1、素材來源于網絡，林老師編輯整理課時跟蹤檢測(二十一)小題考法一一導數的簡單應用A組10 + 7提速練一、選擇題1 .設 f(x)=xln x, f' (xo)= 2,則 xo=()A. e2B. e小n 2r , cC.2D. In 2解析：選 B (x)=1+ln x,，f' (xo)=i + in xo = 2,，xo=e,故選 B.2 .函數f(x) = excos x的圖象在點(0, f(0)處的切線方程是()A. x+y+1 = 0B. x + y1 = 0C. x-y+1 = 0D. x-y- 1= 0解析：選 C 依題意，f(0) = e0cos 0=1,因為 f

2、' (x)=excos x exsin x,所以 f' (0)=1,所以切線方程為 y-1 = x-0,即x-y+1 = 0,故選C.3.已知 f(x) = Rx,則() xA. f(2)>f(e)>f(3)B. f(3)>f(e)>f(2)C. f(3)>f(2)>f(e)D, f(e)>f(3)>f(2)解析：選Df(x)的定義域是(0, 十°°),1 In xf，(x) = x. xC(0, e), f' (x)>0;x (e, 十 °°),(x)<0,故 x =

3、e 時，f(x)max =f(e) .ln 2 ln 8 ln 3 ln 9而 f=2 = 6 ，f=3 = 6 .f(e)>f(3)>f(2),故選 D.4.已知函數f(x)的定義域為(a, b), f(x)的導函數f' (x)在(a, b)“ 廠(G上的圖象如圖所示，則函數f(x)在(a, b)上的極大值點的個數為()T 八/ LA. 1B, 2"£C. 3D. 4解析：選B由函數極值的定義和導函數的圖象可知，f' (x)在(a, b)上與x軸的交點個數為4,但是在原點附近的導數值恒大于零，故 x=0不是函數f(x)的極值點，其余的 3個交點

4、都是極值點，其中有 2個點附近的導數值左正右負，故極大值點有2個.5.已知函數f(x)=x25x+2ln x,則函數f(x)的單調遞增區間是()1A.0,2和(1,+8)B.(0,1)和(2, +8)1 C.0,2和(2,+8)D.(1,2)2斛析：選 C 函數 f(x)= x2 5x+ 2ln x 的te義域是(0, 十 °°),令 f (x) = 2x5+ -= x1力0, 2和2x? 5x +2 x 2 2x 1a=>0,解得 0Vx<或x>2,故函數 f(x)的單調遞增區間是 xx2(2, + 8).6 .已知函數f(x)=x3px2qx的圖象與x

5、軸切于點(1,0),則f(x)的極大值、極小值分別為()427'B. 0,427C.27，0D. 0,273 2p 一 q = 0,解析：選 C 由題意知，f' (x) = 3x2 2pxq,由 f' (1)=0,f(1)=0,得1 p q= 0,p = 2,1解得.f(x)= x3 -2x2+ x,由 f' (x)= 3x24x+1 = 0,得*='3或*=1,易得當 xq = -1,3=；時，f(x)取極大值4-,當x=1時，f(x)取極小值0. 32 77 .已知f(x)的定義域為(0, +8),(x)為f(x)的導函數，且滿足 f(x)<

6、xf' (x),則 不等式f(x+ 1)>(x- 1) f(x2- 1)的解集是()A. (0,1)B. (1, +oo )C. (1,2)D. (2, +oo )解析：選D 因為f(x) + xf' (x)<0,所以xf(x)' <0,故xf(x)在(0, +oo)上為單調遞減 函數，又(x+ 1)f(x+ 1)>(x2- 1) f(x2- 1),所以 0<x+1<x2 1,解得 x>2.1 i -8. 設函數 f(x) = "x- In x(x>0),則 f(x)()3A.在區間1, 1 , (1, e)上均

7、有零點 eB,在區間",1 , (1, e)上均無零點 eC,在區間1, 1上有零點，在區間(1, e)上無零點 eD.在區間1, 1上無零點，在區間(1, e)上有零點 e解析：選D 因為f' (x)=： 所以當xC(0,3)時，f' (x)<0, f(x)單調遞減，而 0 3 xe<1<e<3,又 f 1 =2+1>0, f(1) = 1>0,f(e) = f-1<0,所以 f(x)在區間1,1 上無零點，e 3e33e在區間(1, e)上有零點.9. (2018杭州第二次教學質量檢測 )已知a>0且aw 1,則函數

8、f(x)= (x a)2ln x()A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值C.既有極大值，又有極小值D.既無極大值，又無極小值解析：選C f(x)有兩個零點a和1,若a<1,由于函數值在(0, a)為負，(a,1)為負，(1, + 8)為正，故a為極大值點，在(a,1)上必有極小值點；若a>1,由于函數值在(0,1)為負，(1, a)為正，(a, +8)為正，故a為極小值點，在(1, a)上必有極大值點，故選 C.10. (2017浙江“超級全能生”聯考)設f(x), g(x)分別是定義在( 8, 0) U (0 , +8) 上的奇函數和偶函數，當 x<0 時，f (x

9、) g(x)+3f(x) g' (x)>0, g(x)w0,且 f(-3)=0,則 不等式f(x) g(x)<0的解集是()A. (-3,0)U (3, +8 )b. (- 3,0)u (0,3)C.(巴 3)U(3, +8)D. ( 8, 3) u (0,3)解析：選D 構造函數F(x)= f(x) g3(x),則 F' (x)=f' (x)g3(x)+3f(x)g2(x)g' (x) = g2(x)f' (x)g(x)+3f(x)g' (x)>0,所以F(x)在(8, 0)上單調遞增，顯然F(x)為奇函數，所以其在(0, +

10、8)上單調遞增.而 F(-3) = f(-3) g3(3)=0= F(3).所以 F (x)<0 的解集為(一8 , - 3) U (0,3),一 F x.一 八,一，即力一<0的解集為(8, - 3)U(0,3).故選D.g x二、填空題11 .已知函數f(x) = x3 + 2ax2+1在x=1處的切線的斜率為1,則實數a =,此時函數y=f(x)在0,1最小彳1為 .解析：由 f(x)=x3+2ax2 + 1,得 f' (x) = 3x2+4ax,因為函數f(x) = x3 + 2ax2+1在x= 1處的切線的斜率為 1,一,一-1所以 f (1)=1,即 3+4a=

11、 1,斛得 a= - 2.所以f' (x)=3x2-2x,當xC 0, 2時，f' (x)<0,函數f(x)單調遞減，當xC今1時， 33f' (x)>0,函數f(x)單調遞增,223所以函數y=f(x)在0,1取小值為f - =.32 7答案：1 2712 .已知函數f(x)= e2+ 3x-4=0在(t, t + 1)上有解， x. g(x)=x2+ 3x-4= 0在(t, t+1)上有解,由 x2+3x 4=0,得 x=1 或 x=4(舍去),.1 s (t, t+1),即 te (0,1),故實數t的取值范圍是(0,1).答案：(0,1)mx+1的圖

12、象為曲線 C,若曲線C存在與直線y=ex垂直的切 線，則實數m的取值范圍是.解析：函數f(x)的導數f' (x)=ex-m,即切線斜率k=ex-m,若曲線C存在與直線y=ex垂直的切線，則滿足(exm)e= 1,即exm =一工有解，即m=ex+1有解，.ex+3> eee1, .m>；. e' e- 一 1答案：一，+°° e1 C13. (2018紹興模擬)已知函數f(x) = -x2-3x + 4ln x在(t, t+1)上不單倜，則實數 t 的取值范圍是.1 C斛析：函數 f(x)= - 2x23x+4ln x,一，-4 4 f (x)

13、= x 3 + , x1c函數 f(x) = 2x23x+4ln x 在(t, t+1)上不單倜，一，一 4.-f (x) = x3 + 一=0 在(t, t+1)上有解， x14. (2018湘中名校聯考)已知函數g(x)=a-x2 -<xwe, e為自然對數的底數與h(x)e= 2ln x的圖象上存在關于 x軸對稱的點，則實數 a的取值范圍是 .1斛析：由題忌，知方程 x2a=2ln x,即一a=2ln x x2在口 e上有解.設f(x)=2ln x e-x2,則 f' (x) = 2 2x = - 2 x+ 1 x-易知 xC 1 時 f' (x)>0, xC

14、(1, e時 f' (x)<0 , xxe,1所以函數f(x)在1上單倜遞增，在(1, e上單倜遞減，所以f(x)極大值=f(1) = 1,又f(e) e=2-e2, f 1= - 2- 12,f(e)<f 1,所以方程a= 21n x-x2在 1,e 上有解等價于2e2weeee-a< -1,所以a的取值范圍為1, e22.答案：1, e2215 .已知函數f(x)=ex+m1n x(mCR, e為自然對數的底數),若對任意正數 xb x2,當x1>x2時都有f(x1)一 f(x2)>x1 x2成立，則實數 m的取值范圍是 .解析：函數f(x)的定義域為

15、(0, +8).依題意得，對于任意的正數x1, x2,當x1>x2時，都有f(x1)一x1>f(x2)x2,因此函數g(x)=f(x)x在區間(0, + 8)上是增函數，于是當 x>0時，g' (x) = f' (x)1=ex+m1 1>0,即 x(ex1)> m 恒成立.記 h(x) = x(ex-1), x>0, x則有 h' (x)=(x+1)ex1>(0+1)e°1=0(x>0), h(x)在區間(0, + 8)上是增函數,h(x)的值 域是(0, 十 °°),因此一mW0, m>

16、;0.故所求實數 m的取值范圍是0,+8).答案：0, +8)x3 3x, x< a,16 .設函數f(x) =2x, x>a.(1)若a=0,則f(x)的最大值為 ;(2)若f(x)無最大值，則實數a的取值范圍是 .解析：由當 xwa 時，由，(x)=3x23=0,得 x= ±1.如圖是函數y=x33x與y= 2x在沒有限制條件時的圖象.右 a= 0,則 f(x)max=f(1) = 2.當a> 1時，f(x)有最大值;當 a<1 時，y= 2x 在 x>a 時無最大值，且一 2a>(x33x)max,所以 a< 1.答案：(1)2 (2)

17、(8, 1). 一.117. (2019屆局三 浙東五校聯考)已知函數f(x)=3mx q(3+m)ln x,右對任思的mC(4,5), xi, x2C 1,3,恒有(aIn 3)m 31n 3>|f(xi)f(x2)|成立，則實數 a 的取值范圍是13x 1 mx 1解析：.f(x)=3mx-x-(3 + m)In x,f (x)=x2,當 xC1,3, m C (4,5)2時，f (x)>0, f(x)在1,3上單倜遞增，. |f(x1)f(x2)|wf(3) f(1) = 6m+3(3+m)In 3 , 222, .(a In 3) m 31n 3>6 m + 3 (3

18、+ m)ln 3 , - >6 +3m. -.y= 6 + 3m在 m £ (4,5)上單倜遞減，922 373715<6 + 3m< 6 , 1 a> 6 . 37答案：37, +°° 6B組一一能力小題保分練1. (2018臺州第一次調考)設f' (x)為函數f(x)的導函數(xC R),且f(x)<0,2f' (x) + f(x)>0(e為自然對數的底數)，若x1<x2,則()x1 x9A. f(x2)<ef(x1)x x B. f(x1)<e 2 1 f(x) x2一 C. f2(x2)

19、>e 2f2(x1)x1 x2 D. f2(x1)>e 2f2(x2)解析：選 D 因為 f(x)<0,2f' (x)+f(x)>0,所以 f' (x)>0,即 f(x)在(一00, + oo)上單調 x1 x2x1 x2遞增，從而 f(x1)<f(x2)<0 ,所以 f2(x1)>f2(x2),因為 0<e 2 <1 ,所以 f2(x1)>f2(x2)>e 2 f2(x2).2. (2017浙江名校(諸暨中學)交流卷)設f1(x) = sin x+cos x,對任意的nC N*,定義fn + 1(x) =

20、 fn' (x),則 f2 018(x)等于()A . sin x cos xB. sin x+cos xC. sin x cos xD. sin x+cos x解析： 選 D f1(x) = sin x+cos x, f2(x)= cos x sin x, f3(x)=sin x cos x, f4(x)= 一 cos x+ sin x, f5(x)= sin x+ cos x=f1(x),于是 fk+4(x) = fk(x),所以 f2 018(x) = f504X4+ 2(x) = f2(x), 故選D.13. (2018 惠州倜研)已知函數 f(x)= xsin x+cos x

21、+x2,則不等式 f(ln x)+f In x <2f(1)的 解集為()A. (e, + 8)b.(0, e)C. 0, 1 c U (1, e)D. eee1解析：選 D f(x) = xsin x + cos x+x解析：選A 依題意，原問題等價于對任意的aC 2, +8 ,關于x的方程2x2ax ,因為 f( x) = f(x),所以 f(x)是偶函數,所以 f In- x= f(In x) = f(ln x),所以 f(ln x)+f ln 1 <2f(1)可變形為 f(ln x)<f(1), f' (x)=xcos x+ 2x = xx(2 + cos x

22、),因為2+ cos x>0,所以f(x)在(0, + 00)上單調遞增，在(oo, 0)上單調遞減，所以 f(ln x)<f(1)等價于 11n x|<1,即一1<ln x<1,所以<x<e.故選 D. e4.已知函數f(x)=x(a e x),曲線y= f(x)上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的 切線都與y軸垂直，則實數 a的取值范圍是()A. (-e2, +°° )B. ( e2,0)C. (e 2, +°° )D. (-e 20)解析：選D 曲線y=f(x)上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都

23、與y軸垂直，f' (x) = a+(x1)ex=0有兩個不同的解，即a= (1 x)e x有兩個不同的解，設 y=(1x)e x,則 y' =(x-2)e x,當 x<2 時，y' <0;當 x>2 時，y' >0,當x=2時，函數y=(1 x)ex取得極小值為一e 2,也即為最小值，當 x 一 OO 時，y 一 十 OO;當x-+oo時，y一0,要滿足題意，需 e 2<a<0.實數a的取值范圍是(e 2,0).故選D.1, 一， .1c5.若對任意的aC 2，+°0 ,函數f(x) = -x2-ax-2b與g(x) = 2aln(x 2)的圖象均有 交點，則實數b的取值范圍是()A. 15+ 21n 2 , iB. -85+ln 2, i115,115 , 1C. 5，16 + 2ln 2D. 16 + ln 2，+°°12ax x a 22aln( x 2)= 2b 有解.設 h(x) = x2ax2aln(x 2),貝U h' (x) = xa=2x 2 x 2所以h(x)在(2, a+2)上單調遞減，在(a+2, + 8)上單調遞增，當x-2時h(x)一 + 8 ,當x一11十