1、授課章節(jié)第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第一節(jié)微分中值定理目的要求方程根的存在及不等式證明重點(diǎn)難點(diǎn)1 羅爾及拉格朗日中值定理2 方程根的存在及不等式證明復(fù)習(xí)3分鐘第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第一節(jié)微分中值定理一、 羅爾定理例1 費(fèi)馬定理：在內(nèi)可導(dǎo)，且，有則有注：稱使的點(diǎn)為駐點(diǎn)。例2 羅爾定理：如果函數(shù)滿足（1） 在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；（2） 在開(kāi)區(qū)間（a, b）上可導(dǎo)；（3） .則在（a, b）內(nèi)至少有一點(diǎn), 使.幾何解釋:二、 拉格朗日中值定理1. 拉格朗日中值定理: 如果函數(shù)滿足（1） 在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；（2） 在開(kāi)區(qū)間（a, b）上可導(dǎo).則在（a, b）內(nèi)至少有一點(diǎn), 使等式

2、成立.幾何解釋:注:1)當(dāng)時(shí), 上式也成立. 2)“”的記法:,(這里,則介于a,b之間.) 3)2. 定理:若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間（a, b）上滿足, 則在閉區(qū)間a, b上(c為常數(shù)).42分鐘3. 舉例例1 證明當(dāng)時(shí),不等式成立.(用拉格朗日中值法證明不等式的步驟:1確定函數(shù)的形式;2確定區(qū)間端點(diǎn).)例2 證明當(dāng)時(shí),不等式成立.例3 證明不等式成立.(分別討論等號(hào)與不等號(hào)成立時(shí)的情況)例4 證明當(dāng)時(shí),不等式成立.例5 證明當(dāng)時(shí),不等式成立.例6 證明方程只有正根.(討論根的存在性和根的唯一性)三、 柯西中值定理柯西中值定理:如果函數(shù)滿足（1） 在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；（2） 在開(kāi)區(qū)間（a, b）上

3、可導(dǎo)().則在（a, b）內(nèi)至少有一點(diǎn), 使等式.42分鐘內(nèi)容小結(jié)：方程根的存在及不等式證明思考題：幾個(gè)中值定理的關(guān)系.作業(yè)：P132 3,5,6,10,11,12備注：分鐘授課章節(jié)第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第二節(jié) 洛必達(dá)法則目的要求掌握未定式極限的求法重點(diǎn)難點(diǎn)未定式極限的求法復(fù)習(xí)3分鐘第二節(jié) 洛必達(dá)法則一、 未定式稱為未定式.二、 洛必達(dá)法則1. 關(guān)于型未定式定理1:滿足下列條件(1) ;(2) 在某個(gè)(或無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的某個(gè)鄰域)內(nèi)存在,且;(3) 存在,或?yàn)?則有例1.求注:1) “”可用“”來(lái)代替; 2)類似的可用二階導(dǎo)數(shù)比的極限來(lái)求一階導(dǎo)數(shù)比(未定式)的極限,即(未定式)= (未定式

4、)= 例2.求2. 關(guān)于型未定式與型未定式類似,可得型未定式求極限的定理.定理2:滿足下列條件(1) ;(2) 在某個(gè)內(nèi)(或無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的某個(gè)鄰域)存在;(3) 存在,或?yàn)?則有例3.求(n>0)注:利用上述洛必達(dá)法則必須先確定是未定式,否則將導(dǎo)致錯(cuò)誤.如42分鐘3. 型未定式,也可通過(guò)型或型未定式來(lái)計(jì)算.例4.(型未定式)例5.(型未定式)注:對(duì)于型未定式,是冪指函數(shù)型未定式,有其特殊的計(jì)算方法.所謂冪指函數(shù),即函數(shù)的形式為的稱為冪指函數(shù). 對(duì)于冪指函數(shù)型未定式采取的是取對(duì)數(shù)法.以下列例題為例給出取對(duì)數(shù)法.例6.(型未定式)當(dāng)然,羅必達(dá)法則可與其它的方法結(jié)合起來(lái)用,對(duì)有些問(wèn)題會(huì)更簡(jiǎn)單(先化

5、簡(jiǎn)).例7.(先進(jìn)行無(wú)窮小等價(jià)代換)有些未定式,洛必達(dá)法則是無(wú)效的,但并不能說(shuō)明極限不存在,可用其它方法來(lái)求.例8. 42分鐘內(nèi)容小結(jié)：洛比達(dá)法則;掌握未定式極限的求法思考題：能使用洛比達(dá)法則嗎?作業(yè)：P137 1(1)(3)(5)(7)(9)(11)(13),3備注：分鐘授課章節(jié)第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第三節(jié) 泰勒公式目的要求了解泰勒展開(kāi)公式重點(diǎn)難點(diǎn)1幾個(gè)特殊函數(shù)的泰勒展開(kāi)2函數(shù)的泰勒展開(kāi)復(fù)習(xí)3分鐘第三節(jié) 泰勒公式泰勒公式即是用多項(xiàng)式近似代替函數(shù)一種方法.一、 泰勒中值定理分析：對(duì)于函數(shù)，求一個(gè)n次多項(xiàng)式 （*）使其在點(diǎn)處函數(shù)值及一階、二階直至n階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)對(duì)應(yīng)相等，使得曲線與在點(diǎn)附

6、近擬合的好一些（畫圖），即； （*）由上述兩式可解得令，則得泰勒中值定理。泰勒中值定理: 如果函數(shù)在含有x0的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n+1階導(dǎo)數(shù),則對(duì),有稱它為泰勒公式，其中介于x與x0之間的數(shù)。（稱為拉格朗日余項(xiàng)）二、 麥克勞林公式在的泰勒公式稱為麥克勞林公式，即其中介于x與x0之間的數(shù)。注：的選取可類似于前面講的中值定理的選法，即。42分鐘三、 幾個(gè)重要函數(shù)的麥克勞林公式例1例2 （給出）例3 （給出）四、 舉例例4 按的冪展開(kāi)多項(xiàng)式例5 應(yīng)用麥克勞林公式，按x的冪展開(kāi)函數(shù)例6 求函數(shù)按的冪展開(kāi)的帶有拉格朗日余項(xiàng)的3階泰勒公式。42分鐘內(nèi)容小結(jié)：泰勒展開(kāi);邁克勞林展開(kāi);幾個(gè)特殊函數(shù)

7、的邁克勞林展開(kāi).思考題：邁克勞林展開(kāi)公式與邁克勞林展開(kāi)級(jí)數(shù)的關(guān)系作業(yè)：P143 1,4,6備注：分鐘授課章節(jié)第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性目的要求掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)本身性質(zhì)的關(guān)系重點(diǎn)難點(diǎn)1函數(shù)單調(diào)性、凹凸性及拐點(diǎn)的判斷法；2不等式的證明。復(fù)習(xí)分鐘第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、 函數(shù)的單調(diào)性的判斷畫圖分析：定理1：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a, b）上可導(dǎo)，則（1） 如果，則在a, b上單調(diào)增；（2） 如果，則在a, b上單調(diào)降。注：閉區(qū)間a, b可換成無(wú)窮區(qū)間，上述定理仍然成立。例1 判斷在0，2上的單調(diào)性。例2 判斷的單調(diào)性。例3 判

8、斷的單調(diào)性。注：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)：1導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)； 2導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。例4 判斷的單調(diào)區(qū)間。二、 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式分析：證明步驟：1設(shè)的形式； 2； 3當(dāng)x>a時(shí)，所以是單調(diào)增函數(shù)； 4=0例5 證明當(dāng)時(shí)，成立例6 證明當(dāng)時(shí)，成立例7 證明當(dāng)時(shí)，成立提示：設(shè)例8 證明當(dāng)時(shí)，成立例9 證明當(dāng)時(shí)，成立（不講）提示：兩邊取對(duì)數(shù)，即設(shè)，則注：注意在何時(shí)利用拉格朗日定理或單調(diào)性證明不等式42分鐘三、 曲線的凹凸與拐點(diǎn) 凹凸函數(shù)定義：（畫圖說(shuō)明）凸函數(shù)：；凹函數(shù)： 判斷法則定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a, b）上具有一階和二階可導(dǎo)，那么（） 如果，則在a, b上圖形是凸的

9、；（） 如果，則在a, b上圖形是凹的注：閉區(qū)間a, b可換成無(wú)窮區(qū)間，上述定理仍然成立。例10 判斷的凹凸性例11 判斷的凹凸性 拐點(diǎn)拐點(diǎn)定義（畫圖說(shuō)明，注意拐點(diǎn)是連續(xù)點(diǎn)）：凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)拐點(diǎn)的判斷：二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)；二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)例12 求曲線的拐點(diǎn)例13 求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)例14 指出是否有拐點(diǎn)例15 指出的拐點(diǎn)42分鐘內(nèi)容小結(jié)：函數(shù)單調(diào)性、凹凸性及拐點(diǎn)的判斷法；不等式的證明。思考題：證明不等式時(shí),若怎么辦?作業(yè)：P151 1,3(1)(3),4(1)(3)(5),6備注：分鐘授課章節(jié)第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值目的要求1極值的判斷；

10、2最值的求法。重點(diǎn)難點(diǎn)極值的判斷法則復(fù)習(xí)分鐘第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值一、 函數(shù)的極值及其求法 極值定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于去心鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)x都有（）則稱點(diǎn)是函數(shù)的極大值點(diǎn)（極小值點(diǎn)），為極大值（極小值）。（畫圖說(shuō)明）由前面講的費(fèi)馬定理（若存在，且（），則。 定理定理（極值存在的必要條件）：若存在，且在點(diǎn)處取到極值，則（畫圖說(shuō)明）定理（第一充要條件）：若函數(shù)在某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且在該去心鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)x滿足（1） 時(shí)，而時(shí)，則點(diǎn)是極大值點(diǎn)；（2） 時(shí)，而時(shí)，則點(diǎn)是極小值點(diǎn)；（3） 符號(hào)不變化，則點(diǎn)不是極值點(diǎn)。（畫圖說(shuō)明）注：由上述定理可得，極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)或一階

11、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。例1 求函數(shù)的極值。例2 求函數(shù)的極值例3 球函數(shù)在-3,4上的最大值與最小值42分鐘定理（第二充要條件）：若函數(shù)在點(diǎn)有二階導(dǎo)數(shù)，且，那么（1） 若，則點(diǎn)是極大值點(diǎn)；（2） 若，則點(diǎn)是極小值點(diǎn)。（由凹凸性分析。）求極值的步驟：（） 求出一階導(dǎo)數(shù)；（） 求出一階導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)；（） 判斷上述可疑點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)或其左右鄰域的符號(hào)；（） 判斷出極值點(diǎn)并求出極值。例3 求函數(shù)的極值。例4 求函數(shù)的極值。二、 最值問(wèn)題最大值和最小值定義：注：極值是函數(shù)局部的性質(zhì)，最值是函數(shù)全局性質(zhì)。（畫圖說(shuō)明）最值點(diǎn)的可疑點(diǎn)：極值點(diǎn)（一階導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)），端點(diǎn)。例3 鐵路線上AB段的距離為1

12、00km。C距A處為20km，AC垂直于AB。為了運(yùn)輸需要，要在AB線上選定一點(diǎn)D降工廠修筑一條公路。已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為3:5。為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省，問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處？ 例4 A B D 100km 20km C(,其中鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為k，公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為k)例5 某車間靠墻要蓋一間長(zhǎng)方形小屋，現(xiàn)有磚只夠砌20m長(zhǎng)的墻壁。問(wèn)應(yīng)圍成怎樣的長(zhǎng)方形才能使這間小屋的面積最大？42分鐘內(nèi)容小結(jié)：極值的判斷；最值的求法。思考題：最值點(diǎn)與極值點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系作業(yè)：P160 1(1)(3),4(1)(3)(5),9,10備注：分鐘授課章節(jié)第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪 第七節(jié) 曲率目的要求1會(huì)利用極值點(diǎn)、拐點(diǎn)，以及函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性等畫圖；2函數(shù)的曲率及曲率半徑重點(diǎn)難點(diǎn)曲率及曲率半徑的計(jì)算公式復(fù)習(xí)分鐘第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪的列表法：找出函數(shù)的特殊點(diǎn)以及各特殊點(diǎn)之間的函數(shù)性質(zhì)。（1） 特殊點(diǎn)：極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。（2） 特性：點(diǎn)調(diào)性、凹凸性。（求出一、二階導(dǎo)數(shù)）（3） 水平和鉛直漸進(jìn)線。例1 描繪函數(shù)的圖形。例2 描