1、第10節多元函數的極值與最值（考點）下面討論多元函數的極值問題與最值問題10.1無條件極值與函數的最值定義10.1 設存在的某鄰域，使得函數在內有定義且對于任意都有（或），則稱為函數的極小值（極大值），點稱為函數的極小值點（極大值點）函數的極小值與極大值統稱為極值極小值點與極大值點統稱為極值點極值點一定是函數定義域的內點極小值（極大值）是函數在小鄰域內的最小值（最大值）。上述定義可以推廣到元函數。若函數在處取得極小值（極大值），則在處取得極小值（極大值）；在處取得極小值（極大值）由一元函數取得極值的必要條件，若在處可偏導數并取得極值，則必有稱使同時成立的點為函數的駐點（或稱為臨界點）由上面分析

2、有：定理10.1(函數取得極值的必要條件) 如果函數在點取得極值，且在點可偏導，則類似可得，若三元函數在點可偏導且在該點取得極值，則有函數有極值點，但在點處，,均不存在（二元或三元）函數極值點所在的范圍：。但是，上述兩種點不一定是極值點。例如，和在點。上述兩種點是否極值點還需進一步判斷。下面定理給出函數取得極值的充分條件：定理10.2(函數取得極值的充分條件) 設函數在點的鄰域內存在二階連續偏導數，且，記，則有(1) 當時，是極值點：(2) 當時，不是極值點(3) 當時，本定理無效其中稱為極值判別式。（注意：（1）中的判斷好像與感覺習慣相反。） *證利用二元函數的一階泰勒公式，因，由已知條件，

3、,，故又因為在處有連續的二階偏導數，所以，有，其中，當時，故，因為，故在內，當時，與的符號相同記，則(1) 當時，有，即，且二者同號因為，所以，故與的符號相同當時，即，此時為函數的極小值點當時，即，此時為函數的極大值點(2) 當時，若，則，當時，；當時，即此時可正可負；若，則，當時，；當時，此時可正可負；故當時，在內可正可負，得不是函數的極值點極值問題的解法：(1) （i）求方程組的全部解：；（ii）求或不存在的全部點：；(2) （i）用定理10.2判斷點，是否極值點，是極大還是極小一定要有明確結論（）；（ii）用極值定義判斷點，是否極值點，是極大還是極小一定要有明確結論（）； (3) 必要時

4、將極值點代入函數求出相應的極值如果到處二階可導，就沒有（1）（ii）和（2）（ii）了?！纠?0.1】求函數的極值點解所給函數到處任意階可導。解方程組，得為函數的兩個駐點因為，所以，在點處，故不是極值點在點處，且，故是極小值點思考題：1二元函數在點處取得極值，能否得到一元函數及在處也取得極值？反之呢？（反之不對。例如馬鞍面。）下面我們討論最大值最小值問題。設是函數在上的最大（?。┲迭c。則，在的邊界上或者在的內部。如果在的內部，則是的極值點，從而，或不存在，或者。解最值問題的一般方法：（1）求出在邊界上的最大值，最小值；（2） （i）在的內部求方程組的全部解：；（ii）在的內部求或不存在的全部點

5、：；（3）結論： （4）相應的點就是最大（小）值點?！纠?0.2】求函數在上的最大值和最小值解先求出的所有駐點及駐點處的函數值解，得駐點為且有，再求出邊界上函數的最值將代入函數（記為），得，令，得這是邊界上的可能極值點比較邊界點與可能極值點處的函數值，因，故在邊界上的最大值為，最小值為最后將區域內駐點處的函數值與邊界上的最值相比較，得函數在閉區域上的最大值為，最小值為解最值問題的特殊方法：由問題的實際意義可判斷函數在上一定有最值存在，且可以判定最值一定在區域內部取得，那么當在的內部只有一個可疑極值點(導數不存在或導數=0的點)時，函數在此點處的函數值一定就是所要求的最值一般方法可解任何最值問題

6、；特殊方法為簡便而使用。【例10.3】某廠要做一個體積為的有蓋長方體水箱問當長、寬、高各為多少時，用料最??？解設水箱的長，寬分別為，則高為，水箱的表面積為令，解得，因為最小值一定是在開區域內部取得，而函數在區域內只有惟一的駐點故當時，表面積取得最小值即當水箱的長為，寬為，高為時所用的材料最省思考題：2若二元函數在某區域內連續且有惟一的極值點，則該點就是函數在該區域上的最大值點或最小值點是否正確？（對。）10.2條件極值，拉格朗日乘數法在上面無條件極值中，函數的自變量各自獨立地變化，不受到其它條件的約束但是在實際問題中，大量的極值問題中的變量都會受到一定的條件約束這類附有約束條件的極值的問題，稱

7、為有約束極值，或條件極值下面尋找目標函數在約束約束條件下取得極值的必要條件問題表述為。只在曲線上討論極值問題?？傇O和充分可導。從（理論地）解出。上面條件極值問題變為一元函數的極值問題。要解方程組(10.1)然后根據問題的實際對全部解逐點判斷。到現在為止條件極值問題已經完全解決。但是，方程組(10.1)不容易記住。下面找個辦法代替（10.1）。 如果做函數（拉格朗日函數），則的無條件極值問題要解方程組 (10.3)方程組(10.3)關于的解與方程組(10.1)等價（第二個方程解出再代入第一個方程）。我們用拉格朗日函數的方程組(10.3)代替難記的方程組(10.1)。（我們不需要的值）上述方程組即

8、為目標函數在約束條件下取得極值的必要條件這種方法稱為拉格朗日乘數法，其中引進的參數稱為拉格朗日乘子根據上面推導，可以得到用拉格朗日乘數法求解極值問題的步驟：(1) 構造拉格朗日函數；(2) 求的所有可能極值點，即解方程組 （一般解這樣的方程組講究簡便技巧）(3) 根據問題的實際判斷所求出的可能極值點是否為目標函數的極值點，是極大還是極小【例10.4】設，且，求的最值解構造拉格朗日函數：，有，由前兩式可得，代入第三個式子，得，故函數駐點為：求函數在約束條件下的最值，實際上就是求曲面與的交線上的所有點的最高點和最低點的縱坐標又在閉區域上是連續的，故必存在最大值和最小值，所以，函數滿足條件的最大值為

9、，最小值為拉格朗日乘數法可推廣到二元以上函數以及有多個約束條件的極值問題。求解步驟：(1) 構造拉格朗日函數：；(2) 求的所有可能極值點，即解方程組： （一般解這樣的方程組講解簡便技巧） (3) 根據問題的實際判斷所求出的可能極值點是否為目標函數的極值點，是極大還是極小【例10.5】求函數在約束條件及下的最值解構造拉格朗日函數：，分別對變量求偏導，得 (1) (2) (3) (4) (5)，得： 由(1)，(2)，(3)式得， (6)所以（若，則有，不滿足約束條件）將上述式子代入(5)式，得，整理可得，即，故，由，得函數的最大值為，最小值為或：當時，代入(6)式，得，代入(4)式解得，由此得

10、兩個駐點，在此兩點處當時，代入(4)式，可得，從而得兩個駐點，在這兩點處 因為表示坐標原點到點的距離的平方，故所求的最值問題等價于求原點到曲線上的最近和最遠距離顯然該問題存在有解，故函數的最大值為，最小值為事實上，例10.3也可用拉格朗日乘數法求解思考題：3二元函數的極值與條件極值的幾何意義是什么？若二元函數沒有極值，是否一定沒有條件極值？（不一定。）10.3* 最小二乘法在生產實踐中，常常需要根據測量得到的數據找出函數的關系，通常稱為配曲線或找經驗公式也就是對于實驗中得到的一組數據，要求尋找一個適當的函數，使之在處取得的函數值，與實驗數據在某種尺度下最接近從幾何上來說，就是確定一平面曲線，使

11、它和實驗數據點最接近故又稱為“曲線擬合問題”解決這類問題較常用的方法是“直線擬合”法，即用線性函數來作逼近例如：煉鋼是一個氧化降碳的過程鋼液含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短如果已測得爐料熔化完畢時鋼液的含碳量與冶煉時間（從爐料熔化完畢到出鋼的時間）的一系列數據如下表試推測出與的函數關系將數據描在方格紙上，可看到這些點大致在一條直線上因而設如何合理的選擇系數？設，它表示用函數近似描述與間的關系時所產生的偏差此時，我們希望選擇合適的系數，使偏差值越小越好所有點的偏差的平方和稱為總偏差，記為我們應當確定這樣的，使得總偏差達到最小這種確定系數的方法叫做最小二乘法由求最小值的方法，應滿足方程組即滿足方

12、程組解得，例如，在上面所說的煉鋼過程中，共測得10組數據，將數據代入上面關于的公式，得到關于的二元一次方程組為解方程組，得，即用去近似表示鋼液中的含碳量與冶煉時間之間的關系可達到使總偏差最小，故此時的經驗公式為習題910A類1求下列函數的極值(1) ；*(2) ；(3) ；*(4) ；(5) ，2求下列函數在指定的區域上的最大值與最小值(1) 在上；*(2) 在上；(3) 在曲線與所圍的閉區域上；*(4) 在上3求下列方程所確定的隱函數的極值(1) ；(2) 解 （1）把看作隱函數，恒等式對求導得由對稱性解方程組由前兩方程得。解方程組對求導得令得解得由對稱性，。，是極大值。類似地，是極小值。（

13、當時函數不可導，略。）*4證明：函數有無窮多個極大值，而無極小值5已知矩形的周長為，將它繞其一邊旋轉而得一旋轉體問邊長各為多少時，旋轉體的體積最大？6求拋物線與直線之間的最短距離7在圓錐和平面所圍成的錐體中內接底面平行于面的長方體，求其中體積最大的長方體的體積*8求內接于橢球的最大長方體的體積，長方體的各個面平行于坐標面*9直圓柱體加正圓錐為頂構成一立體，圓錐的底面半徑與圓柱半徑相等若立體的表面積為，試問立體的尺寸如何時，其體積最大10現需制作一個容積為的長方形容器設制作容器時，其兩側邊的成本為元，而上，下底的成本為試確定容器的尺寸，使制作成本最低B類1求方程所確定的隱函數的極值*2求函數在直

14、線，所圍成的區域的最大值與最小值3在第一卦限內作曲面的切平面，使得切平面與三坐標面所圍成的四面體的體積最小，求出切點的坐標解 令。切平面即坐標軸截距。體積。極值問題作。由前三個方程得（簡單技巧！）。因此，。解得。根據問題的實際，這點就是所述體積最小的點。4分解已知正數為個正的因數，使得它們的倒數和為最小*5已知三角形的周長為求出這樣的三角形，當它繞自己的一邊旋轉時，所得的旋轉體的體積最大*6函數在點有極小值的充分條件是否為此函數沿著過點的每一條直線上都有極小值呢？研究例子*7設有一小山，取它的底所在的面為坐標面，其底部所占的區域為，小山的高度函數為現欲利用小山開展攀巖活動，則需在山腳尋找一個上

15、山坡度最大的點作為起點試確定起點的位置總 習 題 九1填空題(1)函數的定義域是(2)設，則*(3)設，則；*(4)(5)若,則 ； ； (6)曲面在點的處切平面方程為(7)函數在點處沿點指向方向的方向導數為(8)設函數，則對的偏增量；(9)由方程所確定的函數在點處的全微分(10)設，則*(11)已知，則函數在第一卦限內的駐點為(12)設，且當時，則；2選擇題(1)二元函數在點處A.連續且偏導數存在；B.連續但偏導數不存在；C.不連續但偏導數存在；D.不連續且偏導數不存在(2)考慮二元函數的下面條性質在點處連續；在點處兩個偏導數連續；在點處可微；在處兩個偏導數存在若用“”表示由性質推出性質，則A.；B.；C.；D.(3)A.；B.；C.不存在；D.*(4)函數在點處A.無定義；B.無極限；C.有極限但不連續；D.連續(5)函數在處間斷，則A.函數在該點處一定無定義；B.函數在該點處極限一定不存在；C.函數在該點處可能有極限，也可能有定義；D.函數在該點處一定有極限，也一定有定義，但極限值與函數值不相等(6)曲面上點處的切平面平行于平面，則點為A.；B.；C.；D.3求下列極限；*；*4計算下列各題：，求，*，求，其中具有一階連續偏導數，且，求設有二階連續偏導數，令，變換方程設函數由方程確定，其中，求，其中具有一階連續偏導數，且，求解 。把代