1、插值法Interpolation等距節(jié)點(diǎn)插值Hermite插值分段低次插值1內(nèi)容提要n 等距節(jié)點(diǎn)的Newton 插值l 差分與均差l 等距 Newton 插值2Newton插值公式f (x) = f (x0 ) + f + f - x0 ) + f n (2 (- xn-1 ) + f - x1 ) +Ln wn+1 ( x)( x )Nn( x ):Rn3均差計(jì)算時(shí)，分母與值有關(guān)，計(jì)算起來比較復(fù)雜，是否可以簡化？4均差表均差表xi(xi)一階差商差商三階差商n 階差商x0 x1 x2 x3Mxn(x0)(x1)(x2)(x3)M(xn)x0, x1x1, x2x2, x3Mxn-1, xnx

2、0, x1, x2x1, x2, x3Mxn-2, xn-1, xnx0, x1, x2, x3Mxn-3, xn-2, xn-1, xnx0, x1, xn向前差分l 在實(shí)際應(yīng)用中，通常采用等距節(jié)點(diǎn)：xi = x0 + i h ，i = 1, 2, , nh>0，稱為步長此時(shí)，可以使用差分來簡化 Newton插值公式l 向前差分（上簡稱為差分）D fi=f ( xi + h) - f ( xi )定義為 f(x) 在 xi 處步長為 h 的一階向前差分5高階差分l 高階差分D fi=f ( xi + h) - f ( xi ) =- fifi+1D2= D(D fi ) = D fi

3、+1 - D fi=- 2 fi +1 +fifi + 2fiM向前差分Dnn-1n-1fi = D(Dfi ) = Dfi+1- Dn-1 fin 階向前差分的定義D0fi =f ( xi )規(guī)定6差分與函數(shù)值l n 階差分的具體表達(dá)式定義不變算子 I 與移位算子 E，即I fi = fi ,= fi+1E fiD fi =- fi= E fi- I fi = (E - I) fifi+1éùæönnêån-kD nf = (E - I)n f =(-1)kEfúç k ÷iiièø

4、ë k =0ûn(n - 1)L(n - k + 1) fk !n= åk =0(-1)kn-k +iék ùæ nön= êåç= E fi = (I + D)fi÷ Dnnfn+iú fi反之，有ë k =0 è k øû7差分與均差差分與差商之間的關(guān)系= Dfkf khkf xk +1 , xk +2 - f xk , xk +1 D2ff = k2h2k +2- xxk +2kLLDm1ff x =(m = 1, 2,L, n)

5、,L, x khmk +mkm!f (n) (x)Dnf= hnf (n) (x)kf n =xÎa, b,xÎ( xk , xk +n )n!8計(jì)算差分的函數(shù)：diff9差分表差分表xi(xi)一階差分差分三階差分n 階差分x0 x1Mxn-3 xn-2 xn-1 xn(x0)(x1)M(xn-3)(xn-2)(xn-1) (xn)D0MDn-3Dn-2Dn-1D20D21MD2n-3D2n-2D30D31MD3n-3Dn0等距節(jié)點(diǎn)插值將 Newton 均差插值多項(xiàng)式中各項(xiàng)均差用相應(yīng)差分代替，就可得到各種形式的等距節(jié)點(diǎn)插值公式。+ t (t -1) D2+L + t (t

6、 -1)L(t - n +1) DnN ( x + th) = f + tDfffn000002!n!Newton前插公式( x ) = t (t - 1)L(t - n ) hn +1 f (n +1) (x) ,x Î ( x , x)其為 R( n + 1)!n0n10插值舉例例：給出 f (x) = cos x 在等距節(jié)點(diǎn) 0:0.1:0.5 處的函數(shù)值，試用4 次 Newton 前插公式計(jì)算 f (0.048) 的近似值，并估計(jì)誤差。解：取等距節(jié)點(diǎn) x=0:0.1:04，做差分表插值點(diǎn) x = 0. 048t =(x-x0)/h=0. 48N4(0.048) = 1.000

7、00 + 0.48*(-0.00500) + × × ×= 0.99884ex26.m|R4(0.048)| £ t(t-1) (t-2) (t-3) (t-4)h5M5/5! £ 1.09212´10-711xi(xi)DD2D3D40.00.10.20.30.41.000000.995000.980070.955340.92106-0.00500-0.01493-0.02473-0.03428只需使用差分表對角元素-0.00993-0.00980-0.00955-0.00013-0.00025-0.00012差分與中心差分差分fi

8、 = f ( xi )lÑ0Ñ fi =f ( xi ) -f ( xi -1 )(k = 1, 2, ,n)l 中心差分æh öæh ödfi =f ç xi +÷ - f ç xi-÷2 ø2 øèè(k = 1, 2, , n)12dk f = dk -1 f-dk -1 fii+ 1i- 122d0 f = f ( x )iiÑk f = Ñ(Ñk-1 f ) = Ñk-1 f - Ñk-1 fii

9、ii-1內(nèi)容提要n 等距節(jié)點(diǎn)的Newton 插值l 差分與均差l 等距 Newton 插值n Hermite 插值l 重節(jié)點(diǎn)差商與 Taylor 插值l 三點(diǎn)三次 Hermite 插值l 兩點(diǎn)三次 Hermite 插值13Hermite:巨悲劇，人生很14Hermite 插值為什么 Hermite 插值在許多實(shí)際應(yīng)用中，不僅要求函數(shù)值相等，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)也相等，如機(jī)翼設(shè)計(jì)等p( x) »f ( x)p(2) ( x ) =iMf (2) ( x )ip(m) ( x ) =f (m) ( x )ii滿足函數(shù)值相等且導(dǎo)數(shù)也相等的插值方法稱為Hermite插值15p( xi ) =

10、f ( xi )（i = 0, 1, , n）p '( xi ) = f '( xi )重節(jié)點(diǎn)差商l 差商的一個(gè)性質(zhì)定理：設(shè) f(x)Î Cna, b， x0 , , xn 為 a, b 上的互異節(jié)點(diǎn)，則 fx0 , , xn 是其變量的連續(xù)函數(shù)重節(jié)點(diǎn)差商f ( xf x , x =lim f x , x =)00010x1 ® x01 = =f lim f f "( x )0202!x1 ® x0x2 ® x0一般地，n 階重節(jié)點(diǎn)差商定義為1f x ,K, x = =( n) ( xlim f f)00n0n!16x 

11、4; xi0Taylor插值什么是 Taylor 插值在 Newton 插值公式中，令 xi ® x0 ,i = 1, , n, 則n-1n Õ( x - xi )Nn ( x) = f ( x0 ) + f - x0 ) +L + f i=1f ( n) ( x)= f ( x0 ) +0 ) +L +0( x - x0 )nf '(n!( n+1)n+1R (n0l Taylor 插值就是在一個(gè)節(jié)點(diǎn) x0 上的 n 次 Hermite 插值17Hermite 插值一般來說，給定 m+1 個(gè)插值條件，就可以構(gòu)造出一個(gè) m 次 Hermite 插值多項(xiàng)式n 兩個(gè)典型

12、的 Hermite 插值l 三點(diǎn)三次 Hermite 插值插值節(jié)點(diǎn)：x0 ,x1 ,x2插值條件：p(xi) = f(xi)，i = 0, 1, 2，p(x1) = f(x1)l 兩點(diǎn)三次 Hermite 插值插值節(jié)點(diǎn)：x0 ,x1插值條件：p(xi) = f(xi)，p(xi) = f(xi) ，i = 0, 118三點(diǎn)三次Hermite 插值三點(diǎn)三次 Hermite 插值插值節(jié)點(diǎn)：x0 ,x1 ,x2插值條件：p(xi) = f(xi)，i = 0, 1, 2，p(x1) = f(x1)p( x) = f ( x0 ) + f + A(- x0 )2( x - x0 )( x - x1 )

13、- x1 )( x - x2 )可設(shè)f 將 p(x1) = f(x1) 代入可得f '( x1 ) - f x0 , x1 - x0 )f 2 ( x1A =- x2 )(119三點(diǎn)三次Hermite 插值l公式由于 x0 , x1 , x2 是 R(x) 的零點(diǎn)，且 x1 是二重零點(diǎn)，故可設(shè)R( x) f ( x) - p( x) = K (- x2 )0 )(與 Lagrange 插值公式的推導(dǎo)過程類似，可得( 4)- x2 )R(其中 xx 位于 由 x0 , x1 , x2 和 x 所界定的區(qū)間 內(nèi)20插值舉例例：函數(shù) f(x) = x3/2，插值條件如下f(1/4) = 1/

14、8，f(1) = 1，f(9/4) = 27/8，f(1) = 3/2試給出三次Hermite插值多項(xiàng)式，并寫出解：作差- 1 )( x - 1)p(4- 9 )+ A(421將 p(1) = f(1) = 3/2 代入可得 A = -14/225xi(xi)一階差商差商1/419/41/8127/87/619/1011/30插值舉例+ x -45025p(R( x) =f ( x) - p( x)f (4) (x)9=-)(4!49x-5/ 29=-)(4!´ 16422兩點(diǎn)三次Hermite 插值兩點(diǎn)三次 Hermite 插值插值節(jié)點(diǎn)：x0 ,x1插值條件：p(xi) = f(x

15、i) = yi，p(xi) = f(xi) = mi，i = 0, 1仿照 Lagrange 多項(xiàng)式的思想，設(shè)p( x) H3 ( x) = a0a0 ( x) + a1a1 ( x) + b0b0 ( x) + b1b1 ( x)a0 ()均為 3 次多項(xiàng)式，且滿足其中aj ( xi ) = dji ,aj'( xi ) = 0,bj'( xi ) = djibj ( xi ) = 0,i,j= 0, 123兩點(diǎn)三次Hermite 插值將插值條件代入立即可得H3 ( x) = y0a0 ( x) + y1a1 ( x) + m0b0 ( x) + m1b1 ( x)如何確定

16、a0(x), a1(x), b0(x), b1(x) 的表達(dá)式？a0(x)a0 (a0'( x1 ) = 01 ) = 0,a0'( x1 ) = 0ö2a0 ( x1 ) = 0,a0 (1 ÷x1èø0a0 ( x0 ) = 1,a0'( x0 ) = 0a =2=0-2410兩點(diǎn)三次Hermite 插值同理可得ö2a1 ( 0 ÷ø0相類似地，可以推出ö2÷b0 (1 øö2÷b1 (0 ø25a0 (ö21 ÷1

17、ø兩點(diǎn)三次Hermite 插值所以，滿足插值條件的三次 Hermite 插值多項(xiàng)式為f ( 4) ()xÎR 3 ( x) =x ( x -2(x ,x )1 )x014 !26ö2H 0 ÷- x0 øæö2+ m0 ( x - x0 ) ç0 ÷è0 ø p(x0) = f(x0) = y0，p(x0) = f(x0) = m0p(x1) = f(x1) = y1，p(x1) = f(x1) = m1Hermite插值例題x ， f ¢( x ) =1的數(shù)值表：2x已知函

18、數(shù) f ( x) =Hermite 插值多項(xiàng)式計(jì)算試用兩點(diǎn)三次5近并誤差。ö2a÷øö2a÷.237øbR (5) =(5 - 4)2 (5 - 9)2 < 0.00492734!bf (4) (x)x49f ( x )23f (x )1 41 6內(nèi)容提要n 等距節(jié)點(diǎn)的Newton 插值l 差分與均差l 等距 Newton 插值n Hermite 插值l 重節(jié)點(diǎn)差商與 Taylor 插值l 三點(diǎn)三次 Hermite 插值l 兩點(diǎn)三次 Hermite 插值n 分段低次插值l 為什么要分段插值l 分段線性插值l 分段三次 Hermi

19、te 插值28分段低次插值為什么分段低次插值l多項(xiàng)式插值的性質(zhì)：出現(xiàn)震蕩數(shù)值不穩(wěn)定n® ¥ 時(shí) Ln(x) 不一定收斂于 f(x)l 理論上：插值多項(xiàng)式的次數(shù)并非越高越好！例：Runge 函數(shù)的等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式x= -5 + 10kÎ-5, 5f (knex22.m29Runge現(xiàn)象L10 ( x)11+ x2ex21.m30分段低次插值l 分段低次插值 用分段低次多項(xiàng)式函數(shù)來逼近原函數(shù) f(x)l 常見的分段低次插值l 分段線性插值 每個(gè)小區(qū)間上用線性多項(xiàng)式來逼近 f(x)l 分段三次 Hermite 插值 每個(gè)小區(qū)間上用三次Hermite多項(xiàng)式來逼近 f(x

20、)31分段線性插值：折線法1。 Ih ( x) Î C a, b2。 Ih ( xk ) = fk(k = 0,1,L, n)稱 Ih ( x) 為分段線性插值函數(shù)323。 Ih ( x) 在每個(gè)區(qū)間xk , xk +1 上是線性函數(shù)分段線性插值由以上條件直接可得 Ih(x) 在小區(qū)間 xk, xk+1 上的表達(dá)式- xkI ( x) = yhk- xk +1kx Î xk, xk+1，k = 0, 1, , n-133誤差估計(jì)l 誤差估計(jì)在小區(qū)間 xk, xk+1 上有( k )h2Mf ( x) - Ih (k )( x - xk +1 ) £ 2 k 24M

21、2 = maxf "( x)a£ x£bM=f ( x) - Ih (k )( x - xk +1 ) £2R( x)2h8當(dāng) h® 0 時(shí)，R( x) =f ( x) - Ih ( x) ® 0Ih(x) 在 a, b 上 一致收斂 到 f(x)分段線性插值的缺點(diǎn)： Ih(x) 在節(jié)點(diǎn)不可導(dǎo)34( k )k分段三次Hermite插值分段三次 Hermite 插值設(shè) a £ x0 < x1 < ··· < xn £ b 為a, b 上的互異節(jié)點(diǎn)yk f(xk) ,mk f'(xk) ， k = 0, 1, , n求分段函數(shù) Ih(x) 滿足I h ( x ) Î C a , b 1I h ( xk ) =I h '( xk ) = mk ,k = 0,1, ¼y