1、實用標準文案大全數學與計算科學學院驗報告實驗項目名稱 Eular方法求解一階常微分方程數值解所屬課程名稱偏微分方程數值解實驗類型驗證性實驗日期 2015-3-26班級學號姓名成績一、實驗概述: 【實驗目的】熟練掌握應用顯性Eular法和隱式Eular法求解一般一階常微分方程的近似數 值解。【實驗原理】雖然求解常微分方程有各種各樣的解析方法，但解析方法只能用來求解一些特 殊類型的方程。求解從實際問題當中歸結出來的微分方程主要靠數值解法。歐拉方法是一類重要的數值解法。這類方法回避解y(x)的函數表達式，而是尋求它在一系 列離散節點上的近似值，相鄰的兩個節點的間距稱作步長。假定步長為定數。歐拉方法是

2、一類離散化方法，這類方法將尋求解y(x)的分析問題轉化為計算離 散值值的代數問題，從而使問題獲得了實質性的簡化。然而隨之帶來的困難是，由于數據量往往很大，差分方法所歸結出的可能是個大規模的代數方程組。 【實驗環境】1.硬件環境穌處理器安裝內存(MM);系統超：葦設低插：系統汾丞詢用Intel(R) Core(TM) i3-311OM CPU 240GH? 2.40 GHz4,00 GB (3.85 G3 可用)64位逐f修珠沒有可用于此顯示器的莖或在控墟人2.2.軟件環境Windows 版本Windows 7 揖®!版版院侑 © 2009 Microsoft Corpora

3、tion,保翟所Wt又機Service Pack 1MATLAB7.0二、實驗內容：【實驗過程】(實驗步驟)(一)實驗任務描述某種化學反應過程的方程，利用顯性和隱形Eualar方法求解下列一階線性微分方程組的近似數值解：d%=-0.04yi +10丫2jdy%=0.04yi+l04yiy2-3Ml07y2dy =3-y2 dt.(0)=1, y2(0)=Q y3(0)=0(二)求解過程Eular方法：一階線性微分方程初值問題7= f (x,y),a <x <b <、y(a) = y0a=xo<x1<.<xn=b (1)Xn = Xo nh, h為步長方程離散

4、化：差分和差商yi -yoyi - yOy (xo)：Xi -xohf(xo, yo) =* J0 h yi =y0 +hf (x°,yo)(2)Vn 1 =yn hf(x0,yo)通過初始值yo,依據遞推公式(2)逐步算出yi,y2,., yn就為顯性的Eular方 法。隱形Eular方法:（3）、=y0 +hf（x1，yi）=Jn4t=yn +hf Un由，Yn 十）公式(3)即為隱式Eular公式。(三)程序算法1.利用顯式Eular法方求解利用MATLA進行求解，編寫腳本文件如下:文件名：hql.m% 顯性Eular方法f0=1; g0 =0;z0=0delta=0.01;t

5、ime=1;t=0:delta:time;f=zeros(size(t);g=zeros(size(t);z=zeros(size(t);f1=zeros(size(t);g1=zeros(size(t);z1=zeros(size(t);f(1)=f0;g(1)=g0；z(1)=z0;for i=2:length(t)f1(i-1) = -0.04*f(i-1) + 10000*f(i-1)*g(i-1);f(i)=f(i-1)+f1(i-1)*delta;g1(i-1) = 0.04*f(i-1) - 10000*f(i-1)*g(i-1)-3*10A7*g(i-1)A2;g(i)=g(i

6、-1)+g1(i-1)*delta；z1(i-1)=3*10A7*g(i-1)A2;z(i)=z(i-1)+z(i-1)*delta;Fun=f+g+zendfigureplot(t,f, 'o')；xlabel('t');ylabel('y1');title( 't-y1 變化圖')figureplot(t,g, 'o');xlabel('t');ylabel('y2');title( 't-y2 變化圖')figureplot(t,z, 'o');

7、xlabel('t');ylabel('y3');title( 't-y3 變化圖')figureplot(t,Fun);xlabel('t');ylabel('y1+y2+y3');title( 't-y1+y2+y3 變化圖)【實驗結論】A步長h=0.001時進行數據測試。結果如下:迭代第一次時,l.OOQOe-* 1x101 de0Columns 12 through 22結果與方程描述內容相符。迭代第二次時,Columns I through 111.0000 L 0000E00000.9959結果

8、與方程描述內容基本相符。迭代三次時,Fun -Columns 1 thraugh 11EOOOO k 0000 L 00000.99590.980800八-alColumns 12 through 22結果與方程描述內容基本相符。5-Q5(H)Q也MM也MM-0, D0007, WOO-0.0M03MlNaXFlaNNaNMMTJaNNaffNaJiNaffNaifMM迭代1000次時,Fun =和 3 *Caliums I through i I6 MM D.g 鐘 MMgColumns 12 thraufh 22二工 lfi-55 -InfColiuicas 23 through 33Hm

9、兵 Colujufts 3l through 44模擬結果已經嚴重脫離事實，故當選擇delta為0.001時，該迭代方法不收斂。時間與個變量直接的變化關系如圖所示:從上述圖形可以明顯看出，在迭代的不斷進行時，各變量與時間的變化越來越 大，且嚴重脫離了方程所描述的現實意義。B.當選擇h=0.00000001時，模擬結果如下:迭代第一次,Fun =Columns 1 through IE1100Columns 19 through 350000與A中結果相同。Fun =Colwhns1Columns迭代第二次，1 through 1811019 through 36跌二次迭代結果明顯優于一中。跌三

10、次迭代結果,Fun -Columns值l.OOOOe-A- 1x101 di1"01 de1x1 1 10JColumns1 through 1811 I19 through 36并未產生誤差。地1000次迭代結果,Colums 1 thxouEh 10I.OWl.omLQOQQLOWL MML WQL QMQLMML MQQColuw 11 thrcniEh 20lmmLornl omLornLmolmqqlmq。i , 0000LQggCdliwH 21 thrwili JO構AuomLom Lmolmqq lmw l qoooColiwis. 31 thmugh 40lowI,

11、l GmLornk«w。lwoolmel, coool oooo1shihdt W1 throuih 5Ql.omIRDWJLQQMLDmIL WMQLMQQL(NMI, MMLQQgL QEQCglvims 5：l tkiuEh <501通1.八fiJOJ dJ |311有巾J泰1 mi Jpl 3A dt a 上de V >ft結果明顯是收斂的。時間與個變量直接的變化關系如圖所示:t-y1 +y2+y凌化圖00.10.20.30.40.50,60 70.80.91t乂d從圖中能夠清晰看出，當 h=0.00000001時，模擬結果與方程所表示的顯示意義相吻合。說明了顯性

12、Eualr方法的收斂性是與步長的選擇是相關。這就對我們們選擇步長造成了困難， 由于選擇的步長不合適有可能得出錯誤的結論。【實驗小結】（收獲體會）1、軟件使用在寫MATLABS言的時候要深刻理解題的意圖，整理好思緒再做題目，在我運算 的過程中，h取值取得越小、越細微，曲線逼近的越好。2、歐拉法的缺點簡單地取切線的端點作為下一的起點進行計算，當步數增多時，誤差會因積累 而越來越大。因此歐拉格式一般不用于實際計算。3、實驗感想在這次上機實驗中，我掌握了解決常微分方程的基本方法，同時學會使用計算機 軟件對兩種不同方法得到的結果進行判斷，對我們以后對數據進行分析很有祁助。三、指導教師評語及成績：評語評語

13、等級優良中及 格/、及格1.實驗報告按時完成，字跡清楚，文字敘述流暢，邏輯性強2.實驗方案設計合理3.實驗過程（實驗步驟詳細，記錄完整，數據合理，分析透徹）4實驗結論正確.成績：指導教師簽名： 批閱日期：附錄：源程序程序1:%&Ti Eular 方法f0=1; g0 =0;z0=0delta=0.00000001;time=0.00001;t=0:delta:time;f=zeros(size(t);g=zeros(size(t);z=zeros(size(t);f1=zeros(size(t);g1=zeros(size(t);z1=zeros(size(t);f(1)=f0;g(1

14、)=g0；z(1)=z0;for i=2:length(t)f1(i-1) = -0.04*f(i-1) + 10000*f(i-1)*g(i-1);f(i)=f(i-1)+f1(i-1)*delta;g1(i-1) = 0.04*f(i-1) - 10000*f(i-1)*g(i-1)-3*10A7*g(i-1)A2;g(i)=g(i-1)+g1(i-1)*delta；z1(i-1)=3*10A7*g(i-1)A2;z(i)=z(i-1)+z(i-1)*delta;Fun=f+g+zendfigureplot(t,f, 'o')；xlabel( 't');ylabel( 'y1');title( 't-y1 變化圖)figureplot(t,g, 'o')；xlabel( 't');ylabel( '