1、課題：3.2立體幾何中的向量方法 （第76-79課時）（周三、周四、周五、周一；2010年元月6日、7日、8日、11日）【教學目標】1在學習了方向向量的基礎上理解平面的法向量的概念，為進一步運用打好基礎；2學會由直線的方向向量和平面的法向量的關系及向量的運算來判斷或證明直線、平面的位置關系；3學會運用直線的方向向量、平面的法向量及向量的運算來解決關于直線、平面的夾角及距離的問題（主要是關于角的問題）；4能初步利用向量知識解決相關的實際問題及綜合問題。【教學重點】向量運算在立體幾何證明與計算中的應用【教學難點】在運用向量知識解決立體幾何問題時的向量問題的轉化與恰當的運算方式【教學過程】一、雙基回

2、眸前面我們已經學習了空間向量的基本知識，并利用空間向量初步解決了一些立體幾何問題，已初步感受到空間向量在解決立體幾何問題中的重要作用，并從中體會到了向量運算的強大作用。這一節，我們將全面地探究向量在立體幾何中的運用，較系統地總結出立體幾何的向量方法。為此，首先簡單回顧一下相關的基本知識和方法：1直線l的方向向量的含義： .2向量的特殊關系及夾角（最后的填空是用坐標表示）（1）a/b ；（2）ab ；（3）a·a = ；（4）cosa,b = 。二、創設情景 前面，我們主要是利用向量的運算解決了立體幾何中關于直線的問題，如：兩直線垂直問題；兩直線的夾角問題；特殊線段的長的問題等等若再加

3、入平面，會出現更多的的問題，如：線面、面面的位置關系問題；線面的夾角問題；二面角的問題等等而且都是立體幾何中的重要問題，這些問題用向量的知識怎樣來解決呢？直線可由其方向向量確定并由其來解決相關的問題，平面又由怎樣的向量來確定呢？ 這些問題就是我們將要探究或解決的主要問題三、合作探究同學們都知道：垂直于同一條直線的兩個平面 。由此我們應該會想象出怎樣的向量可確定平面的方向了下面請同學們合作探究一下這方面的知識和方法：（一）平面的法向量： 。（二）直線、平面的幾種重要的位置關系的充要條件：請同學們根據直線的方向向量和平面的法向量的幾何意義直觀地得出直線、平面的幾種特殊的位置關系的充要條件（用直線的

4、方向向量或平面的法向量來表達）設直線 , 的方向向量分別為 ，平面 ， 的法向量分別為，則： ； ； ； ； ； 。【小試牛刀】1設直線 , 的方向向量分別為 ，根據下列條件判斷直線 , 的位置關系：（1）= （2 ，-1 ，-2），=（6 ，-3，-6）；（2）= （1 ， 2 ，-2），=（-2， 3， 2）；（3）= （0 ， 0， 1），=（0 ， 0，-3）。2平面 ， 的法向量分別為，根據下列條件判斷平面 ，的位置關系：（1）= （-2 ，2 ， 5），=（6 ，-4， 4）；（2）= （ 1 ，2 ，-2），=（-2，-4， 4）；（3）= （ 2 ，-3 ，5），=（-3 ，1

5、，-4）。3如圖，在正方體中，E、F分別是、CD的中點，求證： 平面ADE （你能用幾種方法呢？ ）（三）利用向量方法證明平面與平面平行的判定定理【定理】一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行已知：直線 , 和平面 ，其中, ， 與相交，求證：【分析】根據，所以只要證明即可，那需要證明，都是平面的法向量【證明】設直線 , 的方向向量分別為 ，平面 ， 的法向量分別為，【點評】向量法解題“三步曲”：（1）化為向量問題 （2）進行向量運算 （3）翻譯向量運算結果，回到圖形問題. 關于兩特殊點間距離的問題四、互動達標此類問題前面已經接觸過，下面再來總結及拓展一下：問題.1如圖,一

6、個結晶體的形狀為平行六面體,其中頂點A為端點的三條棱長都相等,且它們彼此的夾角都是60°,那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系。A1B1C1D1ABCD【分析】根據前面所學的方法，可將用與棱相關的向量表示出來，通過運算求解【解析】 【點評】遇到空間兩點間的距離問題，往往把兩點間的距離表示為以這兩點為起點和終點的向量的模。然后把向量進行恰當的分解，運用向量的模滿足的關系式：來進行針對性地運算和求解【探究】1.本題中平行六面體的另一條對角線的長與棱長有什么關系?2.如果一個平行六面體的各棱長都相等,并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都是等于,那么由這個平行六面體的對角線

7、長可以確定棱長嗎?3.本題的晶體中相對的兩個面之間的距離是多少?【分析】顯然，第1個問題與問題.1類似；第個問題是問題.1的逆向問題，所列的式子應該是一樣的，只不過未知數的位置不同；第個問題略有挑戰性，可把兩個面之間的距離轉化為兩點的距離或點到面的距離對于這個問題，同學們可在課后先探究一下，以后在進行總結下面我們再來看一個問題.1的逆向問題：問題.如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處。從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為a和 b ,CD的長為 c, AB的長為d 。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。 【分析】正如上面的分析，此題是問題.1的逆向問題，解決方

8、法與問題.1一致 【解析】ABCD【點評】由此可體會解決一類數學問題的方法，從而以靜制動，體現數學知識、方法應用的本質。【探究】1本題中如果AC和BD夾角可以測出，而AB未知，其他條件不變，可以計算出AB的長嗎？（通過課本第頁的第題體會一下即可）2如果已知一個四棱柱的各棱長和一條對角線的長，并且以同一頂點為端點的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？3如果已知一個四棱柱的各棱長都等于a ，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于，那么可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值嗎？【分析】顯然，第1個問題又回到了問題.1的形式；第、個問題是問題.1的逆向問題，但第個問題又是略有挑戰

9、性，需要通過做輔助線構出問題.的圖形模式對于這個問題，同樣是同學們先課后探究一下，以后在進行總結 關于直線、平面的位置關系的論證及夾角問題問題.3如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF PB交PB于點F。 （1）求證：PA平面EDB； （2）求證：PB 平面EFD； （3）求二面角CPBD的大小。【分析】此題包括：判定直線與平面平行和垂直及計算二面角的大小均可用向量方法來解決。題目中的垂直條件非常適合建立空間直角坐標系來表示向量。 【解析】【點評】(1)此題涉及到的問題都是立體幾何中的重點問題。通過解決過程來看，若條件適合建立

10、空間坐標系，建系表示向量來解決問題還是較簡潔的轉化為目標明確的坐標運算 (2) 同學們可用傳統法（不用向量）解決一下，比較各自的特點，便于解決問題時能恰當選擇方法可大體上分為三種方法：傳統法；向量法；坐標向量法。當然也可把這三種方法結合起來使用直線與平面所成的角怎樣用向量來解決呢？同學們可借助此題的背景來求直線PA與平面PBC所成角：關于點到平面的距離問題利用問題.3的條件（PD=DC改為PD=DC= a ）求出點A到平面PBC的距離總結出點到平面的距離的求法：關于實際問題問題4.一塊均勻的正三角形面的鋼板的質量為，在它的頂點處分別受力，每個力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都是，且，這塊鋼板

11、在這些力的作用下將怎樣運動？這三個力是多少時，才能提起這塊鋼板？【分析】鋼板所受重力為，垂直向下作用在三角形的中心O.若能將各頂點處所受的力，用向量形式表示，求出合力，就能判斷鋼板的運動狀態。【解析】【點評】此題是力的合成問題，用向量將其表示，轉化為數學問題，求出和向量即可，物理中的力、速度等量均可用向量來表示五、思悟小結 知識線： 思想方法線： 題目線：六、鞏固提高1（1）設平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k),若， 則k= ；若，則 k= 。（2）若的方向向量為(2,1,m),平面的法向量為(1, ,2),若，則m= ； 若，則m = .2如圖，已知線段AB在平

12、面內，線段，線段BDAB，線 段，如果ABa，ACBDb，求C、D間的距離 或：一個矩形ABCD，AB=3,CD=4,以BD為棱折成直二面角，求A、C之間的距離3（1）如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和AC,BD的長都等于a，點M , N分別是AB, CD 的中點，求證：MNAB , MNCD . （2）如圖，已知正方體ABCDABCD , B C 和C B 相交于點O,連結DO，求證：DOB C4. 如圖，M、N分別是棱長為1的正方體的棱、 的中點求異面直線MN與所成的角5如圖，正方體ABCDABCD中， 點E , F分別是B B， CD的中點。求證：面AED面A F D 6如圖，正方體ABCDABCD中， 點E , F , G , H , K , L 分別是AB ，B B