1、重積分習題六2、 設是由曲面,z=1,y=x以及y=0所圍閉區域位于x0,y0的部分。試將I=f(x,y,z)dv化成先對z次對x再對y積分的三次積分式。3、 設是一以(1，0，0)、(0，1，0)、(1，0，0)及(0，0，1)為頂點的四面體。試將I=f(x,y,z)dv化成先對z，次對y再對x積分的三次積分式。4、 是一以(1，0，0)、(0，1，0)、(1,0,0)以及(0，0，1)為頂點的四面體。試將f(x,y,z)dv化成先對x次對z再對y積分的三次積分式。5、 設是由|x+y|1,|xy|1及0z1所確定的區域。試將I=f(x,y,z)dv化成先對z次對y再對x積分的三次積分式。6

2、、 是由曲面x2+y2=1,z=0及z=1所圍的有界閉區域。試將I=f(x,y,z)dv化成先對z次對y再對x積分的三次積分式。7、 設是由曲面y=x2,y=1,z=y,z=y所圍的有界閉區域。試將I=f(x,y,z)dv化成先對z次對y再對x積分的三次積分式。8、 設是由所確定的有界閉區域。試將I=f(x,y,z)dv化成先對z次對y再對x積分的三次積分式。9、 設是由x+ya, x2+y2a2 及0zay(a>0)所確定的有界閉區域。試將I=f(x,y,z)dv化成先對z次對y再對x積分的三次積分式。10、 試將化成先對z再對x最后對y積分的三次積分式(a,h>0).11、 設

3、是由x2+y2+z2a2,|x+y|a,|xy|a所確定的區域(a>0).試將f(x,y,z)dv化成先對z次對y再對x積分的三次積分式。12、 試將化成先對x次對y最后對z積分的三次積分式。13、 設是由x+y+z=1,x+y=1,x=0,y=0以及z=1所圍的有界閉區域。試將化成先對z次對y最后對x積分的三次積分式。14、 設是由及z=1所圍的有界閉區域，試將化成先對z次對y再對x積分的三次積分式。15、 設是由曲面z=x2+y2,z=2x2+y2以及x2+y2=R2 (R>0)所圍的有界閉區域。試將I=化成先對z次對y再對x積分的三次積分式。16、 是由錐面及z=1所圍的有界

4、閉區域。試將I=分別化成柱面，球面坐標下的三次積分式。17、 設是由x2+y2+(z2)24所確定的立體，試將化成直角坐標，柱面坐標以及球面坐標下的三次積分式。18、 是由x2+y2+z2R2;z0所確定的上半球體，試將分別化成直角坐標，柱面坐標及球面坐標下的三次積分式。19、 設是由z=x2+2y2及z=32x2y2所圍的有界閉區域。試將分別化成直角坐標與柱面坐柱下的三次積分式。20、 設是由平面圓盤 (R>r>0)繞z軸旋轉一周而得的立體。試將化成柱面坐標下的三次積分式。21、 設 由xoz平面上曲線z=x;z=x以及x=1所圍的圖形繞z軸旋轉一周后所得的立體。試將分別化成直角

5、與柱面坐標下的三次積分式。22、 設 (p1),其中是第一卦限滿足x2+y2+z2R2的有界閉區域(R>1).試討論當R+時IR的極限及當極限存在時的極限值。23、 設是由z=x2+y2及z=1所圍的有界閉區域，試將化成球面坐標下的三次積分式。24、 設是由，0xy所確定的立體，試將f(y,z)dv化成球面坐標下的三次積分式。25、 設是由及z=0所圍的閉區域，試將分別化成球面、柱面坐標下的三次積分式。26、 是由x2+y2+z22Rz (R>0)所確定的立體，試將化成球面坐標下的三次積分式。27、 設是由0z，x2+y2y0所確定的閉區域，試將化成柱面坐標下的三次積分式。28、

6、設是由x2+y22z，1z2所確定的閉區域，試將I=化成柱面坐標下的三次積分式29、 是由z=x2+y2，z=1，z=2所圍介于1z2部分的立體，試將化成球面坐標下的三次積分式。30、 設是由z2=x2+y2;z=1及z=3所圍的有界閉區域，試將化成柱面坐標下的三次積分式。31、 是由曲面2z=x2+y2,(x2+y2)2=x2y2及z=0所圍的有界閉區域，試將I=f(x,y,z)dv化成柱面坐標下的三次積分式。32、 試將化成柱面坐標下的三次積分式。33、 設是由1x2+y2+z24以及所確定的閉區域，試將I=化成柱面坐標下的三次積分式。34、 設是由 (0<a<R)及z0所確定

7、的閉區域，試將I=化成球面坐標下的三次積分式。35、 設是由z=x2+y2,x2+y2=1以及z=0所圍的有界閉區域，試將I=分別化成直角，柱面及球面坐標下的三次積分式。36、 設是由x2+y2+z2a2, (a>0)及z0所確定的有界閉區域。試將f(x,y,z)dv分別化成柱面及球面坐標下的三次積分式。37、 試將化成柱面及球面坐標下的三次積分式。38、 設是由x2+y2=4,z=0及z=x+y+10所圍的有界閉區域，試將I=化成柱面坐標下的三次積分式。39、 設是由曲面x2+y2=2x,z=(x2)2+y2以及z=0所圍的有界閉區域，試將f(x,y,z)dv化成柱面坐標下的三次積分式

8、。40、 設是由及y0所確定的立體，試將化成柱面坐標下的三次積分式41、 設是由x2+y2+z22z+3所確定的立體，試將化成球面坐標下的三次積分式42、 設是由x2+y2+z22z+3所確定的有界閉區域，試將化成柱面坐標下的三次積分式43、 試將化成柱面坐標下的三次積分式。44、 設是由1x2+y2+z22,z0及x2+y21所確定的閉區域，試將化成球面坐標下的三次積分式。45、 試將柱面坐標下的三次積分化成球面坐標下的三次積分式。46、 試將柱面坐標下的三次積分化成球面坐標下的三次積分式。47、 設是由以及1x2+y2+z24所確定的閉區域，試將化成球面坐標下的三次積分式。48、 試將化成

9、球面坐標下的三次積分式。49、 試將化成球面坐標下的三次積分式，并由此計算上面的積分值。50、 設是由所確定的球體，試將化成球面坐標下的三次積分式。51、 設是由x2+y2+z24R2以及x2+y2+(z2R)24R2所確定的閉去域，試將I=化成柱面及球面坐標下的三次積分式.52、 設 m為實數(1) 試求I(m,); (2) 討論.53、 設是由y=x;y=x,x=1,z=0,z=1所圍的有界閉區域，試將I=化成柱面坐標下的三次積分式。54、 設是由及所圍的有界閉區域，試將化成球面坐標下的三次積分式。55、 設是由曲面及所圍的有界閉區域，試將化成柱面坐標下的三次積分式。56、 試用坐標變換將

10、積分化成新變量下的二次積分式。57、 設是單位球體x2+y2+z21,試將化成一元函數的積分式，其中a2+b2=1.58、 設D是由直線x+y=a (a>0),x=0,y=0所圍的三角形域，試將積分化成新變量u,v下的二次積分式，其中u=x+y,.59、 試求第一象限由曲線x2+y3=axy所圍圖形的面積。60、 求在x0部分由曲線y=cosx及y=cos2x所圍第一塊封閉圖形的面積。61、 D是由曲線y2=4(x+y)以及x+y=4所圍的圖形，試求D的面積。62、 試求在x0部分由曲線y=sin2x及y=cos4x所圍第一塊封閉圖形的面積。63、 在部分，試求由y=sinx,y=cos

11、x所圍圖形的面積。64、 曲線所圍圖形被圓x2+y2=1截成兩部分，試求位于圓x2+y2=1外部分圖形的面積。65、 試用二重積分計算由曲線y2=x，yx+2=0所圍圖形的面積。66、 試求上半平面介于曲線x2+y2=a(+x)，x2+y2=b(+x) (b>a>0)之間圖形的面積。67、 試求在極坐標下由ra(1+cos),r2acos (a>0)所確定圖形的面積。68、 試用二重積分計算由曲線以及y2=2px+p2 (p>1)所圍圖形的面積S(p),并證明.69、 直線y=x將由x2+3y26y所確定的圖形分成兩部分，試求其中較小部分一塊的面積。70、 在極坐標下求

12、由 (a>0)所確定圖形的面積。71、 試求由極坐標方程ra(1+cos),ra(1cos)所確定圖形的面積。72、 試求由與x2+y2a2所確定的平面圖形面積。73、 試求由,y2x;y82x所確定的平面圖形的面積。74、 試求由曲線(x2+y2)2=x3所圍封閉部分圖形的面積。75、 試求由曲線y2=x,y2=4x,x2=2y及x2=4y (x>0,y>0)所圍閉區域的面積。76、 試求由(x2+y2)216xy及所確定的平面圖形面積。77、 試求在第一卦限由曲面y2=x1,z=0,z=3y,x=5所圍立體的體積。78、 試求柱面x2+y2=a2 (a>0)被平面z

13、=k1x和z=k2x (k1,k2>0)所截在y0部分曲面的面積。79、 試求由曲面z=x2+y2,x2+y2=x,x2+y2=x (>1), z=0所圍空間立體的體積。80、 試求由曲面z=x2+2y2與z=2x2所圍空間立體的體積.81、 試求在第一卦限由曲面z=x2y,x2+y2=2x,z=0所圍立體的體積.82、 試求由,x2+y2+2y0,x2+y2+3y0所確定立體的體積。83、 試求由所確定的立體的體積。84、 試求由x2+y2+z22az及x2+y2+z2b2 (a>b>0)所確定的立體體積。85、 試求區域|x+2y|2,|x2y|2被平面z=0及曲面

14、z=x2+y2截下有限部分的體積。86、 試求圓錐面z2=x2+y2被柱面x2+y2=2ax (a>0)截下有限部分的曲面面積。87、 試求錐面 被柱面(x2+y2)2=2a2xy截下有限部分曲面的面積(a>0)。88、 試求z2=xy,x+y=a,x+y=b (0<a<b)所圍有界閉區域的體積。89、 求第一卦限中的曲面y2+z2=a2被平面y=b (0<b<a)以及y=x所截下部分的面積。90、 求圓柱面y2+z2=a2在第一卦限中位于x+y2a,xy部分的面積(a>0).91、 試求柱面x2=2z被平面x2y=0,y=2x及所截下有限部分曲面的面

15、積。92、 求拋物面x=1y2z2被柱面y2+z2=1截下有限部分曲面的面積。93、 求曲面z2=2xy被平面x=1,y=4及z=0截下有限部分的面積。94、 求在第一卦限中曲面被柱面x4+x2y2y2=0及y=x所截下有限部分的面積。95、 試求由y2+z2=1,|x+y|=1,|xy|=1所圍立體的體積。96、 試求由0zx2+y2,0xa,0yb所確定的立體的體積。97、 試求由x2+y2+z2a2及x2+y2ax (a>0)所確定的空間立體的體積。98、 求由曲面y=a2x2,z=x+2y,x=0,y=0,z=0所圍位于第一卦限部分立體的體積 (a>0)。99、 試求拋物面

16、y2+z2=4ax被y2=ax及x=3a (a>0)所截下部分曲面的面積。100、 試求由x0,x2+y26a2 (a>0)以及0z2xy所確定立體的體積。101、 試求由封閉曲面(x2+y2+z2)2=az(x2+y2), (a>0)所圍立體的體積。102、 試求由閉曲面(x2+y2+z2)3=a2(x2+y2)2 (a>0)所圍立體的體積。103、 試求在第一卦限內由曲面(x2+y2+z2)2=axyz (a>0)所圍立體的體積。104、 試求由z=x2+y2及z=x+y所圍立體的體積。105、 空間立體r2x2+y2+z2R2,z0 (0<r<R

17、)被錐面z2=(cot2)(x2+y2) 分割成兩部分，試求兩部分的體積之比，并問為何值時兩部分體積相同。106、 試求由z=lnx,z=lny,z=0及x+y=2e所圍空間立體的體積。107、 試求第一卦限內由曲面(x2+y2+z2)2=axyz (a>0)所圍立體的體積。108、 試求由(x2+y2+z2)2=a3x所圍空間立體的體積 (a>0)。109、 試求球面x2+y2+z2=a2位于及 (a>0)之間部分的面積。110、 試求曲面z=2x2y2被平面z=1截下部分的面積。111、 試求曲面z=xy被柱面x2+y2=a2 (a>0)所截下部分的面積。112、

18、試求錐面被柱面(x2)2+y2=4截下部分的面積。113、 試求曲面x2+y2=2az介于柱面x2+y2=3a2及x2+y2=8a2 (a>0)之間部分的面積。114、 試求x2+y2+z2=a2含于柱面x2+y2=ax (a>0)之內部分的面積。115、 試求曲面x2+y2=az被曲面 (a>0)截下部分的面積。116、 試求拋物面y2+z2=4ax被柱面y2=ax及x=3a (a>0)所截下部分曲面的面積。117、 求半球面被圓柱面x2+y2Ry=0 (R>0)截下部分曲面的面積。118、 試求柱面y2+x2=2x被錐面x2+y2=z2所截下部分的面積。119

19、、 試求曲面被z2=2x截下有限部分的面積。120、 試求曲面被柱面(x2+y2)2=a2(x2y2) (a>0)截下部分的面積。121、 試求曲面4z=x2+y2含于球面x2+y2+z2=12內部部分曲面的面積。122、 試求柱面x2+y2=ax含于球x2+y2+z2a2內部分的面積 (a>0)。123、 試求錐面x2=y2+z2被曲面z=y2及平面z=y+2截下有限部分的面積。124、 試求曲面x2+y2=6z與所圍立體的體積。125、 試求由x2+y2+z24與x2+y23z所確定的立體的體積。126、 試求立體z2x2y2被平面z=2x+2截下有限部分的體積。127、 試求

20、由z=4x2y2與z=4x+4所圍立體的體積。128、 試求由z6x2y2,x2+y21所確定立體的體積。129、 試求由a2x2+y2+z2b2 (0<a<b),x2+y2z2,z0所確定立體的體積。130、 試求第一卦限中y2+z21被y=x截下有限部分的體積。131、 試求由x2+y2az=0,(x2+y2)2=a2(x2y2),z=0 (a>0)所圍有限部分立體的體積。132、 試求由與x2+y2=ax (a>0)所圍有限部分立體的體積。133、 試求由a2x2+y22ax,所確定立體的體積 (a>0)。134、 試求由xx2+y22x,所確定立體的體積。

21、135、 試求由x2+y2=az與 (a>0)所圍立體的體積。136、 試求由z=x2+y2與z=8y2所圍立體的體積。137、 試求在柱面坐標下由racos,r2+z2a2 (a>0)所確定立體的體積。138、 設v(k)為曲面 (k=2,3,)所圍立體的體積，試證v(k)有上界，并求 之值。139、 試求由x2+y2+z2R2與所確定立體的體積。140、 試求由,x=0,z=x所圍有限部分立體的體積。141、 試求由,0x1,0y2所確定立體的體積。142、 設均勻薄片由1,y0確定，試求薄片的質心坐標(0=1)。143、 設面密度(x,y)=y的平面薄片由1及y2|x|所確定

22、，試求該薄片的質心坐標。144、 設勻質薄片(0=1)由Rxx2+y22Rx所確定 (R>0)，試求其質心坐標。145、 試求體密度為1的均質球體(xR)2+y2+z2R2關于z軸的轉動慣量。146、 試求邊長分別為a,b,頂角為j，(的勻質平行四邊形薄片關于其長度為a的一邊的轉動慣量 (0=1)。147、 試求邊長為a的勻質正方體關于其一條棱邊的轉動慣量(設密度=1)。148、 設D是由極坐標方程確定的曲線r=,0££所圍的勻質有界閉區域(=1),試求其重心坐標()中的值。149、 設是由(x2+y2)2a2(x2y2),x0,0z2 (a>0)所確定的空間勻

23、質體(=1),試求它關于z軸的轉動慣量。150、 是邊長分別為a,b,c的長方體，若其內任一點處的體密度等于該點到一頂點距離的平方，試求是質量。151、 試求勻質圓盤x2+y2R2對其某一切線的轉動慣量(設密度為0)。152、 在勻質半圓盤x2+y2R2,y0上接一面密度相同，其一邊與直徑也吻合的矩形，若要使拼接后質心落在坐標原點，試求矩形另一邊長度(設密度=1)。153、 試求由曲面az=a2x2y2 (a>0),z=0所圍勻質立體的質心坐標。154、 是由a2x2+y2+z24a2 (a>0)所確定的空心球體，其體密度，試求的質量。155、 一圓錐由及z=h所圍，其體密度為各點

24、到xoy平面距離的n次方(n>0).試求錐體的質量。156、 試求由0ysinx,所確定的勻質薄片的質心坐標。157、 試求在x0部分，由曲線y2=x2x4所圍勻質薄片的質心坐標(設密度=1)。158、 設是一密度為1的球體x2+y2+z21挖去x2+y2R2 (0<R<1)后的剩余部分，試求關于z軸的轉動慣量。159、 設球體上各點的體密度與該點到(0，0，2)的距離成反比，試求其質量。160、 設D是由曲線所圍的有界閉區域，其上各點的面密度為(x,y)=|x|.試求薄片的質量。161、 試求由，x2+y2=a2(a>0)及z=0所圍的勻質體關于z軸的轉動慣量(設密度

25、=1)。162、 設空間立體由z22ax,x2+y2ax (a>0)及z0所確定，其體密度函數為(x,y)1.試求立體關于z軸的轉動慣量。163、 勻質半球體(=1):x2+y2+z2a2,z0被柱面x2+y2=ax (a>0)截成兩塊，求其中含在柱面內一塊質心坐標()中的值。164、 設面密度為=1的平面均質薄片由x2+y2ax0及x2+y22ax0 (a>0)所確定，試求其對于x軸的轉動慣量。165、 面密度為=1的平面薄片由及yx10,x0所確定，試求其質心坐標中的坐標。166、 設是由xoy平面上x=0,x=1,y=0,所圍的平面圖形繞x軸旋轉一周后所得的立體。試求其

26、關于x軸的轉動慣量(設密度為r0).167、 設D是第一象限由y=kx, (k>1)及2xy=1所圍的平面薄片，其面密度為試求薄片質量。168、 試求由x2+y2+z22z與所確定的均勻立體對z軸的轉動慣量(設密度=1)。169、 平面薄片由曲線,x=0及所圍成，其面密度函數為(x,y)=x.試求薄片質量。170、 均質薄片是由y=sinx和y=sin2x在x0部分所圍的第一塊封閉域，試求其質心坐標(,)中的坐標。171、 設平面薄片由(x2+y2)216xy及>0所確定，其面密度函數為(x,y)=x2+y2.求薄片質量。172、 設是第一卦限上由z1x2y2;所確定的立體，體密度

27、1.試求其質心坐標(,)中的。173、 設是由z=x2+y2，x2+y2=a2及z=0所圍的勻質立體。試求其關于直線 的轉動慣量(設密度為r0).174、 設是由z=x2+2y2及z=2x2所圍的勻質立體，試求其關于z軸的轉動慣量(設密度為0 ).175、 設是由x2+y2+2ax=0,x2+y2=2az (a>0)及z=0所圍的立體，其體密度函數為(x,y)=.試求的質量。176、 設是由及x2+y22z所確定的勻質體(0=1).試求其關于z軸的轉動慣量。177、 設是由z=x2+y2及z=x+y所圍的立體，試求其質量(設密度為0).178、 設D是由y=0,y=x及x=1所圍的平面薄

28、片，其上各點的面密度為(x,y)=x+y,試求薄片質量。179、 設平面薄片由曲線y=x2及x=y2所圍，其面密度函數為(x,y)=xy3.試求薄片的質量。180、 設圓形薄片x2+y2R2的面密度函數為(x,y)=1+.試求薄片質量。181、 環形薄片由R2x2+y216 (R<4)所確定，其上各點的面密度與該點到圓心的距離成反比，且已知在內圓上各點的面密度為1。試問R為何值時質量最大，并求出該質量的最大值。182、 設由曲線與直線y=1,x=2所圍的平面薄片上任一點的面密度與該點到兩坐標軸距離的乘積成正比，且知(1，1)點的密度為4，試求此薄片的質量。183、 設D是由|x+y|1,|xy|1所確定的平面薄片，其面密度函數為(x,y)=(x+y)2.試求薄片的質量。