1、第二講 二次函數綜合問題二次函數是中學代數的基本內容之一，它既簡單又具有豐富的內涵和外延.作為最基本的初等函數,可以以它為素材來研究函數的單調性、奇偶性、最值等性質，還可建立起函數、方程、不等式之間的有機 聯系；作為拋物線，可以聯系其它平面曲線討論相互之間關系.這些縱橫聯系，使得圍繞二次函數可以編制出層出不窮、靈活多變的數學問題.同時，有關二次函數的內容又與近、現代數學發展緊密聯系，是學生進入高校繼續深造的重要知識基礎.因此，從這個意義上說，有關二次函數的問題在高考中頻繁出現，也就不足為奇了 .學習二次函數，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征.從解析式出發，可以進行純粹的代數推理，這

2、種代數推理、論證的能力反映出一個人的基本數學素養；從圖像特征出發，可以實現數與形 的自然結合，這正是中學數學中一種非常重要的思想方法.本文將從這兩個方面研究涉及二次函數的一些綜合問題.1 .代數推理由于二次函數的解析式簡捷明了，易于變形(一般式、頂點式、零點式等)，所以，在解決二次函數 的問題時，常常借助其解析式，通過純代數推理，進而導出二次函數的有關性質1.1 二次函數的一般式 y ax2 bx c (c 0)中有三個參數 a,b,c.解題的關鍵在于：通過三個 獨立條件“確定”這三個參數 .例1 已知f(x) ax2 bx,滿足1 f( 1) 2且2f(1) 4 ,求f ( 2)的取值范圍.

3、分析：本題中，所給條件并不足以確定參數a,b的值，但應該注意到:所要求的結論不是f 2的確定值，而是與條件相對應的“取值范圍”，因此,我們可以把f( 1)2和2 f (1) 4當成兩個獨立條件，先用f 1和f 1來表示a,b.解：由f 1 ab可解得:將以上二式代入f(x)3ff(1)10.ax212(f(1)ax2 bx ,1 f( 1)bx c af( 1),并整理得f(2,f( 1)*)1)1,1,f -11 ,試證明：對于任意1,有分析:同上題，可以用f 0 , f 1 , f 1來表示a,b,c.解:12(f12f10)，b 2(f(1)f(1),c f 0 ,f 1 a b c,

4、f 1 a b c, f 0 c,0 x x1X2一x 0時,2x2x x2x22l x22x2 x(1x2)(xx 12)21時，(1x2)2.x x 11 2(x -)2綜上，問題獲證1.2利用函數與方程根的關系，寫出二次函數的零點式y ax x1 x x2 .設二次函數f xax2 bx c a 0 ,方程f x x 0的兩個根x1, x2滿足1 r0 x1 x2 .當 x 0, x1 時，證明 x f xx1 .a分析：在已知方程f xx 0兩根的情況下，根據函數與方程根的關系，可以寫出函數表達式，從而得到函數 f(x)的表達式證明：由題意可知f (x) x a(x x1)(xx2).

5、a(x xj(x X2) 0,當 X0,X1 時，f(x) X.又 f(x)x1 a(x x1)(x x2)xx1(x x1)(axax21),xx10,且 ax ax2 11ax20,f (x) xi,綜上可知，所給問題獲證.例4已知關于x的二次方程xm 2, 1m 2,m 1 J2 或 m 1 V2, 1 m 0.+2mx+2m+1=0若方程有兩根，其中一根在區間(一1, 0)內，另一根在區間(1, 2)內，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區間(0, 1)內，求m的范圍,命題意圖J本題重點考查方程的根的分布問題，知識依托：解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數性質所具有的意義.錯解分析

6、 用二次函數的性質對方程的根進行限制時，條件不嚴謹是解答本題的難點技巧與方法3設出二次方程對應的函數，可畫出相應的示意圖，然后用函數性質加以限制 .解(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區間(1, 0)和(1, 2)內，畫出示意圖,f (0) 2m 10,f( 1) 2 0, f (1) 4m 20,f (2) 6m 50m R,1256(2)據拋物線與x軸交點落在區間(0,1)內，列不等式組f(0) 0,f(1) 0,0,0 m 11.3緊扣二次函數的頂點式b2a4ac4ab2,對稱軸、最值、判別式顯合力例5 已知函數f(x) 2zAx °2x(1

7、)將y f(x)的圖象向右平移兩個單位，得到函數y g(x),求函數y g(x)的解析式;(2)函數y h(x)與函數y g(x)的圖象關于直線 y 1對稱，求函數 y h(x)的解析式;(3)設 F(x)1 .f(x) h(x),已知F(x)的最小值是m且m 2 J7 ,求實數 aa的取值范圍。解：(1) g x(2)設 y h x的圖像上一點x, y，點P x, y關于y 1的對稱點為Q x,2的圖像上,所以(3)2xF(x)2x 22x 2a祥,a2 x 22x,則1-f(x) aF(x)一， 4 a問題轉化為：4-t4a4 a 124ah(x)2x(4a 1) 22x4 a 4a4a

8、1. 7t 4a 1故必有4a 0.(否則，若a 4a4a當t充分大時，必有 u0;而當4a2.0恒成立.u(t)4 a 124a. 7t4a0 ,則關于t的二次函數4 a4a*)u(t)4a 1開口向下,0時，顯然不能保證(*)成立.)，此時，由于二次函數以，問題等價于8a4 a4a4 a4a4a 1解之得:,4 a此時，一a 0,4a4a0 ，故 F(x)4 a t 4a4a 1取得最小值2滿足條件.2.數形結合二次函數f (x) ax2bx c a 0的圖像為拋物線，具有許多優美的性質，如對稱性、單調性、凹凸性等.結合這些圖像特征解決有關二次函數的問題，可以化難為易.,形象直觀.2.1二

9、次函數的圖像關于直線 x 對稱,2a特別關系XiX2-也反映了二次函數的一種對 a稱性.2.次函數fx ax bx c aX 0的兩個根Xi, X2滿足X2.X1X2解:由題意由方程f X且函數f X的圖像關于直線x0對稱，證明:2ab 1X12ab ,x1，故 a2.2二次函數Xi2x ax (b 1)x c.0的兩個根x1，x2滿足0X2X2XoXiL且 ab 12ab 12a1X1X2a 2ax2 一, 可得a1,2af(x)的圖像具有連續性，且由于二次方程至多有兩個實數根n且f(m)f(n) 0 在區間 m,n上，必存在f(x)例 7 已知二次函數 f(x) ax2 bx 1 (a,

10、b R, a(1)如果X1X24,設函數f(x)的對稱軸為X.所以存在實數m,n使得0的唯一的實數根.0),設方程f (x)Xo ,求證：XoX的兩個實數根為X1和(2)如果x1分析：條件X1述圖像特征去等價轉化2,解：設 g(x) f(x)(1)由 a0及x1兩式相加得b .1 , 2a(2)由(x1X2)2X2X2X12 ,求b的取值范圍.4實際上給出了2 axX2f (x) X的兩個實數根所在的區間,因此可以考慮利用上(b 1)x4,可得b 32a 4a2上32a 4a所以，Xo 1；1 ，則 g(x)g(2)g(4)0,0,(一)2 4,可得 2a 1 a a0的二根為x1和x2 .目

11、口 4a 2b 10 目口即，即16a 4b 3 0(b 1)2 1 .又 xx2-Xi , X2同號.Xi2,x2x12等價于0x12 x22a 12.(b 1)1X22a2x10(b 1)2 1g(2)g(0)g( 2) g(0)2a 1,(b 1)22a 1.(b 1)2 1解之得2.3因為二次函數f (x)2 axbx ca 0在區間和區間, 2a2a)上分別單調,所以函數f x在閉區間上的最大值、最小值必在區間端點或頂點處取得;函數值必在區間端點或頂點處取得例8已知二次函數f (x) ax2 bx c,當 1 x 1時，有1 f (x) 1 ,求證：當 2 x 2時，有 7 f (x

12、) 7.分析：研究f (x)的性質，最好能夠得出其解析式，從這個意義上說,應該盡量用已知條件來表達參數a,b,c.確定三個參數，只需三個獨立條件，本題可以考慮f(1)，f ( 1) , f (0),這樣做的好處有兩個：一是a,b,c的表達較為簡潔，二是由于1和0正好是所給條件的區間端點和中點，這樣做能夠較好地利用條件來達到控制二次函數范圍的目的f x在區間端點和要考慮f x在區間 7,7上函數值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮頂點處的函數值.解：由題意知:f( 1)a b c, f (0)c, f(1)1 .a 2(f(1)f(1)2 f (0), b1 l(f2f(1),c f(0),

13、f (x)ax2bx2f(1)f( 1)一 一2f (0) 1 x2 .1時,f(x) 1,可得f(1)1,1.f(2)f( 2)3f3f3f 03f 03ff( 1)3f(0)7,1| 3f( 1)3f(0)7.(1)若2a2,2上單調，故當x 2,2 時,f(x)max max(f( 2), f(2)此時問題獲證b2a2,2,則當x 2,2時,f(X)maxmax(f( 2), f(2), fb2ab2ab24ab2ab2af f( 1)4此時問題獲證綜上可知：當2 x 2 時，有 7 f (x) 7.鞏固練習1,若不等式(a2)x2+2(a2)x4<0對一切xC R恒成立，則a的取

14、值范圍是()A (-00 ,2 B2,2 C( 2,2 D( 8, 2)2,設二次函數 f(x)=x2x+a(a>0),若 f(m)<0,則 f(m 1)的值為()A正數 B,負數 C非負數D,正數、負數和零都有可能3，已知二次函數 f(x)=4x22(p 2)x2p2p+1,若在區間1, 1內至少存在一個實數c,使f(c)>0,則實數p的取值范圍是.4二次函數f(x)的二次項系數為正，且對任意實數x恒有f(2+x)=f(2 x)，若f(1 2x2)<f(1+2x x2)，則x的取值范圍是參考答案?a 2 01 .斛析：當a2=0即a=2時,不等式為4v 0,恒成立一:a=2,當a 2 w 0時，則a滿足 °，解得2vav2,所以a的范圍是一2vaW2答案C2 .解析。f(x)=x2x+a 的對稱軸為 x=l，且 f(1)>0,則 f(0)>0,而 f(m)0,，mC