1、方程（組）與不等式組的綜合應用重點難點易得點點點著通一、二元一次方程（組）的應用對于含有多個未知數的問題，利用列方程組來解，一般要比列一元一次方程解題容易，列方程組解應用題有以下幾個步驟：（1）選定幾個未知數；（2）依據已知條件列出與未知數的個數相等的獨立方程，組成方程組；（3）解方程組，得到方程組的解；（4）檢驗求得未知數的值是否符合題意，符合題意即為應用題的解。二、一元一次不等式（組）的應用列不等式（組）解應用題的步驟大體與列方程 （組）解應用題相同，應緊緊抓住“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”、“不超過”、“大于”、“小于”等關鍵詞。 注意分析題目中的不等關系，能準確分析題意，列

2、出不等關系式，然后根據不等式（組）的解法求解。根據題目所給信息，運用不等式知識建立數學模型，再對可能出現的各種情況進行分類討論從而獲解，這是本節內容的一種常見題型，應注意加強自我練習， 以增強對數學知識的應用能力。三、利用不等式（組）解決方案選擇問題方案選擇問題就是根據要求提供或尋求到多種解決問題的方案，并考慮到實施中的經濟因素，選擇最佳（可行）方案，主要方法為建立方程模型、不等式（組）模型、函數模型、概率模型以解決問題。建立不等式（組）模型解決方案選擇問題，即通過不等式（組）對代數式進行比較，以確定最佳方案，獲取最大收益，考查對數學的應用能力，考查的熱點是與.實際生活密切相關的不等式（組）應

3、用題。這類問題，首先要認真分析題意， 即讀懂題目，然后建立數學模型，即用列不等式（組） 的方法求解，解決這類問題的關鍵是正確地設未知數，找出不等關系，從不等式（組）的解 集中尋求正確的、符合題意的答案。K真裊難盤名校題題題楚典】x 2a+ bv 0,若不等式組2x+3a5b0的解集1Vx6,貝U a =解析：先用含有a、b的代數式表示出不等式組的解集，再根據不等式組的解集是-1x6,列出關于a、b二元一次方程組，解之即可。答案：解不等式組，得5b3ax2a- b,又7 -1 x 65b 3ao-=- 1,a=4, 2解得165, 一 5解之得：z0且為整數, .z=0, 1, 2; -6-z=

4、6, 5, 4。 車隊共有3種購車方案：載重量為8噸的卡車不購買，10噸的卡車購買6輛；載重量為8噸的卡車購買1輛，10噸的卡車購買5輛；載重量為8噸的卡車購買2輛，10噸的卡車購買4輛。點撥：此題主要考查了二元一次方程組的應用以及不等式的應用，根據已知得出正確的不等式關系是解題關鍵。例題3 某綠色無公害蔬菜基地有甲、乙兩種植戶，他們種植了A B兩類蔬菜，兩種植戶種植的兩類蔬菜的種植面積與總收入如下表：種植戶種植A類蔬菜 面積（單位：畝）種植B類蔬菜 面積（單位：畝）總收入（單位：元）甲3112500乙2316500說明：不同種植戶種植的同類蔬菜每畝平均收入相等。（1）求A、B兩類蔬菜每畝平均

5、收入各是多少元？（2）某種植戶準備租 20畝地用來種植 A B兩類蔬菜，為了使總收入不低于 63000元, 且種植A類蔬菜的面積多于種植 B類蔬菜的面積（兩類蔬菜的種植面積均為整數），求該種植戶所有租地方案。解析：（1）根據甲、乙兩種植戶的總收入分別是12500元、16500元，找出兩個相等關系，分別得出等式組成方程組，求出即可；（2）根據“總收入不低于63000元”、“種植A類蔬菜的面積多于種植 B類蔬菜的面積” 這兩個不等關系，列出不等式組，解之求出種植 A（或B）類蔬菜的面積的取值范圍；再根 據“兩類蔬菜的種植面積均為整數”，確定該種植戶所有租地方案。答案：解：（1）設A、B兩類蔬菜每畝

6、平均收入分別是x元，,y元。由題意，得3x+y= 12500,x=3000,解得：2x+3y= 16500.|y=3500.答：A B兩類蔬菜每畝平均收入分別是3000元，3500元。（2）設用來種植A類蔬菜的面積a畝，則用來種植 B類蔬菜的面積為（20 a）畝。由 題意，3000a+ 3500 20 - a 三6：川。.得,解得10vaw14。a20- a.,a 取整數為：11、12、13、14。，租地方案為：類別種植面積單位：（畝）A11121314B9876點撥：（1）以圖表、信息的形式出現的實際問題，常用方程和不等式的方法解決。解決 問題的關鍵要分析圖表、信息，找出相等關系和不等關系，

7、達到求解的目的。（2）利用不等式組進行方案設計，首先要通過審題設未知數，列出不等式（組）并解 不等式（組），然后通過所設未知數的實際意義或具體限制，求出各種方案，進而得到解決 問題的最優方案。展紛工拓展總結,提升菁分必讀】而這類問題有時就需要建立近年來，考查“新定義”的題型在各地的中考中屢見不鮮, 不等式模型，通過列一元一次不等式（組）來解決。例題 設A是由2X4個整數組成的2行4列的數表，如果某一行（或某一列）各數之 和為負數，則改變該行（或該列）中所有數的符號，稱為一次“操作”。（1）數表A如表1所示，如果經過兩次“操作”，使得到的數表每行的各數之和與每列 的各數之和均為非負整數，請寫出每

8、次“操作”后所得的數表；（寫出一種方法即可）表11 23-7-2 1（2）數表A如表2所示，若經過任意一次“操作”以后，便可使得到的數表每行的各 數之和與每列的各數之和均為非負整數，求整數a的值。表2aa2- 1一a2 a2-a1 a2a-22 a解析：（1）根據某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變該行（或該列）中所有 數的符號，稱為一次“操作”，先改變表1的第4歹U,再改變第2行即可；（2）根據每一列所有數之和分別為2, 0, 2, 0,每一行所有數之和分別為1,1,然后分別根據如果操作第三列或第一行，每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數, 列出不等式組，求出不等式組的解集即可得出

9、答案。答案：（1）根據題意得:改變第4列123一 7210112372101改變第2行123一 72101（2）二每一列所有數之和分別為2, 0, 2, 0,每一行所有數之和分別為 1, 1,則：如果操作第三列，aa21aa22-a1 - a 22-a2 a則第一行之和為2a1,第二行之和為5 2a,2a -1 -05-2a-015斛得：一E a 一,22又二 a為整數,a= 1 或 a= 2, 如果操作第一行，一aa21a2 a2-a1- a2a-22 a則每一列之和分別為 2 2a, 2-2a2, 2a-2, 2a2,2 -2a ,02a -2 _0解得a = 1,此時 22a2= 0,

10、2a2=2,綜上可知：a = 1。點撥：此題考查了一元一次不等式組的應用，關鍵是讀懂題意，根據題目中的操作要求,列出不等式組，注意 a為整數。工即學即劑肌固提升】（答題時間:45分鐘）、選擇題2x31.不等式組,的最小整數解是（）x -1 -2xA. - 1B. 0C. 22.地球正面臨第六次生物大滅絕，據科學家預測，到2050年,D. 3目前的四分之一到一半的物種將會滅絕或瀕臨滅絕，2012年底，長江江豚數量僅剩約1000頭，其數量年平均下降的百分率在13%15瓶圍內，由此預測,2013年底剩下江豚的數量可能為（）頭。A. 970B. 860C. 750D. 7203 .在蘆山地震搶險時，太

11、平鎮部分村莊需8組戰士步行運送物資，要求每組分配的人數相同，若按每組人數比預定人數多分配1人，則總數會超過100人；若按每組人數比預定人數少分配1人，則總數不夠 90人，那么預定每組分配的人數是（）D. 13 人xy,則p的取值范圍是r -5D. P2B. PW2 C. P-2、填空題x -aa1 ,5 .已知x= 3是方程 一2 = x1的解，那么不等式（2a）xv1的解集是 ,253. a b1b .6 .對于整數 a, b, c, d, te義 =ac bd,已知13 ,則b+d的值為d cd 47 . 一個兩位數，它的十位數字比個位數字小2,如果這個數大于20且小于40,那么此數為。8

12、 .若點M（3a9, 1 a）是第三象限的整數點，則M點的坐標為 。三、解答題9 .為了保護環境，某造紙廠決定購買20臺污水處理設備，現有 A, B兩種型號的設備,其中每臺的價格、日處理污水量如下表：價格(萬元/臺)2420處理污水量(噸/日)480400經預算，該造紙廠購買設備的資金不能高于410萬元。(1)該造紙廠有幾種購買方案；(2)若造紙廠每日排出的污水量大于8060噸而小于8172噸，為了節約資金，該廠應選擇哪種貝買方案？10.某中學為落實市教育局提出的“全員育人，創辦特色學校”的會議精神，決心打造“書香校園”，計劃用不超過1900本科技類書籍和1620本人文類書籍，組建中、小型兩類

13、圖書 角共30個。已知組建一個中型圖書角需 科技類書籍80本，人文類書籍50本；組建一個小 型圖書角需科技類書籍 30本，人文類書籍60本。(1)符合題意的組建方案有幾種？請你幫學校設計出來；(2)若組建一個中型圖書角的費用是860元，組建一個小型圖書角的費用是 570元，試說明(1)中哪種方案費用最低，最低費用是多少元？* 11.為了保護環境，某化工廠一期工程完成后購買了 3臺甲型和2臺乙型污水處理設備， 共花費資金54萬元，且每臺乙型設 備的價格是每臺甲型設備價格的75%實際運行中發現每臺甲型設備每月能處理污水200噸，每臺乙型設備每月能處理污水160噸，且每年用于每臺甲型設備的各種維護費

14、和電費為1萬元，每年用于每臺乙型設備的各種維護費和電費為1.5萬元。今年該廠二期工程即將完成，產生的污水將大大增加，于是該廠決定再購買甲、乙兩種設備共8臺用于二期工程的污水處理，預算本次購買資金不超過84萬元，預計二期工程完成后每月將產生不少于 1300噸污水。(1)請你計算每臺甲型設備和每臺乙型設備的價格各是多少元？(2)請你求出用于二期工程的污水處理設備的所有購買方案；(3)若兩種設備的使用年限都 為10年，請你說明在(2)的所有方案中，哪種購買方 案的總費用最少？(總費用=設備購買費+各種維護費和電費)*12.某公司欲租賃甲、乙兩種設備，用來生產 A產品80件、B產品100件。已知甲種

15、設備每天租賃費為 400元，每天滿負荷可生產 A產品12件和B產品10件；乙種設備每天租 賃費為300元，每天滿負荷可生產 A產品7件和B產品10件。(1)若在租賃期間甲、乙兩種設備每天均滿負荷生產，則需租賃甲、乙兩種設備各多 少天恰好完成生產任務？(2)若甲種設備最多只能租賃 5天，乙種設備最多只能租賃 7天，該公司為確保完成 生產任務，決定租賃這兩種設備合計 10天(兩種設備的租賃天數均為整數) ，問該公司共 有哪幾種租賃方案可供選擇？所需租賃費最少是多少？*一、選擇題311. A 解析：解不等式組的解集為x10 ,8(X- 1) 90解得：11_1vxv 121, x 為整數，x=12。

16、故選 Q2454. A 解析：一得 2 (x-y) = 5 2p。xwy, 52pW0。. p 之一。故選 a。2二、填空題5. x 1 解析：先將x=3代入方程，可解得 a=-5,再將a=5代入不等式，解不 9等式得出結果。6. 3 解析：由定義得1 bd 3,而b, d者B是整數，/.b + d=3。7. 24或35解析：設十位上的數為 x,根據“這個數大于20且小于40”，列出不等式組,求出x的取值范圍；再根據 x為正整數，求出x的值，就可以求出這個兩位數。8. (-3, -1) 解析：根據點 M在第三象限列不等式組，求出解集后再根據它的坐標為整數求解。三、解答題9. 解：(1)設購買A

17、型設備x臺，B型設備(20 x)臺。24x+20 (20 x) 410o x 2.5 ,，x=0, 1 , 2。三種方案：方案一：A： 0臺；B： 20臺；方案二：A: 1臺；B: 19臺；方案三：A: 2臺；B: 18臺。(2)依題意，得 8060480x+400 (20x) 8172。0.75 x2.15 , x= 1 , 2。當x=1時，購買資金為 404萬元；當x=2時，購買資金為 408萬元。答：為節約資金，應購買 A型設備1臺，B型設備19臺。30x）個。10. 解：(1)設組建中型圖書角 x個，則組建小型圖書角為(80x 30(30 -x) 1900由題意，得，50x 60(30

18、 - x)與 1620解這個不等式組，得 18x 仙G解得200a + 160 8-a 切洲， 2（2）設二期工程中，購買甲型設備a臺，a4.由題意知a為正整數，a=1, 2, 3, 4。2臺，乙，所有購買方案有四種，分別為方案一：甲型 1臺，乙型7臺；方案二：甲型 型6臺；方案三：甲型 3臺，乙型5臺；方案四：甲型 4臺，乙型4臺。（3）設二期工程10年用于治理污水的總費用為 W萬元，則W= 12a+9 （8 a） +1X10a+1.5 X10 （ 8-a）, 化簡得W 2a+ 192。,W遁a的增大而減小，當 a = 4時，W最小（逐一驗算也可）。按方案四：甲型購買 4臺，乙型購買4臺的總費用最少。12. 解：（1）設需租賃甲、乙兩種設備分別為x、y天。12x 7y =80則依題意得y10x 10y=100f x - 2解得xy -8答：需租賃甲種設備 2天、乙種設備8天。（2）設租賃甲種設備 a天、乙種設備（10- a）天，總費用為 8元。 a M510-