1、省 城 高 校 第 三 屆 六 校 數 學 建 模 聯 賽承 諾 書我們仔細閱讀了太原地區數學建模聯賽的競賽規則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽試題題目是:A題 長途列車的用餐銷售效益問題參賽報名號為：04016

2、參賽隊員 (打印并簽名) ：1.郭舒鵬 2.韓合坤 3.陳緒高 日期：2012年04月27日評閱記錄評閱記錄（可供評閱時使用）：評閱人評分備注A題 列車的用餐銷售效益問題目錄：11. 摘要22. 問題重述33. 問題假設34. 問題假設35. 符號說明46. 模型建立與求解57. 模型優缺點與改進128. 模型推廣149. 參考文獻14摘要鐵路旅客餐飲服務是現代鐵路客運工作的重要組成部分，是吸引客流的有效手段和塑造鐵路良好形象的主要窗口。如何確定火車上餐飲價格，使列車在用餐銷售上效益最大，是一個最優化問題。首先要考慮到售出相同的食物，單位價格越高，銷售效益越大；但是，單價越高，購買食物的人相應

3、會減少，此消彼長，最終會有一個最大值。我們就是要確定售價與購買人數"相應"的關系。為確定這個"相應關系"，即建立銷售價格與銷售量的關系。對于本題目我們需要引入微觀經濟學的理念由于提高價格會降低購買意欲， 我們將運用運籌學知識,通過定量分析,擬采用線性規劃單純形表法, 建立實現目標利潤最大化和目標成本最小化的數學模型,以實現利潤最大化。根據火車上各種資源的限制,利用線性規劃方法建立生產計劃的數學模型,就利潤最大和成本最小問題, 采用單純形法及單純形表的格式,應用求三元函數的極值方法,按照相應的數學程序進行相關的邏輯運算, 以期找到最大目標利潤和最小目標成本

4、，并給出相應的銷售最優方案，最終求出列車在用餐銷售上效益最大為1887.81元；春運期間列車在用餐銷售上效益最大為3446.70元。關鍵詞： 運籌學，線性規劃，最優方案，最大收益.問題重述長途列車由于時間漫長，需要提供車上的一些服務，尤其是提供三餐。由于火車上各方面的成本高，因此車上食物的價格也略高。以K237次太原到廣州的長途列車為例，每天早餐為一碗粥、一個雞蛋及些許咸菜，價格15元；中午及晚上為盒飯，價格一律20元。由于價格偏貴，乘客一般會自帶食品如方便面、面包等。列車上也賣方便面及面包等食品，但價格也偏貴。如一般售價5元的方便面賣10元。當然，由于列車容量有限，因此提供的用餐量及食品是有

5、限的，適當提高價格是正常的。但高出的價格應有一個限制，不能高得過頭。假如車上有乘客1500人，其中750人有在車上買飯的要求，但車上盒飯每餐只能供給300人；另外，車上還可提供每餐200人的方便面。在上面原則的基礎上解決以下兩個問題：（1）根據實際情況設計一個價格方案，使列車在用餐銷售上效益最大。（2）在設計的價格方案基礎上，進一步分析春運期間三餐價格的制定方案，使得列車的用餐銷售效益最大化。.問題分析 上面兩個問題是最優化問題，首先應該考慮食物價格和食物的銷售量。根據需求規律：在假設其他因素既定的條件下，盒飯與方便面的需求量（乘客的購買量）與價格之間存在著反向的依存關系，即，商品的價格上升，

6、需求量減少；商品的價格下降，需求量增加。收益函數=價格×需求量，是非單調函數，這樣把離散函數近似看成連續函數利用求導法則可求出最大值 最優化價格方案問題可以歸結為最優化數學模型的建立于求解問題。在列車的特定條件下，其需求量、供給量及價格將直接決定銷售的最大利益。由于列車容量有限，所提供的用餐量和食品是有限的。要達到銷售利潤最大，最好能達到供求均衡，才能保證成本與虧損最小，同時保證銷售額最大。.問題假設、假設進貨渠道貨源充足，沒有價格變動的情況；、假設食品質量良好，對銷售情況不產生影響；、假設列車售票情況良好，客源充足；、假設一份早餐的成本價為5元，一份盒飯的成本價為10元，方便面的成

7、本為5元；而且隨著食品價格的變化，乘客可以自由選擇自己想吃的東西；、飯菜質與量不變且不影響人們購買欲；、每餐后早飯、盒飯、方便面賣不完的按成本價出售完；、乘務員服務態度不影響乘客購買欲，飯菜分量相同，且一份飯成年人吃后不必再買泡面吃，吃泡面一樣，不再買盒飯；、乘客個人是否購買不受其他人的影響；、考慮到春運期間人流量要比平常大很多，所以火車上食品的需求量大于供給量，所以火車上所供給的200袋方便面，100份早餐，300份盒飯都可以賣完；、春運期間早餐，盒飯，方便面在火車上有的前提下，乘客在任何時段都可以買到；.符號說明：一份盒飯的成本價；：一份盒飯的銷售價；：一份盒飯售價為時的銷售量；：盒飯的進

8、貨量；：一包方便面的成本價；：一包方便面的銷售價；：一包方便面售價為時的銷售量；：方便面的進貨量； ：一份早餐的成本價； : 一份早餐的銷售價； : 一份早餐售價為時的銷售量 : 早餐的庫存量； ：銷售總收入； ：進貨總成本； ：總利潤.模型建立與求解1）制定價格方案，使列車在用餐銷售上效益最大。在火車上，食品的銷售量隨食品的價格的變化而變化。根據實際調查統計顯示，它們之間的關系是的（見表一，二，三）。可用函數、和表示，其中均為常數。此時，總收入可表示為，總成本可表示為。則總利潤為:對收集到的數據用進行擬合，得到函數關系和圖像（見圖，）。即，。若要利潤最大，則最好達到狀態，即，此時總利潤的表達

9、式為：。要求的最大值，先對求偏導，再，對求偏導最后對求偏導，然后取最大值。,令，得到時，出售盒飯的利潤最大。,令，得到時，出售方便面的利潤最大。,令，得到時，出售盒飯的利潤最大通過得到，一份盒飯的成本價為10元，一包方便面的成本價為5元，一份早餐的成本價為5元。帶入上式，得到：，此時銷售量分別為，。總利潤取最大值為1887.81元。從以上模型看出，在供求平衡的條件下，在一餐的進貨量分別為盒飯143份，方便面89包，早餐份數為96時，總利潤最大為1887.81元，此時指定的價格方案為：盒飯一份16.7元，方便面一包8.2元，早餐一份11.7元。 實際調查得到的表格盒飯的銷售量隨售價的變化(表一)

10、售價1011121314151617181920銷售量2872652492202011791561381179875方便面的銷售量隨售價的變化(表二)售價55.566.577.588.599.5銷售量18216815513712210894827057早餐的銷售量隨售價的變化(表三)售價56789101112131415銷售量9689807567605445393325表格的圖像Matlab擬合程序及圖像：1、表一的擬合程序及圖像 X= 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Y= 287 265 249 220 201 179 156 138 117 98 75 P

11、lot ( X ,Y,'-xo')圖2、表二的擬合程序及圖像： X= 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 Y= 182 168 155 137 122 108 94 82 70 57 Plot ( X ,Y,'-y o')圖3、表三的擬合程序及圖像： X= 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Y= 96 89 80 75 67 60 54 45 39 33 25 Plot (X , Y,'-z o')圖2）在上述價格方案基礎上，進一步分析春運期間三餐價格的制定方案，使得列車的用餐銷售效益最大化 春運期間

12、方便面，早餐，盒飯的相關價格數據如表四、五、六；對收集到的數據用進行擬合，得到函數關系和圖像（見圖（四）、）。即；。同1）中的分析：若要利潤最大，則最好達到狀態，即，此時總利潤的表達式為：。同理可得：要求的最大值，先對求偏導，再，對求偏導最后對求偏導，然后取最大值。,令，得到時，出售盒飯的利潤最大。,令，得到時，出售方便面的利潤最大。,令，得到時，出售早餐的利潤最大。通過得到，一份盒飯的成本價為10元，一包方便面的成本價為5元，一份早餐的成本價為5元。帶入上式，得到：，此時銷售量分別為，；則：春運期間總利潤取最大值為3446.70元。從以上模型看出，在供求平衡的條件下，在一餐的進貨量分別為盒飯

13、151份，方便面97包，早餐份數為49時，總利潤最大為3446.70元，此時的售價分別為盒飯一份25.1元，方便面一包11.6元，早餐一份15.7元。 實際調查得到的表格及表格的圖像Matlab擬合程序及圖像如下：春運期間盒飯的銷售量隨售價的變化（表四）售價1011121314151617181920銷售量3002902822732612522402312222132011、表四的擬合程序及圖像 = 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 = 300 290 282 273 261 252 240 231 222 213 201 Plot ( , ,'-xo&

14、#39;)圖春運期間方便面的銷售量隨售價的變化（表五）售價55.566.577.588.599.5銷售量1971901821761651581511431381312、表五的擬合程序及圖像 = 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 = 197 190 182 176 165 158 151 143 138 131 Plot (, ,'-y o')圖 春運期間早餐的銷售量隨售價的變化（表六）售價56789101112131415銷售量100969186837569666256543、表六的擬合程序及圖像 = 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15、15 = 100 96 91 86 83 75 69 66 62 56 54 Plot ( , ,'-z o')圖模型優缺點與改進1）模型的優點：1.結合實際情況對問題進行求解，使得模型具有很好的通用性和推廣性；2.模型的最終計算方法簡便，計算過程簡單，最終得到結果與理論基本相符；3.建模的方法和思想對其他類似的問題也適用，易于推廣到多個領域，當與類似文體結合時，僅需改變模型中的某些參數；4.通過用同類模型，在春運期間三餐的售價均高于題目要求的售價，而在春運期間，乘客對餐位售價的關注程度相比于平時乘坐列車時甚少；更多的考慮是在春運列車上不適的環境中，填充自己的肚子；所以，在春運

16、期間三餐的售價均高于平時情況下的售價是合理的；自然就會產出更大利潤；2）模型的缺點 ：1火車就餐在現實生活中，供求不等是經常發生的現象，本模型沒有考慮該情況；2. 我們觀察到此模型的約束條件簡單，未能對問題要求進行完全的表述；3. 銷售價格的浮動由很多因素決定，同時也會產生很多影響。我們建立的模型只是簡單地研究了這個問題，比起實際問題的復雜程度，有很多因素沒有考慮到；4.將價格與銷售的關系近似為線性，給結果帶來一定的影響；3）模型的改進：模型改進時避免從主觀的角度進行分析，而從列車收益的角度進行分析，因為每一頓飯解決的問題是以一樣的，不妨我們就以午餐為例來進行計算建立模型；根據需求規律：在假設

17、其他因素既定的條件下，早餐，盒飯與方便面的需求量（乘客的購買量）與價格之間存在著反向的依存關系，即，商品的價格上升，需求量減少；商品的價格下降，需求量增加，單獨考慮盒飯的，價格與需求之間的關系；考慮到價格與銷售不是線性的，而應該是凹函數，由于任何一個函數都可以用三角函數來表示出來，為了方便起見我們不妨設為正弦曲線，模型說明和上面的一樣；設價格為，銷售為。最低價格為，銷售量為。最高價格為，銷售量為價格與銷售量之間的函數表達式：建立模型；用來表示出它的收益，建立收益與價格的關系：求出的值來，代入就可以求出具體的值。舉個更實際的例子，當最低價格為5元時，恰好全部銷售出去，當20元時，銷售為50份，在

18、MATLAB中的輸入程序：得到的結果為 11/2, 6, 13/2, 7應的收益為：相應的程序為：x1=input('Please input x1=:');y1=input('Please input y1=:');x2=input('Please input x2=:');y2=input('Please input y2=:');x=x1:0.01:x2;y=(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2;plot(x,y) Y=x.*y;plot(x,Y)syms x;Y=x.*(y1-y2)

19、*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)f=diff(Y)z=solve(f);x=z;Y= x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x3=fix(z)-0.5;t=x3;Y3=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x4=fix(z);t=x4;Y4=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x5=fix(z)+0.5;x=x5;Y5=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x6=fix(z)+1;x=x6;Y6=x.*(y1-y2