1、偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-運(yùn)輸方程1.運(yùn)輸方程 （石油管道運(yùn)輸、南水北調(diào)）偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-運(yùn)輸方程偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-運(yùn)輸方程運(yùn)輸方程 ut+cux=0 水平管道內(nèi)有一種流體（比如，水）以恒定速度c流動(dòng) 水中含有某物質(zhì)（如，污染物），以u(píng)（x, t）記其含量 方程意義：污染物含量的變化率ut正比于其梯度ux偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-運(yùn)輸方程 0 b u(x, t) c ch b+ch污染物在t時(shí)刻、區(qū)間0,b內(nèi)的總量 M=0bu(x, t) dx =chb+chu(x, t) dx對(duì)b求導(dǎo)可得 u(b, t)=u(b+ch, t+h)對(duì)h求

2、導(dǎo)，并令h=0,可得 0=cux+ut偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-運(yùn)輸方程高維運(yùn)輸方程0ubut偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-振動(dòng)方程2. 弦振動(dòng)方程（小提琴、吉他、二胡）偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-振動(dòng)方程 u(x, t) 0 l T(x1, t) ux 1 T(x0, t) x0 x1 偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-振動(dòng)方程物理假設(shè)：柔軟、均勻、細(xì)小彈性弦作微小橫振動(dòng)柔軟 張力方向指向弦的切線方向均勻 弦的線密度為常數(shù) 細(xì)小 重力忽略不計(jì)微小橫振動(dòng) u, ux很小偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-振動(dòng)方程物理定律：牛頓第二定律 F=ma縱向 橫向 dxuxxttxxx10102x

3、u1Tu0u1T102xxx偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-振動(dòng)方程數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化 泰勒展開式微分可得2x2u211u1xdxuxxttxxx10102xu1TuttxxuTu）（偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-振動(dòng)方程張力T大小為常數(shù)ttxxuTu）（Tcucxxtt,u2偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-振動(dòng)方程弦振動(dòng)方程的變種空氣阻力 正比于 速度橫向彈性力 正比于 位移系統(tǒng)受外力0, 0u2rruuctxxtt0k, 0u2txxttkuuc),(fu2txucxxtt偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-振動(dòng)方程弦振動(dòng)方程的其他來源CRL電路 R C L 物理量：電流u(x,t), 電容 C，電阻

4、 R，電感 L，電漏 G 物理定律：Kirchhoff定律偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-振動(dòng)方程CRL電路的方程理想傳輸線：R=G=0 GRuuGLCRCLutttxx)(uttxxCLuu偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-振動(dòng)方程高維振動(dòng)方程-鼓面（薄膜）的振動(dòng)偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-振動(dòng)方程物理假設(shè) 水平方向沒有運(yùn)動(dòng)， Du(x,y,z,t)為豎直方向位移平面區(qū)域 D，邊界 物理定律牛頓第二定律DttmadxdyudSnuTF偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-振動(dòng)方程數(shù)學(xué)化簡(jiǎn)Green公式彈性張力大小為常數(shù)dxdydSnuTD）（uTTcuucucyyxxtt),()(u22偏微分方

5、程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程油滴、墨漬等在水中擴(kuò)散 x0 x1管內(nèi)從x0到x1擴(kuò)散物質(zhì)總質(zhì)量及其變化率10 x),(M(t)xdxtxudxtxudtxxt10),(dM偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-擴(kuò)散方程物理定律Fick擴(kuò)散定律 擴(kuò)散物從濃度高的區(qū)域向濃度低的區(qū)域擴(kuò)散，擴(kuò)散速度正比于濃度的梯度 流入量-流出量dtdM),(),(dM01txkutxkudtxx偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-擴(kuò)散方程數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化對(duì)x1求導(dǎo)，得到擴(kuò)散方程),(),(),(01x10txkutxkudxtxuxxxxxtkuu 偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-擴(kuò)散方程高維擴(kuò)散方程 對(duì)任意區(qū)域D，有等式

6、 由區(qū)域的任意性，可得dSunkdxdydzut)(D)(zzyyxxtuuukuku偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程 u(x,y,z,t)表示溫度，H(t)表示區(qū)域D內(nèi)的總熱量，c為比熱，為密度熱量的變化率 DudxdydzcH(t)DtdxdydzucdtdH偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-熱傳導(dǎo)方程物理定律-傅里葉熱傳導(dǎo)定律 熱量總是從溫度高的區(qū)域流向溫度低的區(qū)域，流速正比于溫度的梯度，因此，沿區(qū)域D的邊界熱量流出流入量為能量守恒定律dSunk)(Dtdxdydzuc)(dSunk偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-熱傳導(dǎo)方程數(shù)學(xué)化簡(jiǎn)散度定理由區(qū)域的任意性，可得微分方程D

7、dxdydzuk)(）（dSunk)()(u22zzyyxxtuuucuc偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-泊松方程波動(dòng)或擴(kuò)散的穩(wěn)態(tài)方程 u(x,y,z,t)不依賴于t，則ut=0 u=0靜電場(chǎng) q偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-薛定諤方程n氫原子的薛定諤波函數(shù)方程 m電子質(zhì)量，e電子電量， 普朗克常數(shù)除以2，坐標(biāo)原點(diǎn)為質(zhì)子位置，波函數(shù)u（x,y,z,t）滿足薛定諤方程ureumuit22221222)(zyxr偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-薛定諤方程物理意義： 在量子力學(xué)中，物理量不能夠精確測(cè)定，只能以概率形式測(cè)定，積分 表示電子出現(xiàn)在區(qū)域D內(nèi)的概率，dxdydzu2D|1|2R3dxdydzu偏微分方程導(dǎo)出偏微分方程的導(dǎo)出-薛定諤方程n 薛定諤波函數(shù)方程 被認(rèn)為是公理，而不是由其他更為簡(jiǎn)單定律的推論；它解釋了為什么原子結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的，不會(huì)塌陷；波爾觀察到的