1、 考點29 導數的應用1.（2010·全國高考卷文科·7）若曲線在點處的切線方程是，則（ ）（A） (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查了導數的幾何意義和曲線的切線方程知識。【思路點撥】由題意知，曲線在點處的切線的斜率為1，根據導數的幾何意義得y在x=0處的導數為1，再把（0，b）代入切線方程可以解出a 、b的值。【規范解答】 選A，, 在點處的切線方程是。斜率為1，所以,所以.2.（2010·全國高考卷理科·10）若曲線在點處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18，則（ ）（A）64 （B）32 （C）16 （D）8【命題立意】本題主要考查了

2、導數的幾何意義，曲線的切線方程求法，考查考生的運算求解能力【思路點撥】先求出切線方程，然后表示出切線與兩個坐標圍成的三角形的面積。【規范解答】選A，所以曲線在點處的切線： 所以， 【方法技巧】利用導數解決切線問題有兩種類型：（1）“在”曲線上一點處的切線問題，先對函數求導，代入點的橫坐標得到斜率。（2）“過”曲線上一點的切線問題，此時該點未必是切點，故應先設切點，再求切點坐標。3.（2010·江西高考文科·1）設函數.（1）若的兩個極值點為，且，求實數的值；（2）是否存在實數，使得是上的單調函數？若存在,求出的值；若不存在，說明理由.【命題立意】本題主要考查導數的應用，利用

3、導數研究函數的單調性與最值等基礎知識，考查運算能力及用函數思想分析解決問題的能力。【思路點撥】（1）先求導數，再借助于韋達定理建立方程求字母的值；（2）先求導數，再判導函數在上符合是否恒定.【規范解答】（1）由已知有，從而，所以；（2）由，所以不存在實數，使得是上的單調函數.4.（2010·江西高考理科·）設函數（1）當時，求的單調區間；（2）若在上的最大值為，求的值 【命題立意】本題主要考查導數的應用，利用導數研究函數的單調性與最值等基礎知識，考查運算能力及用函數思想分析解決問題的能力。【思路點撥】（1）確定定義域，再求函數的導數，利用導數正負求函數的單調區間；（2）先求

4、導，判斷其正負，找最值，最后求字母的值 【規范解答】函數的定義域為（0，2），（1）當時，所以的單調遞增區間為（0，），單調遞減區間為（，2）；（2）當時， >0,即在上單調遞增，故在上的最大值為因此5.（2010·重慶高考文科·19）已知函數 （其中常數R），是奇函數.（1）求的表達式；（2）討論的單調性，并求在區間上的最大值與最小值.【命題立意】本小題考查函數、奇函數的基礎知識，考查函數的導數的基礎知識，考查函數的單調性的判斷方法，最值的求法，考查運算求解的能力，考查函數、方程的思想【思路點撥】（1）先求出導函數，再求出,利用奇函數的定義求出待定系數；（2）利用導

5、數的正負來判斷函數的單調性，并根據單調性求函數的值域.【規范解答】（1）因為 ，所以，所以，因為是奇函數，所以，即對任意的都有，即對任意都成立，所以且，所以,所以.（2）由（1）可得，所以,令，則或；所以當時，函數是減函數；當時，函數是增函數；當時，函數是減函數；綜上可知，函數在區間和上是減函數，在區間上是增函數.函數在區間1，2內有極值點，所以函數的最大值與最小值只能在三點處取得，因為，所以函數的最大值是，最小值是.6.（2010·重慶高考理科·8）已知函數其中實數（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在x=1處取得極值，試討論的單調性。【命題立意】本題考查曲線的切線

6、方程的求法，考查用函數的導數求極值的方法，判斷函數的單調性的方法，考查分類討論的思想方法.【思路點撥】（1）先由函數的導數求出切線的斜率，再由點斜式求切線方程；（2）由函數的極值求法求出的值，再根據導數的正負討論函數的單調性.【規范解答】因為所以；（1）當時，又因為，所以曲線在點處的切線方程是，即；（2）因為，所以，又因為在處取得極值，所以，即，解得，所以，其定義域是，且，令，則，所以當或時，；當，且時，；所以由以上討論可知，函數 在區間上是增函數；在區間，上是減函數.【方法技巧】本小題采用先總后分的解答格式，即先求出導函數，再分別求解兩問. 7.（2010·全國高考卷文科·

7、;21） 已知函數f（x）=x-3ax+3x+1。（）設a=2，求f（x）的單調區間；（）設f（x）在區間（2,3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍。【命題立意】本題考查了導數的單調性、極值等知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想。 【思路點撥】代入a=2，由f（x）求導，由第二問可利用數形結合方法轉化為注意根據單調性對a分類討論。 【規范解答】（）當時， 當x當x當x綜上，f（x）的單調增區間是，f（x）的單調減區間是（）當當由題意知，.3545,312,31222<<<-+<<-<aaaaa解得：或因此a的取值范圍是8.

8、（2010·全國高考卷理科·22）設函數（）證明：當時，；（）設當時，求a的取值范圍【命題立意】本題考查了導數的單調性、極值等知識，結合不等式考查推理論證能力、運算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉化思想。【思路點撥】（）可以構造函數，利用導數單調性，求當時的最值證明不等式成立，（）可結合（）的結論和方法證明，要注意對a分類討論.【規范解答】（）當時，當且僅當 令 ， 則當時， 是增函數； 當時，是減函數；于是g(x)在x=0處達到最小值，因而當時，即所以當x>-1時，（）由題設 ，此時當a<0時，若，則 不成立；當a0時， 令 h(x)=axf(x)+f(x

9、)-x ，則.當且僅當當時，由（）知=(2a-1)f(x)h(x)在是減函數，即當a>時，由知x當時，所以h(x)>h(0)=0，即綜上，a的取值范圍是0,.9.（2010·湖北高考文科·21）設函數，其中0，曲線在點處的切線方程為=1（）確定b、c的值（）設曲線在點（）及（）處的切線都過點（0,2）證明：當時，（）若過點（0,2）可作曲線的三條不同切線，求的取值范圍。【命題立意】本題主要考查導數的幾何意義、函數的單調性、極值、反證法等，同時考查考生綜合應用數學知識進行推理論證的能力【思路點撥】（）利用導數的幾何意義和切點的雙重性即可求出，的值。（）用反證法進行

10、論證。（）利用切點的雙重性將過點（0,2）可作曲線的三條不同切線轉化為方程有三個不同的實根，然后利用函數的單調性、極值加以解決。【規范解答】（）由題意得：，由切點既在曲線上又在切線=1上知，故。（）由，則曲線在處的切線方程為:,由點（0,2）在切線上，故化簡得:。下面用反證法證明結論。假設，因曲線在點（）及（）處的切線都過點（0,2），則，由（3）得，由（1）（2）得,由（4）得，從而，所以=0，即。與題設矛盾，所以假設錯誤，從而。（）由（）知過點（0,2）可作曲線的三條不同切線，等價于方程有三個不同的實根。設，則。由0知的值變化時，的變化情況如下表：0+00+增極大值1減極小值增由得單調性知

11、：要使有三個不同的實根，當且僅當<0即。所以的取值范圍是。【方法技巧】1、可導函數求“在”某點的切線時，切線的斜率就是函數在該點處導數的值；求“過”某點的切線時，該點不一定是切點，此時可設切點為，利用函數在點處導數的值及已知點可得到過已知點切點為的切線方程，由切點既在切線上又在曲線上（簡稱：切點的雙重性）則可求出點坐標，從而求出“過”某點的切線。2、過點可作曲線的幾條不同切線（設切點為）等價于方程有幾個不同的實根。3、已知方程有幾個不同的實根求參數的范圍問題可轉化為曲線與軸有幾個不同的交點，然后利用函數的單調性和極值進行解答。10.（2010·湖北高考理科·21）已知

12、函數f()= (0)的圖象在點（1,f(1)）處的切線方程為.()用表示出b,c;()若f()在1,上恒成立，求的取值范圍；()證明：1+(n+1)+)(n1).【命題立意】本題主要考查函數、導數、不等式的證明等基礎知識，同時考查考生綜合運用數學知識進行推理論證的能力和分類討論的思想。【思路點撥】()利用導數的幾何意義和切點的雙重性找出，的關系。 () f()在1,上恒成立在1,上恒成立()利用()的結論得時，令，采用累加的辦法即可證（或利用數學歸納法加以證明）。【規范解答】()，由題意有:解得：。()由()知： f()=，令=，則，（）當時，。若，則，為減函數，所以，即，從而在上不恒成立。（

13、）當時，若，則，是增函數，所以，即，故當時，。綜上所述，所求的取值范圍為。()方法一：由()知：當時，令，有，且當時，令，則有，即：，。將上述個不等式相加得，整理得：方法二：用數學歸納法證明如下：（1） 當時，左邊，右邊，不等式成立。（2） 假設時，不等式成立，就是：，那么當時=由()知：當時，令，有，令，得=，即當時，不等式成立。根據（1）和（2）可知不等式對任何都成立。【方法技巧】1、可導函數求“在”某點的切線時，切線的斜率就是函數在該點處導數的值；求“過”某點的切線時，該點不一定是切點，此時可設切點為，利用函數在點處導數的值及已知點可得到過已知點切點為的切線方程，由切點既在切線上又在曲線

14、上（簡稱：切點的雙重性）則可求出點坐標，從而求出求“過”某點的切線。2、不等式在某區間恒成立或有解問題，一般都可通過構造函數轉化為求相應函數的最值問題。3、證明較復雜的與正整數有關的不等式問題，通常也可通過構造函數，利用函數的單調性和極值（最值），轉化為求相應函數的最值大于（小于）零的問題。11.（2010·四川高考文科·22）設（且），是的反函數.（I）求；（II）當時，恒有成立，求的取值范圍；（III）當時，試比較 與的大小，并說明理由.【命題立意】本題考查函數、反函數、不等式、導數及其應用等基礎知識，考查化歸、分類整合、構造函數等數學思想，以及推理論證，分析與解決問題

15、的能力.【思路點撥】（I）先求原函數的值域，即反函數的定義域，再反解. （II）根據對數函數的性質，首先去掉對數的底數，因與的大小不定，故需要分，進行討論. 時，可得，恒成立；時，可得，恒成立.若令，便可利用導數求函數在閉區間上的最值.求出的取值范圍。（III）比較 與的大小，首先建立和的關系，但很難建立關系，故需要轉換，考慮到，即，故可以設，則便可根據題目的目標和二項式定理進行放縮了.【規范解答】（I）由題意，得，或，故，（II）， 當時，又，令，列表如下極大值由表可知，. 當， 又，由知的最大值為，.綜上，當時，；當時，.（III）設，則，當時，.當時，設，則，從而。，綜上.12.(2010·四川高考理科·22）設（且），是的反函數.（）設關于的方程在區間上有實數解，求的取值范圍；（）當（為自然對數的底數）時，證明：；（）當時，試比較與的大小，并說明理由.【命題立意】本題主要考查函數、反函數、方程、不等式、導數及其應用等基礎知識，考查轉化和化歸思想、函數與方程思想解決不等式問題，分類整合等數學思想方法、以及推理論證、分析與解決問題的能力.【思路點撥】（I）首先由反函數概念求出的解析式，然后化簡整理方程可得在區間上有實數解，即直線和曲線在區間上有公共點，轉為為求一元三次函數在上的最值問題，三次函數常用導數求解.（II）先求出，不