促使問題轉化，然后利用數形結合解決問題。2、解：設B（a， b），B在直線BT上，a4b+10=0 又AB中點在直線CM上，點M的坐標滿足方程6x+10y59=0 解、組成的方程組可得a=10，b=5 B（10， 5），又由角平分線的定義可知，直線BC到BT的角等于直線BT到直線BA的角，又 ，BC所在直線的方程為即2x+9y65=0。3、解法一：設l2到l1角平分線l的斜率為k，k1=1，k2=7。，解之得k=3或，由圖形可知k<0，k=3，又由解得l1與l2的交點，由點斜式得 即6x+2y3=0。解法二：設l2到l1的角為，則，所以角為銳角，而，由二倍角公式可

7、知 或 為銳角，k=3等同解法一。解法三：設l：（x+y2）+（7xy+4）=0 即（1+7）x+（1）y+（42）=0。，由解法一知，代入化簡即得：6x+2y3=0。解法四：用點到直線的距離公式，設l上任一點P（x， y），則P到l1與l2的距離相等。整理得：6x+2y3=0與x3y+7=0，又l是l2到l1的角的平分線，k<0，x3y+7=0不合題意所以所求直線l的方程為6x+2y3=0。4、分析：由x+y+z=100，得z=100xy，所以上述問題可以看作只含x，y兩個變量.設混合物的成本為k元，那么k=6x+5y+4（100xy）=2x+y+400，于是問題就歸結為求k在已知條件

8、下的線性規劃問題。解：已知條件可歸結為下列不等式組：。即 。 在平面直角坐標系中，畫出不等式組所表示的平面區域，這個區域是直線x+y=100，y=20，2xy=40圍成的一個三角形區域EFG（包括邊界），即可行域，如圖所示的陰影部分。設混合物的成本為k元，那么k=6x+5y+4（100xy）=2x+y+400。作直線：2x+y=0，把直線向右上方平移至位置時，直線經過可行域上的點E，且與原點的距離最小，此時2x+y的值最小，從而k的值最小。由 得 即點E的坐標是（30，20）。所以，=2×30+20+400=480（元），此時z=1003020=50。答：取x=30，y=20，z=5

9、0時，混合物的成本最小，最小值是480元。5、解：設隔出大房間x間，小房間y間時收益為z元，則x、y滿足。圖4 ，x，yN， 且 z=200x+150y。所以，x，yN，作出可行域及直線：200x+150y=0，即4x+3y=0。（如圖4）。把直線向上平移至的位置時，直線經過可行域上的點B，且與原點距離最大.此時，z=200x+150y取最大值.但解6x+5y=60與5x+3y=40聯立的方程組得到B（，）。由于點B的坐標不是整數，而x，yN，所以可行域內的點B不是最優解。為求出最優解，同樣必須進行定量分析。因為4×+3×=37.1，但該方程的非負整數解（1，11）、（4，

10、7）、（7，3）均不在可行域內，所以應取4x+3y=36.同樣可以驗證，在可行域內滿足上述方程的整點為（0，12）和（3，8）.此時z取最大值1800元. 。6、解：解方程組可得A（6，3）、B（6，1）、C（4，2）設方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，則：解之得：D=，E=4，F=30。所以所求的ABC的外接圓方程為：。7、分析：若直線y=kx+b與圓錐曲線f（x，y）=0相交于兩點P（x1，y1）、Q（x2、y2），則弦PQ的長度的計算公式為，而。，因此只要把直線y=kx+b的方程代入圓錐曲線f（x，y）=0方程，消去y（或x），結合一元二次方程根與系數的關系即可求出弦長。解：設A（x0

11、，0）（x00），則直線的方程為y=xx0，設直線與橢圓相交于P（x1，y1），Q（x2、y2），由 ，可得3x24x0x+2x0212=0， ，則，即x02=4，又x00，x0=2，A（2，0）8、解：圓方程x2+y22y8=0即x2+（y1）2=9的圓心O（0，1），半徑r=3。設正方形的邊長為p，則，又O是正方形ABCD的中心，O到直線y=x+k的距離應等于正方形邊長p的一半即，由點到直線的距離公式可知k=2或k=4。 （1）設 由 得A（3，1）B（0，2），又點A、B在橢圓上，a2=12，b2=4，橢圓的方程為。（2）設AB：y=x+4，同理可得兩交點的坐標分別為（0，4），（3，1

12、）代入橢圓方程得，此時b2a2（舍去）。綜上所述，直線方程為y=x+4，橢圓方程為。9、分析：已知了橢圓的焦點及相應準線，常常需要運用橢圓的第二定義：橢圓上的點到焦點的距離與到相應準線的距離之比等于離心率e，而該題中短軸端點也是橢圓上的動點，因此只要運用第二定義結合a、b、c的幾何意義即可。 解：設M（x，y），過M作于A，又過M作軸于O，因為點M為短軸端點，則O必為橢圓中心，化簡得y2=2x，短軸端點的軌跡方程為y2=2x（x0）。10、解：若橢圓的焦點在x軸上，如圖，四邊形B1F1B2F2是正方形，且A1F1=，由橢圓的幾何意義可知，解之得：，此時橢圓的方程為，同理焦點也可以在y軸上，綜上

13、所述，橢圓的方程為或。11、解：（1）設A、B兩點的坐標分別為 得， 根據韋達定理，得 線段AB的中點坐標為（） 由已知得 故橢圓的離心率為。 （2）由（1）知從而橢圓的右焦點坐標為 設關于直線的對稱點為解得 由已知得 故所求的橢圓方程為 12、分析：根據橢圓的第二定義，即到定點的距離與到定直線的距離之比等于常數e（0e1）的點的軌跡是橢圓，橢圓上任一點P（x1，y1）到左焦點F1的距離|PF1|=a+ex1，到右焦點F2的距離|PF2|=aex1；同理橢圓上任一點P（x1，y1）到兩焦點的距離分別為a+ey1和aey1，這兩個結論我們稱之為焦半徑計算公式，它們在橢圓中有著廣泛的運用。 解：由

14、橢圓方程可知a2=2，b2=1則c=1，離心率，由焦半徑公式可知，。又直線的方程為：即x1x+2y1y2=0，由點到直線的距離公式知，又點（x1，y1）在橢圓上，2y12=2=x12，為定值。13、解：以直線l為x軸，線段AB的中點為原點對立直角坐標系，則在l一側必存在經A到P和經B到P路程相等的點，設這樣的點為M，則。 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|，即 |MA|MB|=|BP|AP|=50，M在雙曲線的右支上。故曲線右側的土石層經道口B沿BP運往P處，曲線左側的土石層經道口A沿AP運往P處，按這種方法運土石最省工。相關解析幾何的實際應用性試題在高考中似乎還未涉及，其實在課本中還可找

15、到典型的范例，你知道嗎？14、分析：的兩個頂點為焦點，另一點是橢圓上的動點，因此，|F1F2|=2c，所以我們應以為突破口，在該三角形中用正弦定理或余弦定理，結合橢圓的定義即可證得。 證明：（1）在中，由正弦定理可知，則。 （2）在中由余弦定理可知。 15、解： （1）建立平面直角坐標系， 如圖所示 . | PA |+| PB |=| CA |+| CB | = 動點P的軌跡是橢圓 曲線E的方程是 （2）設直線L的方程為 ， 代入曲線E的方程，得設M1（， 則 i） L與y軸重合時， ii） L與y軸不重合時， 由得 又， 或 01 ， 而 ， ， 的取值范圍是16、分析：本小題主要考查直線、