1、關于自動控制理論頻率域方法第一頁，共38頁幻燈片 系統的系統的頻率響應頻率響應定義為系統對正弦輸入定義為系統對正弦輸入信號的信號的穩態響應穩態響應。 系統系統r(t)c(t)5-1 5-1 頻率特性頻率特性第二頁，共38頁幻燈片穩態輸出的振幅與輸入振幅之比穩態輸出的振幅與輸入振幅之比, ,稱為稱為幅頻特幅頻特性性。 穩態輸出的相角與輸入相角之差穩態輸出的相角與輸入相角之差 , ,稱為稱為相頻特相頻特性性。一個穩定的系統，假設有一正弦信號輸入一個穩定的系統，假設有一正弦信號輸入 r( )sinr tAt 其穩態輸出可寫為其穩態輸出可寫為 c( )sin()c tAt Ac-穩態輸出的振幅穩態輸出

2、的振幅 -穩態輸出的相角穩態輸出的相角crAMA )(A第三頁，共38頁幻燈片ur（t）CRuc（t） RC濾波網絡T22rT1TAteT)arctan-tsin(T122rA)(sin)()(limtAAturctTTAarctan)(,11)(22)(tuc第四頁，共38頁幻燈片221jjarctan1 j221sin(arctan)11eej11 1jTTtTTTTT j111j1sTTs 只要把只要把RC網絡傳遞函數中的網絡傳遞函數中的s以以j置換，就置換，就得到頻率特性，即得到頻率特性，即RC網絡的頻率特性網絡的頻率特性)(je第五頁，共38頁幻燈片證明證明此結論的一般性：此結論的一

3、般性： 設系統的輸入信號、輸出信號分別為 ，其拉氏變換分別為 ，則系統的傳遞函數為 )()(tctr、)()(sCsR、)()()(sRsCsG)(sG為方便討論，設所有極點為互不相同的實數。為方便討論，設所有極點為互不相同的實數。 若輸入為諧波信號，即若輸入為諧波信號，即 tAtrrsin)()()()(21npspspssM第六頁，共38頁幻燈片其拉氏變換其拉氏變換)()(22jsjsAsAsRrr)()()()()(21jsjsApspspssMsCrnjsCjsCpsKpsKpsKnn212211取其拉氏反變換取其拉氏反變換tpeKtc11)(.22tpeKtpnneKtjtjeCeC

4、21第七頁，共38頁幻燈片tjtjtseCeCtctc21)(lim)(其中其中 jAjGjsjsjsAsGCrjsr2)()()()(2由于由于 是一個復數，可表示為是一個復數，可表示為 jssGjG)()()()()(jGjejGjGjsrjsjsjsAsGC)()()(1jsCjsCsCs21)(jAjGr2)()()(jejG)()()()()(21jsjsApspspssMsCrn第八頁，共38頁幻燈片 和和 是共軛的，故是共軛的，故 可表示成可表示成 )(jG)(jG )(jG )()()(jejGjG1CtjjreejGjA)()(2)(2)(2jrejGjAC jAjGr2)(

5、)()(2jrejGjAtjtjseCeCtc21)(jeetjtj2)()(tjjreejGjA)()(2)(jGAr第九頁，共38頁幻燈片與前面結論比較與前面結論比較 )()(jGA)()(jGjeejGAtctjtjrs2)()()()()(sin)(tjGAr)()()(jeAjGjssGjG)()()(sin)()(tAAturcs第十頁，共38頁幻燈片例例 若系統單位階躍響應若系統單位階躍響應tteeth948 . 08 . 11)(確定系統的頻率特性。確定系統的頻率特性。 tteedttdhtk942 . 72 . 7)()()9)(4(3692 . 742 . 7)()(sss

6、stkLs)9)(4(36)(jjjG第十一頁，共38頁幻燈片1、幅頻特性、相頻特性、幅相特性)()()(jGjGjG0:)(A)()()(jeA = =為系統的為系統的幅頻特性幅頻特性。為系統的為系統的相頻特性相頻特性。（1 1）（2 2）三、頻率特性的幾何表示法第十二頁，共38頁幻燈片)/(sradT21T1T2T3T4T5)(A)/()(010.8900.7070.4470.3160.2430.19600- -26.5- -45.0- -63.4- -71.6- -76.0- -78.7- -90.0TTAarctan)(,11)(22第十三頁，共38頁幻燈片（3 3）幅相特性）幅相特性

7、 幅相頻率特性圖又稱幅相頻率特性圖又稱Nyquist（奈奎斯特）（奈奎斯特）圖，由于它是圖，由于它是在復平面上以極坐標的形式表示，故又稱極坐標圖。在復平面上以極坐標的形式表示，故又稱極坐標圖。 以頻率以頻率為參變量，將幅頻與相頻特性同時表示在復數平為參變量，將幅頻與相頻特性同時表示在復數平面上，實軸正方向為相角的零度線，逆時針轉過的角度為正面上，實軸正方向為相角的零度線，逆時針轉過的角度為正，順時針轉過的角度為負。對于一個確定的頻率，必定有一，順時針轉過的角度為負。對于一個確定的頻率，必定有一個幅頻的幅值和相頻的相角與之相對應。個幅頻的幅值和相頻的相角與之相對應。RC網絡的幅相特性網絡的幅相特

8、性曲線曲線第十四頁，共38頁幻燈片2.2.對數頻率特性對數頻率特性 對數頻率特性圖又叫對數頻率特性圖又叫Bode（伯德）（伯德）圖。它由對數幅頻特性圖。它由對數幅頻特性和對數相頻特性兩條曲線所組成。和對數相頻特性兩條曲線所組成。 BodeBode圖是在半對數坐標紙上繪制出來的。所謂半對數坐圖是在半對數坐標紙上繪制出來的。所謂半對數坐標，是指橫坐標采用對數刻度，因而刻度是不均勻的，而標，是指橫坐標采用對數刻度，因而刻度是不均勻的，而縱坐標則采用線性的均勻刻度?？v坐標則采用線性的均勻刻度。 Bode圖中，對數幅頻特性是圖中，對數幅頻特性是 的對數值的對數值 和頻率和頻率 的關系曲線；對數相頻特性是

9、的關系曲線；對數相頻特性是 的相角的相角 和頻率和頻率 的關系曲線。的關系曲線。 )(jG)(lg20jG)(jG 在畫對數頻率特性曲線時，必須掌握對數刻度的概念。在畫對數頻率特性曲線時，必須掌握對數刻度的概念。橫坐標上標的是橫坐標上標的是 的實際值，而坐標上的距離是按的實際值，而坐標上的距離是按 值的值的常用對數常用對數 的大小來刻度的。因此的大小來刻度的。因此坐標上任意坐標上任意 的的距離應為距離應為 ，而不是，而不是 lg21、12lglg12第十五頁，共38頁幻燈片 對數坐標刻度對數坐標刻度 由于是按以由于是按以1010為底的對數刻度，因此，頻為底的對數刻度，因此，頻率每變化率每變化1

10、0倍稱為一個十倍頻程或十進程，倍稱為一個十倍頻程或十進程，記作記作decade或簡寫為或簡寫為dec。每個十進程沿橫坐。每個十進程沿橫坐標走過的間隔為一個單位長度。標走過的間隔為一個單位長度。 第十六頁，共38頁幻燈片 對數幅頻特性的縱坐標為對數幅頻特性的縱坐標為 )(lg20)(AL 稱為對數幅值，單位是分貝?？v坐標按分貝做線性刻度。稱為對數幅值，單位是分貝。縱坐標按分貝做線性刻度。對數相頻特性的縱坐標為相角對數相頻特性的縱坐標為相角 ，單位是度，因不取對，單位是度，因不取對數，故采用線性刻度。數，故采用線性刻度。 )(第十七頁，共38頁幻燈片采用對數坐標的優點采用對數坐標的優點(1)(1)

11、由于橫坐標采用對數由于橫坐標采用對數刻度，將低頻段相對展寬刻度，將低頻段相對展寬了，而將高頻段相對壓縮了，而將高頻段相對壓縮了。因此采用對數坐標既了。因此采用對數坐標既可以拓寬視野，又便于研可以拓寬視野，又便于研究低頻段的特性。究低頻段的特性。 (2)(2)對數幅頻特性對數幅頻特性將幅值的乘除運算將幅值的乘除運算轉化為加減運算。轉化為加減運算。3.3.對數幅相特性對數幅相特性 又稱又稱Nichols（尼柯爾斯）（尼柯爾斯）圖。圖。第十八頁，共38頁幻燈片一、比例環節（放大環節）一、比例環節（放大環節） 比例環節的傳遞函數為比例環節的傳遞函數為 KsG)(其頻率特性表達式為其頻率特性表達式為 K

12、jG)( 00arctan)(0)(2KKKA 對數幅頻特性為一水平線，相頻特性與橫坐標重合。比對數幅頻特性為一水平線，相頻特性與橫坐標重合。比例環節的極坐標圖為一條線。例環節的極坐標圖為一條線。5-2 5-2 典型環節的頻率特性典型環節的頻率特性 第十九頁，共38頁幻燈片比例環節頻率特性比例環節頻率特性第二十頁，共38頁幻燈片故故 90)(,1)(A二、積分環節二、積分環節 積分環節的傳遞函數為積分環節的傳遞函數為 ssG1)(其頻率特性表達式為其頻率特性表達式為 11)(jjjG1.1.幅頻特性、相頻特性、幅相特性幅頻特性、相頻特性、幅相特性 第二十一頁，共38頁幻燈片積分環節積分環節的幅

13、相頻率特性的幅相頻率特性第二十二頁，共38頁幻燈片2、對數頻率特性已知已知 1)(A90)(則則 lg201lg20)(L第二十三頁，共38頁幻燈片三、慣性環節（一階系統）三、慣性環節（一階系統） 慣性環節的傳遞函數為慣性環節的傳遞函數為 11)(TssG其頻率特性的表達式為其頻率特性的表達式為 jTjG11)(1.1.幅頻特性、相頻特性、幅相特性幅頻特性、相頻特性、幅相特性 故故 2211)(TATarctan)(第二十四頁，共38頁幻燈片2211)(TATarctan)(TjeTjTjGarctan2)(1111)(第二十五頁，共38頁幻燈片2.2.對數頻率特性對數頻率特性 由于由于 TT

14、Aarctan)(,11)(22所以所以 22221lg2011lg20)(TTL 利用上式可計算并描出較精確的對數幅頻特性。但實際一利用上式可計算并描出較精確的對數幅頻特性。但實際一般采用漸近線近似法。方法如下：般采用漸近線近似法。方法如下： 在低頻段，在低頻段， 很小。當很小。當 即即 時略去時略去 此時此時 T11T22TdBL0)(在高頻段，在高頻段， 很大。當很大。當 即即 時略去時略去1。此。此時時 T11T)(lg20)(dBTL高頻漸近線與低頻漸近線在高頻漸近線與低頻漸近線在 處相交，這交點處的處相交，這交點處的頻率稱為頻率稱為轉折頻率轉折頻率。T1第二十六頁，共38頁幻燈片)

15、(01. 311lg20)(dBL第二十七頁，共38頁幻燈片四、振蕩環節（二階系統）四、振蕩環節（二階系統） 振蕩環節的傳遞函數為振蕩環節的傳遞函數為 2222)(nnnsssG其頻率特性為其頻率特性為 nnnnnjjjjG2)(1 1)(2)()(2222222)2()(1 1)(nnA2)(12arctan)(nn1.1.幅頻特性、相頻特性、幅相特性幅頻特性、相頻特性、幅相特性 第二十八頁，共38頁幻燈片諧振頻率諧振頻率212mn諧振峰值諧振峰值21()21mmA222)2()(1 1)(nnA0)(21)(1)0(0AAAnn（1 1）幅頻特性）幅頻特性第二十九頁，共38頁幻燈片2)(1

16、2arctan)(nn)(2)(0)0(0nn（2 2）相頻特性）相頻特性第三十頁，共38頁幻燈片2)(12arctan222)2()(1 1)(nnjnnejG0)(221)(01)0(0jGjGjGnn（3 3）幅相特性）幅相特性第三十一頁，共38頁幻燈片2222)(12arctan)(,)2()(1 1)(nnnnA222222)2()(1 lg20)2()(1 lg201lg20)(nnnnL2.2.對數頻率特性對數頻率特性 第三十二頁，共38頁幻燈片 低頻段，當低頻段，當 ，即，即 時，略去時，略去 項，項，此時此時 n1nn)(01lg20)(dBL 高頻段，當高頻段，當 ，即，即

17、 時，略去時，略去1和和 項，項，此時此時n1nn2)(lg40)lg(20)(2dBLnn 斜率為斜率為40dB，轉折頻率為，轉折頻率為 ，在此附近會導致較，在此附近會導致較大誤差。當大誤差。當 時按漸近公式計算時按漸近公式計算 而按準確方程有而按準確方程有 ，則，則 ，即誤差的大小與阻尼比有關。若即誤差的大小與阻尼比有關。若 在在 之間，漸之間，漸近線可不作修正，否則，應作修正。近線可不作修正，否則，應作修正。nndBL01lg40)(2lg20)(L2lg20)(L7 . 04 . 0222)2()(1 lg20)(nnL第三十三頁，共38頁幻燈片五、五、 微分環節微分環節 微分環節的傳遞函數為微分環節的傳遞函數為 ssG)(頻率特性表達式為頻率特性表達式為 jjG)(lg20)(L