1、直 線 和 圓 知 識 點 總 結1、直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標系中，對于一條與 x軸相交的直 線l ,如果把x軸繞著交點按 逆時針方向轉 到和直線l重合時所轉的最小正角記為， 那么 就叫做直線的傾斜角。當直線l與X軸重合或平行時，規定傾斜角為 0; （2）傾5 。3 值的范圍是斜角的范圍 0,。如（1）直線xcos 同 2 0的傾斜角的范圍是 （答:）;（2）過點P（ 73,1）,Q（0,m）的直線的傾斜角的范圍 （答：m2或 m 4）2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k, IP k = tan （才90 ）;傾斜角為90的直線

2、沒有斜率；（2）斜率公式：經過兩點 以為,必）、P2（X2, y2）的直線的斜率為k*y2x1X2;（3）直線的X1 x2方向向員.（1，k）,直線的方向向量與直線的斜率有何關系？ （4）應用：證明三點共線：kAB kBC o如（1）兩條直線鐘率相等是這兩條直線平行的 條件（答:既不充分也不必要）；（2）實數x,y滿足3x 2y 5 0 （1x3）,則）的最大值、最 x小值分別為（答：2, 1）33、直線的方程：（1）點斜式：已知直線過點（x0,y0）斜率為k,則直線方程為 y y0 k（x x0），它不包括垂直于x軸的直線。（2）斜截式：已知直線在y軸上的截距 為b和斜率k,則直線方程為y

3、kx b,它不包括垂直于x軸的直線。（3）兩點式：已知直線經過 以為）、P2（x2,y2）兩點，則直線方程為 上“ 二它不包括垂直 y2 yx2 x1于坐標軸的直線。（4）截距式：已知直線在x軸和y軸上的截距為a,b,則直線方程為 -義1 ,它不包括垂直于坐標軸的直線和過原點的直線。（5） 一般式：任何直線均a b可寫成Ax By C 0（A,B不同時為0）的形式。如（1）經過點（2, 1）且方向向量為 v=（ 1, J3）的直線的點斜式方程是 （答：y 1察（x 2）; （2）直線（m 2）x （2m 1）y （3m 4） 0,不管 m怎樣變化恒過點 （答：（1,2）; （3） 若曲線y a

4、|x|與y x a（a 0）有兩個公共點，則a的取值范圍是 （答：a 1） 提醒：（1）直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；（2）直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等 直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為 1或直線過原點。 如過點A（1,4）,且縱橫截距的絕對值相等的直線共有 一條（答：3）4.設直線方程的一些常用技巧：（1）知直線縱截距b,常設其方程為y kx b；（2）知直線橫截距x0,常設其方程為x my x（它不適用于斜率為0的直線）；（3） 知

5、直線過點（x0,y0）,當斜率k存在時，常設其方程為y k（x x） y0,當斜率k不存在 時，則其方程為x x0;（4）與直線l : Ax By C 0平行的直線可表示為Ax By G 0 ; （5）與直線l ： Ax By C 0垂直的直線可表示為 Bx Ay C1 0.提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當選擇方程的形式，利用待定系數法求解。5、點到直線的距離及兩平行直線間的距離：(1)點 P(xo,yo)到直線 Ax By C 0 的距離 d lAx0 By0 Cl .,A2 B2(2)兩平行線 li : Ax By Ci 0,12： Ax By C2 0 間的距離為 dC1 C2 o

6、,A2 B26、直線li：Ax Biy Ci 0與直線l2：A2x B2y C2 0的位置關系：(1)平行AiB2 A2Bi 0 (斜率)且BiC2 B2Ci 0 (在y軸上截距)；(2)相交AiB2 A2Bi 0 ；(3)重合AiB2 A2Bi 0且 BC2 B2cl 0O提醒：(i) 3絲5、A竺、35Q僅是兩直線平行、相交、重合A2B2c2A2民A2B2C2的充分不必要條件！為什么？(2)在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；(3)直線 l：Ax Biy Ci 0與直線 l2：A2x 3y C2 0垂直A1A2

7、BiB2 0。如(i)設直線tx my 6 0 和 l2：(m 2)x 3y 2m 0,當m=時 l1 / l2 ；當m=i時li I2 ；當m時li與I2相父；=m=時li與I2重合(答：一1； 一；2m 3且m1 ; 3); (2)已知直線l的方程為3x 4y 12 0,則與l平行，且過點(一1,3)的直線方程是 (答：3x 4y 9 0);(3)兩條直線ax y 4 0與x y 2 0 相交于第一象限，則實數 a的取值范圍是 (答：1 a 2); (4)設a,b,c分別是 ABC 中 / A、/R /C 所對邊的邊長，則直線 sin Agx ay c 0 與 bx sin Bgy sin

8、C 0 的位置關系是 (答:垂直);(5)已知點PJx, y1)是直線l : f (x, y) 0上一點,F2(x2, y2) 是直線l外一I點，則方程f (x, y) f(x1,y1) f(x2,y2)=。所表示的直線與l的關系是(答：平行)；(6)直線l過點(1,0),且被兩平行直線3x y 6 0和3x y 3 0 所截得的線段長為9,則直線l的方程是 (答：4x 3y 4 0和x 1)7、到角和夾角公式：(1) li到L的角是指直線li繞著交點按逆時針方向轉到和直線l2重合所轉的角，0,且tan =也上(kk1); (2) li與L的夾角是指不1 k1k2大于直角的角，(0,且tan

9、= I上/I ( kik21)。提醒：解析幾何中角的問2 1 kik2題常用到角公式或向量知識求解。如已知點M是直線2x y 4 0與x軸的交點，把直線l繞點M逆時針方向旋轉45。，得到的直線方程是 (答：3x y 6 0)8、對稱(中心對稱和軸對稱)問題代入法：如(1)已知點M(a,b)與點N關于x軸對稱，點P與點N關于y軸對稱，點Q與點P關于直線x y 0對稱，則點Q 的坐標為 (答：(b,a); (2)已知直線li與l2的夾角平分線為y x ,若li的方 程為ax by c 0(ab 0),那么l2的方程是 (答：bx ay c 0); (3)點 A (4, 5 )關于直線l的對稱點為B

10、 ( 2,7),則l的方程是(答：y=3x+3); (4)已知一束光線通過點A (3,5),經直線l:3x 4y+4=0反射。如果反射光 線通過點B (2, 15),則反射光線所在直線的方程是 (答：18x + y 51 0); (5)已知 ABC頂點A(3, 1 ) , AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y 59=0,/B的平分線所在的方程為 x-4y+10=0,求BC邊所在的直線方程(答：2x 9y 65 0); (6)直線 2xy4=0 上有一點P ,它與兩定點 A (4, 1)、B (3,4 ) 的距離之差最大，則3P的坐標是 (答：(5,6 ); (7)已知A x軸，B l :

11、 y x, C(2, 1), VABC周長的最小值為 (答：J10)。提醒：在解幾中遇到角平分線、 光線反射等條件常利用對稱求解。9、簡單的線性規劃：（1）二元一次不等式表示的平面區域：法一：先把二元一次不等式改寫成y kx b或y kx b的形式，前者表示直線的上方區域，后者表示直線的下方區域； 法二：用特殊點判斷；無等號時用虛線表示不包含直線l ,有等號時用實線表示包含直線 l ；設點 P（xi,yi）,Q（X2,y2）,若AxByC與 Ax?By?C 同號，則P,Q在直線l的同側，異號則在直線l的異側。如已知點A（2,4）,B （4,2）,且直線1:丫 kx 2 與線段AB恒相交，則k的

12、取值范圍是 （答：，3 U 1, + ）（2）線性規劃問題中的有關概念：滿足關于x, y的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。關于變量x,y的解析式叫目標函數，關于變量 x,y一次式的目標函數叫線性目 標函數；求目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規劃問題；滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行 域；使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫做最優解；（3）求解線性規劃問題的步驟是什么？根據實際問題的約束條件列出不等式；作出可行域，寫出目標函數；確定目標函數的最優位置， 從而獲得最優解。如（1） 線性目標函數z=2x y在線性約束條件|x|

13、 1下，取最小值的最優解是 （答：（ 1, 1）; （2）點（一2, t）在直線2x 3y+6=0的上方，則t的取值范圍是 （答：t 2）; （3）不等式|x 11 |y 11 2表示的平面區域的面積是（答：3x y 2 08）; （4）如果實數x,y滿足x y 4 0 ,則z |x 2y 4|的最大值 （答： 2x y 5 021）（4）在求解線性規劃問題時要注意：將目標函數改成斜截式方程；尋找最 優解時注意作圖規范。10、圓的方程：圓的標準方程：x a 2 y b 2 r2。圓的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0（D2+ E2-4F 0）,特別提醒：只有當D2+ E2-4F 0時，

14、方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圓心為（口，E）,半徑為 2215/d2 E2 4F的圓（二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圓的充要條件 是什么？（A C 0,且 B 0 且 D2 E2 4AF 0）；圓的參數方程：x ： rcos （為參數），其中圓心為（a,b）,半徑為r。圓的 y b r sin參數方程的主要應用是三角換元：x2 y2 r2 x rcos , y r sin ； x2 y2 tx rcos , y rsin （0 r 相。Ax1,y1,Bx2,y2為直徑端點的圓方程xx1xx2yy1yy20如（1）圓C與圓（x 1）2 y2 1關于直線y

15、 x對稱，則圓C的方程為（答：x2 （y 1）2 1）； （2）圓心在直線2x y 3上，且與兩坐標軸均相切的圓的標 準方程是 （答：（x 3）2 （y 3）2 9 或（x 1）2 （y 1）2 1）; （3）已知p（ 1,同是圓y rsons （為參數，o 2）上的點，則圓的普通方程為,P點對應的 值為，過P點的圓的切線方程是 （答：X2 y2= 4； ； 3X近y 4 0）; （4）如果直線l將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么l的 斜率的取值范圍是 （答：0, 2）; （5）方程x2+y2x+y+k=0表示一個圓，則實 數k的取值范圍為 （答：k）；（6）若乂 （x

16、,y）| x 3C0S（為參數，0）,2y 3sinN （x,y） |y x b,若M N ，則b的取值范圍是 （答：3,3企） 11、點與圓的位置關系：已知點M x0,y0及圓C： x-a 2 y b 2 r2 r 0 , （D 點M在圓C外CM| rx0a 2y0b 2 r2;（2）點M在圓C內CM rx0a 2y0b 2r2;（3）點M在圓C上CM rx0a 2y0 b 2 r2。如點P（5a+1,12a）在圓（x 1 ） 2 +y2=1的內部，則a的取值范圍是 （答：|a| -） 1312、直線與圓的位置關系：直線l: Ax By C 0和圓C：x a 2 y b 2 r2r 0有相交

17、、相離、相切。可從代數和幾何兩個方面來判斷：（1）代數方法（判斷直線與圓方程聯立所得方程組的解的情況）：0 相交； 0 相離； 0 相切；（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大小）：設圓心到直線的距離為d , 則d r 相交；d r 相離；d r 相切。提醒：判斷直線與圓的位置關系一般 用幾何方法較簡捷。如（1）圓2x2 2y2 1與直線xsin y 1 0（ R, k , k z） 2的位置關系為 （答：相離）；（2）若直線ax by 3 0與圓x2 y2 4x 1 0切于點 P（ 1,2）,則 ab 的值（答：2）; （3）直線 x 2y 0 被曲線 x2 y2 6x 2y 15

18、0 所 截得的弦長等于（答：4百）；（4） 一束光線從點A（ 1,1）出發經x軸反射至U圓 C:（x-2） 2+（y-3） 2=1 上的最短路程是 （答：4）; （5）已知 M（a,b）（ab 0）是圓 O:x2 y2 r2內一點，現有以 M為中點的弦所在直線m和直線l : ax by r2 ,則A. ml ,且l與圓相交 B . l m ,且l與圓相交C. m/l ,且l與圓相離D. l m,且 l 與圓相離（答：C）;（6）已知圓 C: x2 （y 1）2 5,直線 L: mx y 1 m 0。 求證：對m R,直線L與圓C總有兩個不同的交點；設L與圓C交于A、B兩點， 若AB 折，求L的

19、傾斜角；求直線 L中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方 程.（答：60o或120o最長：y 1,最短：x 1）13、圓與圓的位置關系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關系判斷）：已知兩圓的圓心分別為Oi, O2,半徑分別為廠也，則（1）當|OQ2 r1 r2時，兩圓外離；當 |OiO2r1r2 時，兩圓外切；（3）當 nr2 |OiO2nr2 時，兩圓相交；（4）當|OQ2r1r2122時，兩圓內切；（5）當0 |OiO2r1上|時，兩圓內含。如雙曲線告 * 1的左焦點a b為Fi,頂點為Ai、A2, P是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段PFi、AA2為直徑的兩圓位置關系為 （答：內切）14、圓的切線與弦長：（1）切線：過圓x2 y2 R2上一點P（%,y0