1、非線性偏微分方程及其幾種解法綜述姓名：柏寶紅 學號：BY1004120 目錄1、緒論31.1背景41.2 現狀82、非線性偏微分方程的幾種解法102.1逆算符法102.2 齊次平衡法112.3 Jacobi橢圓函數方法132.4 輔助方程方法142.5 F-展開法162.6 雙曲正切函數展開法181、緒論以應用為目的，或以物理、力學等其他學科問題為背景的微分方程的研究，不僅是傳統應用數學中一個最主要的內容，也是當代數學的一個重要組成部分.它是數學理論與實際應用之間的一座重要橋梁，研究工作一直十分活躍，研究領域日益擴大。目前微分方程研究的主體是非線性微分方程，特別是非線性偏微分方程(NLPDE)

2、.很多意義重大的自然科學和工程技術問題都可歸結為非線性偏微分方程的研究.現實生活的許多領域內數學模型都可以用NLPDE來描述，很多重要的物理、力學等學科的基本方程本身就是NLPDE，另外，隨著研究的深入，有些原先可用線性微分方程近似處理的問題，也必須考慮非線性的影響，所以對NLPDE的研究，特別是NLPDE求解精確解的研究工作就顯示出了很重要的理論和應用價值，但是數學研究的結果，在目前還未能提供一種普遍有效的求精確解的方法.20世紀50年代以來，人們對非線性現象的研究中提出了“孤子”的概念，進而使得對NLPDE求解的研究成為非線性科學中的熱點。下面介紹一下孤立子理論的研究背景、研究現狀。1.1

3、背景孤立子理論己經成為應用數學和數學物理的一個重要組成部分，在流體力學，等離子物理，經典場論，量子論等領域有著廣泛的應用。隨著近代物理學和數學的發展，早在1834年由英國科學家Russell發現的孤立波現象近二十多年來引起了人們的極大關注，對這一現象的興趣與日俱增.這是因為一方面孤立子具有粒子和波的許多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理論也成功地解釋了許多物理上長期用經典理論未能解答的現象;另一方面，隨著孤立子物理問題的深入研究，孤立子的數學理論也應運而生，并已初步形成比較完善的理論體系。孤立子理論自1965年由Zabusky和Kruskal對孤立子(Soliton，簡稱孤子)命名后

4、得到了迅速地發展.究其原因是孤波現象無所不在，從天上渦旋星系的密度波，線，超流氦一3，超導JosePhson結，磁學，結構相變，液晶，流體動力學以及基本粒子等，都與孤子有關.其發展大致可分三個階段：第一階段，主要是在19世紀.最早討論孤立子問題的是ScottRussell。1844年英國工程師Russell發現船在運河中快速行駛著，當這條船突然停止時，在船頭附近產生了一個光滑的、像小山包一樣的水波，然后這個水波離開船頭保持它的形狀和速度保持不變，接著這個水波的高度逐漸減少，最后在運河的一個拐彎處消失掉，他把這種水波稱為孤立波，認為它就是流體運動的一個穩定解.直到1895年，荷蘭阿姆斯特丹大學的

5、Korteweg教授和他的學生 devries才一成功導出了著名KdV方程，求出了與Russell描述一致的即具有形狀不變的脈沖狀的孤立波解，在理論上證實了孤立波的存在，并對孤立波現象作了較為完整的分析，解釋了Russell的淺水波，解決了這個問題。他們的數學模型為 （1.1）孤立波解為：后人稱為1一孤立子解，如果令，那么在平面上的圖為圖1.1所示圖1.1 光滑孤立子在平面上的圖形1965年美國數學家Kruskal和abusky對KdV方程的孤立波解進行數學模擬，他們發現兩個孤立波相撞之后，各自的運動方向和大小形狀都保持不變.這種性質與物理中粒子的性質類似，因此他們稱這種孤立波為孤立子.在通常

6、情況下，人們把孤立波和孤立子混為一談，不把它們區別開來。與此同時，在1876一1882年發現的Backlund變換，成為后來發展孤子理論的重要基礎。第二階段大致可劃在1955一1975年。1955年，Fermi，Pasta，Ulam(FPU)將64個質點用非線性彈簧連成一條非線性振動弦，用計算機計算了一維非線性晶格在各個振動模之間的轉換。初始時，這些諧振子的所有能量都集中在一個質點上，其他63個質點的初始能量為零。按照經典的理論，只要非線性效應存在，就會有能量均分，各態歷經等現象出現，即任何微弱的非線性相互作用，可導致系統的非平衡狀態向平衡狀態的過渡。但實際計算的結果卻與經典理論是背道而馳.實

7、際上，經過相當長時間之后，能量似乎又回到了原來的初始分布，這就是著名的FPU問題。由于FPU問題是在頻域空間考察的，未能發現孤波解，因此該問題未能得到正確的解釋。后來，人們發現可以把晶體看成具有質量的彈簧拉成的鏈條，這恰好是Fermi研究的情況。Toda研究了這種模式的非線性振動，得到了孤波解，使FPU問題得到正確的解答，從而進一步激發起人們對孤立波的研究興趣。1965年，zabusky和Kxusal對等離子體中孤立波的相互碰撞過程進行計算機數值模擬，進一步證實了孤立波在碰撞前后波形和速度保持不變的論斷，并且把它命名為孤立子(soliton)，它是指一大類非線性偏微分方程的許多具有特殊性質的解

8、，以及具有相應的物理現象，它的性質具體為：(1)能量比較集中；(2)孤立子相互碰撞時具有彈性散射現象。從此孤立子理論的研究工作得到了迅速發展。第三階段(1973至今)，把孤子概念及理論廣泛應用于物理學，生物學，天文學等各個領域，開展了高維孤子的研究.1980年非線性效應專刊PhysicaD問世，與此同時，光纖中的孤子已在實驗中產生出來.此后的發展更是突飛猛進。綜上所述，孤立子理論的產生和發展是與近代物理密切相關的.孤立子理論不但包括了有關的數學理論，也包括了物理理論，數學的嚴密性和物理的啟發性和實用性兩者相互結合，相互依存，相互滲透，相互促進，使孤立子理論顯示出強大的生命力，這也是現代自然科學

9、發展的重要特征之一。孤立子一詞雖被廣泛引用，但無一般性定義數學中，將孤立子理解為非線性偏微分方程的局部行波解，所謂局部是指微分方程的解在空間的無窮遠處趨于零或確定常數的情況。換言之，孤立子指的是穩定的孤立波，即與同類孤波碰撞后不會消失，而且波形、波速和幅度不會改變或只有微弱改變的孤立波.在物理中，孤立子被理解為經典場方程的一個穩定的有限能量的不彌散的解，即能量集中在一個狹小的區域內且相互作用后不改變波形和波速。許多非線性發展方程，如KdV方程、Sine一Gordon方程、Boussinesq方程、KP方程，Toda晶格方程等都具有孤立子解.孤立子除常見的鐘型和扭型外還有包絡孤子、哨孤子、拓撲性

10、孤子和非拓撲性孤子、呼吸子、亮孤子和暗孤子、正孤子和反孤子以及它們疊加而形成的形形色色的孤立子。1.2 現狀求解微分方程是古老而在理論和實際上又很重要的研究課題，顯示解，特別是行波解可以很好的描述各種物理現象，如振動、傳播波等.但由于非線性微分方程的復雜性，至今仍有大量的重要方程無法求出精確解，即使己經求出精確解，也各有各的技巧，至今尚無一般的求解方法。所幸的是孤立子理論中蘊涵著一系列構造精確解的有效方法，如反散射法(IST)、Bäcklund變換法、Darboux變換法、Hirota雙線性法、 Painlev有限展開法，延拓法及Lie群法等。隨著各種求解方法的出現，不但過去難以求解

11、的方程得到解決，而且許多新的，具有重要物理意義的解不斷被發現和利用。1967年，Gardrier等人發明了求解KdV方程的逆散射方法(也稱為非線性)，這一方法利用量子力學中的Schrodinger方程特征值問題(正散射問題)及其反問題(反散射問題)之間的關系，經過求解Gelfand一Levitan一Marck一enko線性積分方程而給出KdV方程初值問題的解。它不僅對應用技術提供了嶄新的方法和概念，而且對數.學自身的發展也有深遠影響。隨后，Lax將該方法加以綜合和推廣，使之能夠用于求解其他非線性偏微分方程的初值問題，從而逐步形成一種系統的求解方法。1972年，Zakharov和Shabat推廣

12、了這一方法，求出高階KdV方程，立方Sehrodinger方程等的精確解。Ablowitz，Kaup，Newell和Segur則更加一般化反散射方法。李詡神、田疇、屠規章教授等也為發展反散射方法做了很好的工作。1971年，Hirota所引進的雙線性變換法(Hirota方法)，是構造非線性偏微分方程N一孤立子解及其Backlund變換的一種重要而直接的方法。1975年，Wahlquit和Estabrook提出延拓結構法，以外微分形式為工具，給出尋找與反散射方法相聯系的線性特征值問題的系統的方法。1991年，李詡神教授基于對稱約束提出一種非線性偏微分方程的直接的變量分離方法；隨后，樓森岳教授等提出

13、另一種更有效的直接變量分離法得到了許多的(2+l)維非線性發展方程的精確解。精確求解非線性發展方程的工作具有重復性、固定的套路和規律、計算量大的特點，計算機代數的出現使人們擺脫了刻板、大量而重復的計算，提高了速度保證了準確率.1996年，Parkes和Duffy給出了求非線性發展方程孤立波解的雙曲正切函數法的Mathematiea程序包。王明亮教授等基于非齊次項與高階導數項平衡的原則，將非線性方程齊次化、代數化，提出了齊次平衡法。近年來提出并發展起來的齊次平衡方法，實際上是求非線性偏微分方程精確解的一種指導原則，故也稱為齊次平衡原則。依據該原則，可事先判定某類非線性偏微分方程是否有一定形式的精

14、確解存在，如果回答是肯定的，則可按一定的步驟求出它來，并同時得到其滿足某些條件的Backlund變換。因而齊次平衡原則具有直接、簡潔、步驟分明的特點，再者，還適用于計算機的符號計算系統進行計算，且得到的是精確的結果.至今，齊次平衡原則在非線性數學物理中已得到廣泛的應用，且其應用范圍正在不斷的擴展，己成為處理非線性數學物理相關問題的有效工具之一。所以，近年來在齊次平衡原則下又發展了多種求解非線性偏微分方程精確解的方法：像Tanh一函數法，Sine一Cosine方法，Jacobi橢圓函數展開法，Riccati方程方法及F一展開法等。這些方法一般都借助于計算機代數系統(Mathematica或Map

15、le)，求解方便、直接，而且可以對解進行數值模擬以便于直觀分析解的性質。2、非線性偏微分方程的幾種解法2.1逆算符法據逆算符方法的基本思想，把偏微分方程改寫為： （2.1）其中L和R是線性微分算子，Nu是非線性項。算子L是可逆的，作用逆算子于上式兩邊得到 （2.2）其中滿足（2.1）及初始條件，根據逆算符方法可以分解為一系列分量之和 （2.3）利用回歸關系可以得到 （2.4）非線性項F(u)= 可以表示為無限級數之和 （2.5）其中是Adomian多項式，定義為 （2.6）利用（2.3）和（2.4）可以依次解出，從而得到方程的解 （2.7）業已證明Adomian分解法是收斂的，而且收斂速度相當

16、快，能夠得到精確解。2.2 齊次平衡法齊次平衡法是一種求解非線性偏微分方程非常重要的方法，它將非線性發展方程的求解問題轉化為純代數運算。利用這種方法不僅可以得到方程的Backlund變換，而且能得到非線性偏微分方程的新解.該方法的大致步驟如下：對于給定一個非線性偏微分方程 （2.8）這里P一般是其變元的多項式，其中含有非線性項及線性出現的最高階偏導數項。一個函數稱為是方程(2.8)的擬解，如果存在單變元函數，使得關于的一些偏導數的適當的線性組合，即 （2.9）精確的滿足（2.8）和（2.9）中的非負整數，單位元函數以及函數都是待定的，將（2.9）代入（2.8）中可以通過以下步驟確定它們：首先，

17、使高階偏導數項中包含的的偏導數的最高冪次和非線性項中包含的關于的偏導數的最高冪次相等，來決定非負整數是否存在。其次，集合的偏導數的最高冪次的全部項，使其系數為零，而得滿足的ODE，解之可得，一般是對數函數。第三，將的各階導數的非線性項，用的較高階的導數來代替，再將的各階導數項分別合并在一起，并令其系數為零，而得的各次齊次型的PDE組，可適當選擇 (2.9)中線性組合的系數，使PDE組有解。最后，若前三步的解答使肯定的，將這些結果代入（2.9），經過一些計算就得（2.8）的精確解。從（2.9）中可以看出，如果是方程（2.8）的一個解，則通過上述步驟就可以得到方程的Backlund變換。2.3 J

18、acobi橢圓函數方法考慮非線性偏微分方程（2.8），尋求它的行波解為 （2.10）其中和分別為波數和波速將展開為下列Jacobi橢圓正弦函數的級數: （2.11）它的最高階數為 （2.12）因為 （2.13）其中和分別為Jacobi橢圓余弦函數和第三種Jacobi橢圓函數，且 （2.14）為模數，且 （2.15）由（2.13）式，可以認為的最高階數是 （2.16）類似地，有 （2.17）在（2.11）)式中選擇n，使得非線性偏微分方程（2.8）中的非線性項和最高階數項平衡，將(2.11)代入非線性偏微分方程 (2.8)中，并利用 (2.14)和 (2.15)，可將方程 (2.8)變成關于的多

19、項式.置的各次冪次的系數為零，得關于的代數方程組。解上述方程組，將結果代入（2.11）中，得（2.8）Jacobi橢圓函數解。應該指出的是，因為時，（2。11）式就退化為 （2.18）所以此方法包含了雙曲正切函數展開法。2.4 輔助方程方法考慮非線性偏微分方程（2.8），尋求它的行波解為 （2.19）其中和分別為波數和波速。 將式（2.19）代入方程（2.8）中，則（2.8）化為的非線性常微分方程（NODE）： （2.20）設可表示為的有限冪級數： （2.21）這里的是待定參數，為一常數，由非線性偏微分方程(2.8)中具有支配地位的非線性項和最高階數項平衡得到，滿足如下新的輔助常微分方程 （2.22）其中為待定參數。將（2.21）代入NODE（2.20）中，利用（2.22）可將方程（2.20）左邊變成的多項式。令的各冪次的系數為零，可得關于的代數方程組。解上述方程組，可解得，將結果代入（2.21）中，得（2.8）的行波解的一般形式。利用表2.1，適當選取A，B，C，的值，可得方程（2.8）的一些特殊解。2.5 F-展開法考慮非線性偏微分方程（2.8），尋求它的行波解為 （2.23）其中和分別為波數和波速。將式（2.23）代入方程（2.8）中，則（2.8）化為的非線性常微分方程（NODE）： （2.24）設可表示為有限冪級數： （2.25）這里是待定常數，滿足下列一階常微分方程: