1、實驗五 利用MATLAB繪制系統根軌跡一、實驗目的（1）熟練掌握使用MATLAB繪制控制系統零極點圖和根軌跡圖的方法；（2）熟練使用根軌跡設計工具SISO；（2）學會分析控制系統根軌跡的一般規律；（3）利用根軌跡圖進行系統性能分析；（4）研究閉環零、極點對系統性能的影響。二、實驗原理及內容1、根軌跡與穩定性當系統開環增益從變化時，若根軌跡不會越過虛軸進入s右半平面，那么系統對所有的K值都是穩定的；若根軌跡越過虛軸進入s右半平面，那么根軌跡與虛軸交點處的K值，就是臨界開環增益。應用根軌跡法，可以迅速確定系統在某一開環增益或某一參數下的閉環零、極點位置，從而得到相應的閉環傳遞函數。2、根軌跡與系統

2、性能的定性分析1）穩定性。如果閉環極點全部位于s左半平面，則系統一定是穩定的，即穩定性只與閉環極點的位置有關，而與閉環零點位置無關。2）運動形式。如果閉環系統無零點，且閉環極點為實數極點，則時間響應一定是單調的；如果閉環極點均為復數極點，則時間響應一般是振蕩的。3）超調量。超調量主要取決于閉環復數主導極點的衰減率，并與其它閉環零、極點接近坐標原點的程度有關。4）調節時間。調節時間主要取決于最靠近虛軸的閉環復數極點的實部絕對值；如果實數極點距虛軸最近，并且它附近沒有實數零點，則調節時間主要取決于該實數極點的模值。5）實數零、極點影響。零點減小閉環系統的阻尼，從而使系統的峰值時間提前，超調量增大；

3、極點增大閉環系統的阻尼，使系統的峰值時間滯后，超調量減小。而且這種影響將其接近坐標原點的程度而加強。假設閉環系統中的開環傳遞函數可以表示為： 則閉環特征方程為：特征方程的根隨參數K的變化而變化，即為閉環根軌跡。控制系統工具箱中提供了rlocus()函數，可以用來繪制給定系統的根軌跡，它的調用格式有以下幾種： rlocus(num，den) rlocus(num，den，K) 或者 rlocus(G) rlocus(G，K)以上給定命令可以在屏幕上畫出根軌跡圖，其中G為開環系統G0(s)的對象模型，K為用戶自己選擇的增益向量。如果用戶不給出K向量，則該命令函數會自動選擇K向量。如果在函數調用中需

4、要返回參數，則調用格式將引入左端變量。如R，K=rlocus(G)此時屏幕上不顯示圖形，而生成變量R和K。R為根軌跡各分支線上的點構成的復數矩陣，K向量的每一個元素對應于R矩陣中的一行。若需要畫出根軌跡，則需要采用以下命令：plot(R， )plot()函數里引號內的部分用于選擇所繪制曲線的類型，詳細內容1.4.8節中plot函數的option選項描述表。控制系統工具箱中還有一個rlocfind()函數，該函數允許用戶求取根軌跡上指定點處的開環增益值，并將該增益下所有的閉環極點顯示出來。其調用格式為：K，P=rlocfind(G)函數運行后，圖形窗口中會出現要求用戶使用鼠標定位的提示，用戶可以

5、用鼠標左鍵點擊所關心的根軌跡上的點。這樣將返回一個K變量，該變量為所選擇點對應的開環增益，同時返回的P變量則為該增益下所有的閉環極點位置。此外，該函數還將自動地將該增益下所有的閉環極點直接在根軌跡曲線上顯示出來。【范例5-1】已知系統的開環傳遞函數模型：，繪制控制系統的根軌跡圖，并分析根軌跡的一般規律。利用下面的MATLAB命令可容易地驗證出系統的根軌跡如圖5-1所示。>> G=tf(1,conv(1,1,1,2),0); rlocus(G); grid title(¹Root_Locus Plot of G(s)=K/s(s+1)(s+2)¹) xlabel(

6、¹Real Axis¹)% 給圖形中的橫坐標命名。 ylabel(¹Imag Axis¹) % 給圖形中的縱坐標命名。 K,P=rlocfind(G)【思考】要想使此閉環系統穩定，如何確定其增益范圍。【解答】用鼠標點擊根軌跡上與虛軸相交的點，在命令窗口中可發現如下結果select_point=0.0000+1.3921i K=5.8142 p=-2.29830-0.0085+1.3961i所以，系統穩定的增益范圍為0<K<5.81。圖5-1 系統的根軌跡根據控制系統的根軌跡，可以分析控制系統的性能。參數根軌跡反映了閉環根與開環增益K的關系。我

7、們可以編寫下面的程序，通過K的變化，觀察對應根處階躍響應的變化。考慮K=0.1,0.2,1,2,5,這些增益下閉環系統的階躍響應曲線。可由以下MATLAB命令得到。>> hold off;% 擦掉圖形窗口中原有的曲線。t=0:0.2:15; Y= ; for K=0.1:0.1:1,2:5GK=feedback(K*G,1);y=step(GK,t);Y=Y,y; endplot(t,Y)對于for循環語句，循環次數由K給出。系統畫出的圖形如圖5-2所示。可以看出，當K的值增加時，一對主導極點起作用，且響應速度變快。一旦K接近臨界K值，振蕩加劇，性能變壞。圖5-2不同K值下的階躍響

8、應曲線【自我實踐5-1】在實驗內容（2）中控制系統的根軌跡上分區段取點，構造閉環系統傳遞函數，分別繪制其對應系統的階躍響應曲線，并比較分析。將數據填入實驗數據記錄表中。阻尼比閉環極點p開環增益K自然頻率wn超調量s%調節時間tsx=0x=0.25x=0.7x=1x=1.23、基于SISO設計工具的系統根軌跡設計用根軌跡法進行系統校正過程中，分析補償增益和附加實數（或復數）零極點之間匹配的規律。在MATLAB命令窗口中輸入命令【rltool】，然后回車，或者輸入【rltool（sys）】函數命令，就可打開系統根軌跡的圖形界面。【范例5-2】已知系統開環傳遞函數，試用根軌跡設計器對系統進行補償設計

9、，使系統單位階躍給定響應一次超調后就衰減；并在根軌跡設計器中觀察根軌跡圖與Bode圖，以及系統階躍給定響應曲線。Step1：編寫Matlab程序，調用rltool( )；Step2：在根軌跡補償校正器編輯器中，設計相應的增益和零極點；Step3：在新根軌跡圖的主菜單中選擇”analysis”下的各命令，觀察相應的曲線。【范例5-3】已知系統開環傳遞函數，要求用根軌跡法設計超前校正裝置Gc1，要求Kv>20，希望該單位負反饋系統的時域性能指標s%<15%, ts<1.5s。【綜合實踐】繪制180°根軌跡。請繪制： （1）；（2）；（3）的根軌跡，其中T1=0.2，T2

10、=2，a=0.1，p=1，分析附加零點、極點對根軌跡的影響；固定T值，分別改變a和p的值看附加零、極點位置的變化對根軌跡形狀的影響。將結果填入下表。傳遞函數根軌跡圖零、極點分布的影響分析【綜合實踐】0°根軌跡的繪制及參量分析。分別繪制（1）；（2）的0°根軌跡，比較其與180°根軌跡不同。其中T1=0.2，T2=2，a=0.1，p=1。對于上面的180°和0°根軌跡，求系統臨界穩定時的Kg值，求Kg=5時系統極點的位置（在根軌跡上的小紅塊上點擊鼠標右鍵顯示極點坐標值，該小紅塊可以用鼠標拖動）；分析此時系統的階躍動態響應和Bode圖。臨界穩定Kg

11、值Kg=5時閉環系統零極點階躍響應曲線分析說明(與180°根軌跡比較)0°根軌跡（注：Kg可取其它值，再求出對應的閉環零、極點響應曲線）三、思考題1) 附加開環零點總對系統的穩定性是否有利？2) 附加開環極點總對系統的穩定性是否不利？3) 對實際系統，如何通過附加零點和極點來改善系統性能？舉例說明。4) 如何繪制系統等效根軌跡？四、實驗能力要求（1）熟練掌握使用MATLAB繪制控制系統零極點圖和根軌跡圖的方法。（2）通過根軌跡圖能夠確定有用的參數，比如：分離點坐標及相應參數、臨界開環增益點及相應參數、任意一點對應的開環增益K值和閉環極點。（3）利用根軌跡圖進行系統性能分析，

12、以阻尼比為依據分區段比較不同閉環極點對應系統性能的變化。能夠確定系統穩定的開環增益范圍。（4）了解閉環零、極點對系統性能的影響。（5）學會使用根軌跡設計工具校驗系統的動態性能和穩態性能。實驗六 線性系統的頻域分析一. 實驗目的（1）熟練掌握使用MATLAB命令繪制控制系統Nyquist圖的方法；（2）能夠分析控制系統Nyquist圖的基本規律；（3）加深理解控制系統乃奎斯特穩定性判據的實際應用；（4）學會利用奈氏圖設計控制系統；（5）熟練掌握運用MATLAB命令繪制控制系統伯德圖的方法；（6）了解系統伯德圖的一般規律及其頻域指標的獲取方法；（7）熟練掌握運用伯德圖分析控制系統穩定性的方法；（8

13、）設計超前校正環節并繪制Bode圖；（9）設計滯后校正環節并繪制Bode圖。二. 實驗原理及內容1、頻率特性函數。設線性系統傳遞函數為：則頻率特性函數為：由下面的MATLAB語句可直接求出G(jw)。i=sqrt(-1)%求取-1的平方根GW=polyval(num，i*w)./polyval(den，i*w)其中（num，den）為系統的傳遞函數模型。而w為頻率點構成的向量，點右除（./）運算符表示操作元素點對點的運算。從數值運算的角度來看，上述算法在系統的極點附近精度不會很理想，甚至出現無窮大值，運算結果是一系列復數返回到變量GW中。2、用MATLAB作奈魁斯特圖。控制系統工具箱中提供了一

14、個MATLAB函數nyquist( )，該函數可以用來直接求解Nyquist陣列或繪制奈氏圖。當命令中不包含左端返回變量時，nyquist（）函數僅在屏幕上產生奈氏圖，命令調用格式為：nyquist(num,den) ; 作Nyquist圖， nyquist(num,den,w); 作開環系統的奈氏曲線，角頻率向量的范圍可以人工給定。為對數等分，用對數等分函數logspace ( ) 完成，其調用格式為：logspace（d1，d2，n），表示將變量作對數等分，命令中d1，d2為10 d1 10 d2之間的變量范圍，n為等分點數。或者nyquist(G) ;畫出下列開環系統傳遞函數的奈氏曲線：

15、 ，角頻率向量的范圍自動設定，默認的范圍為（，）。nyquist(G,w); w包含了要分析的以弧度/秒表示的諸頻率點，在這些頻率點上，將對系統的頻率響應進行計算，若沒有指定的w向量，則該函數自動選擇頻率向量進行計算。當命令中包含了左端的返回變量時，即：re,im,w=nyquist(G) 或 re,im,w=nyquist(G,w) 函數運行后不在屏幕上產生圖形，而是將計算結果返回到矩陣re、im和w中。矩陣re和im分別表示頻率響應的實部和虛部，它們都是由向量w中指定的頻率點計算得到的。在運行結果中，w數列的每一個值分別對應re、im數列的每一個值。【范例6-1】考慮二階典型環節：，試利用

16、MATLAB畫出奈氏圖。利用下面的命令，可以得出系統的奈氏圖，如圖6-1所示。 >> num=0,0,1;den=1,0.8,1;nyquist(num,den)% 設置坐標顯示范圍v=-2,2,-2,2;axis(v)grid圖6-1 二階環節奈氏圖title(Nyquist Plot of G(s)=1/(s2+0.8s+1) )3、奈奎斯特穩定性判據（又稱奈氏判據）反饋控制系統穩定的充分必要條件是當從-變到時，開環系統的奈氏曲線不穿過點（-1，j0）且逆時針包圍臨界點（-1，j0）點的圈數R等于開環傳遞函數的正實部極點數。【范例6-2】已知，繪制Nyquist圖，判定系統的穩

17、定性。通過求其特征方程的根roots ( ) 函數求得【分析】由于系統奈氏曲線沒有包圍且遠離（-1，j 0）點，且p=0，因此系統閉環穩定。4、用MATLAB作伯德圖控制系統工具箱里提供的bode()函數可以直接求取、繪制給定線性系統的伯德圖。當命令不包含左端返回變量時，函數運行后會在屏幕上直接畫出伯德圖。如果命令表達式的左端含有返回變量，bode()函數計算出的幅值和相角將返回到相應的矩陣中，這時屏幕上不顯示頻率響應圖。命令的調用格式為： mag,phase,w=bode(num,den) mag,phase,w=bode(num,den,w)或 mag,phase,w=bode(G) ma

18、g,phase,w=bode(G,w)矩陣mag、phase包含系統頻率響應的幅值和相角，這些幅值和相角是在用戶指定的頻率點上計算得到的。用戶如果不指定頻率w,MATLAB會自動產生w向量，并根據w向量上各點計算幅值和相角。這時的相角是以度來表示的，幅值為增益值，在畫伯德圖時要轉換成分貝值，因為分貝是作幅頻圖時常用單位。可以由以下命令把幅值轉變成分貝：magdb=20log10(mag)繪圖時的橫坐標是以對數分度的。為了指定頻率的范圍，可采用以下命令格式：logspace(d1，d2) 或logspace(d1，d2，n)第一種格式是在指定頻率范圍內按對數距離分成50等分的，即在兩個十進制數和

19、之間產生一個由50個點組成的分量，向量中的點數50是一個默認值。例如要在弧度/秒與弧度/秒之間的頻區畫伯德圖，則輸入命令時，,在此頻區自動按對數距離等分成50個頻率點，返回到工作空間中，即w=logspace(-1，2)要對計算點數進行人工設定，則采用第二種格式。例如，要在與之間產生100個對數等分點，可輸入以下命令：w=logspace(0，3，100)在畫伯德圖時，利用以上各式產生的頻率向量w，可以很方便地畫出希望頻率的伯德圖。由于伯德圖是半對數坐標圖且幅頻圖和相頻圖要同時在一個繪圖窗口中繪制，因此，要用到半對數坐標繪圖函數和子圖命令。（1） 對數坐標繪圖函數利用工作空間中的向量x，y繪圖

20、，要調用plot函數，若要繪制對數或半對數坐標圖，只需要用相應函數名取代plot即可，其余參數應用與plot完全一致。命令公式有：semilogx(x，y，s); 只對x軸進行對數變換，y軸仍為線性坐標。semilogy(x，y，s); y軸取對數變換的半對數坐標圖。Loglog(x，y，s); 全對數坐標圖，即x軸和y 軸均取對數變換。（2） 子圖命令MATLAB允許將一個圖形窗口分成多個子窗口，分別顯示多個圖形，這就要用到subplot()函數，其調用格式為：subplot(m，n，k)該函數將把一個圖形窗口分割成m×n個子繪圖區域，m為行數，n為列數，用戶可以通過參數k調用各子

21、繪圖區域進行操作，子圖區域編號為按行從左至右編號。對一個子圖進行的圖形設置不會影響到其它子圖，而且允許各子圖具有不同的坐標系。例如，subplot(4，3，6)則表示將窗口分割成4×3個部分。在第6部分上繪制圖形。 MATLAB最多允許9×9的分割。【范例6-3】給定單位負反饋系統的開環傳遞函數為：，試畫出伯德圖。利用以下MATLAB程序，可以直接在屏幕上繪出伯德圖如圖6-2。>> num=10*1,1;den=1,7,0;bode(num,den)gridtitle(Bode Diagram of G(s)=10*(s+1)/s(s+7) )該程序繪圖時的頻率

22、范圍是自動確定的，從0.01弧度/秒到30弧度/秒，且幅值取分貝值，軸取對數，圖形分成2個子圖，均是自動完成的。圖6-2自動產生頻率點畫出的伯德圖如果希望顯示的頻率范圍窄一點，則程序修改為：>> num=10*1,1;den=1,7,0;w=logspace(-1,2,50); % 從0.1至100，取50個點。mag, phase, w=bode(num, den, w);magdB=20*log10(mag) % 增益值轉化為分貝值。% 第一個圖畫伯德圖幅頻部分。subplot(2,1,1);semilogx(w,magdB, -r) % 用紅線畫gridtitle(Bode

23、Diagram of G(s)= 10*(s+1)/s(s+7) )xlabel(¹Frequency(rad/s)¹)ylabel(¹Gain(dB)¹)% 第二個圖畫伯德圖相頻部分。subplot(2,1,2); semilogx(w,phase, ¹-r¹); gridxlabel(¹Frequency(rad/s)¹)ylabel(Phase(deg) ) 圖6-3 用戶指定的頻率點畫出的伯德圖修改程序后畫出的伯德圖如6-3所示。【范例6-4】已知控制系統開環傳遞函數：，繪制其Bode圖并確定諧振峰值Mr和

24、諧振頻率wr。繪制Bode圖（略），插值函數spline(m, w, mr)求諧振頻率5、 用MATLEB求取穩定裕量同前面介紹的求時域響應性能指標類似，由MATLAB里bode()函數繪制的伯德圖也可以采用游動鼠標法求取系統的幅值裕量和相位裕量。 此外，控制系統工具箱中提供了margin()函數來求取給定線性系統幅值裕量和相位裕量，該函數可以由下面格式來調用：margin（num , den）;給定開環系統的數學模型，作Bode圖，并在圖上方標注幅值裕度Gm和對應頻率g，相位裕度Pm和對應的頻率c。Gm, Pm, Wcg, Wcp=margin(G);可以看出，幅值裕量與相位裕量可以由LTI

25、對象G求出，返回的變量對（Gm, Wcg）為幅值裕量的值與相應的相角穿越頻率，而（Pm, Wcp）則為相位裕量的值與相應的幅值穿越頻率。若得出的裕量為無窮大，則其值為Inf，這時相應的頻率值為NaN(表示非數值)，Inf和NaN均為MATLAB軟件保留的常數。如果已知系統的頻率響應數據，我們還可以由下面的格式調用此函數。Gm, Pm, Wcg, Wcp=margin(mag, phase, w);其中(mag, phase, w)分別為頻率響應的幅值、相位與頻率向量。【范例6-5】 已知三階系統開環傳遞函數為：，利用下面的MATLAB程序，畫出系統的奈氏圖，求出相應的幅值裕量和相位裕量，并求出

26、閉環單位階躍響應曲線。>> G=tf(3.5,1,2,3,2);subplot(1,2,1);% 第一個圖為奈氏圖nyquist(G);gridxlabel('Real Axis')ylabel('Imag Axis')% 第二個圖為時域響應圖Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G)G_c=feedback(G,1);subplot(1,2,2);step(G_c)gridxlabel(Time(secs) )ylabel(Amplitude) 顯示結果為：ans=1.1429 1.1578 1.7321 1.6542圖6-4三階系統的奈氏圖和

27、階躍響應圖畫出的圖形如圖6-4 所示。由奈氏曲線可以看出，奈氏曲線并不包圍（-1，j0）點，故閉環系統是穩定的。由于幅值裕量雖然大于1，但很接近1，故奈氏曲線與實軸的交點離臨界點（-1，j0）很近，且相位裕量也只有7.1578o，所以系統盡管穩定，但其性能不會太好。觀察閉環階躍響應圖，可以看到波形有較強的振蕩。如果系統的相角裕量>45o,我們一般稱該系統有較好的相角裕量。【范例6-6】考慮一個新的系統模型，開環傳遞函數為：，由下面MATLAB語句可直接求出系統的幅值裕量和相位裕量:>> G=tf(100*conv(1,5,1,5), conv(1,1,1,1,9);Gm, P

28、m, Wcg, Wcp=margin(G)結果顯示 Gm =Pm = Inf85.4365Wcg =Wcp =NaN100.3285再輸入命令>> G_c=feedback(G,1); step(G_c)gridxlalel(Time(sec) )ylalel(Amplitude)圖6-5較理想的系統響應可以看出，該系統有無窮大幅值裕量，且相角裕量高達85.4365o。所以系統的閉環響應是較理想的，閉環響應圖如圖6-5。【自我實踐6-1】某單位負反饋系統的開環傳遞函數，求(1) 當k=4時，計算系統的增益裕度，相位裕度，在Bode圖上標注低頻段斜率，高頻段斜率及低頻段、高頻段的漸近

29、相位角。(2) 如果希望增益裕度為16dB，求出響應的k值，并驗證6、系統對數頻率穩定性分析【自我實踐6-2】系統開環傳遞函數，試分析系統的穩定性。【自我實踐6-3】某單位負反饋系統的開環傳遞函數，求(1)繪制Bode圖，在幅頻特性曲線上標出低頻段斜率、高頻段斜率、開環截止頻率和中頻段穿越頻率；在幅頻特性曲線標出：低頻段漸近相位角、高頻段漸近相位角和-180°線的穿越頻率。(2)計算系統的相位裕度g和幅值裕度h，并確定系統的穩定性【自我實踐6-4】某單位負反饋系統的開環傳遞函數，令k=1作bode圖，應用頻域穩定判據確定系統的穩定性，并確定使系統獲得最大相位裕度的增益k值。7、時間延

30、遲系統的頻域響應(1) 時間延遲系統的傳遞函數模型帶有延遲環節e-Ts的系統不具有有理函數的標準形式，在MATLAB中，建立這類系統的模型。要由一個屬性設置函數set()來實現。該函數的調用格式為：set(H, 屬性名, 屬性值) ;其中H為圖形元素的句柄（handle）。在MATLAB中，當對圖形元素作進一步操作時，只需對該句柄進行操作即可。例如以下調用格式h=plot(x,y) ;plot()函數將返回一個句柄hG=tf(num,den) ;tf()函數返回一個句柄G要想改變句柄h所對應曲線的顏色，則可以調用下面命令：set(h,color,1,0,0) ;對“color”參數進行賦值，將曲線變成紅色（