1、4.2解析幾何- 圓錐曲線的概念及性質一、選擇題1(2010·安徽)雙曲線方程為x22y21，則它的右焦點坐標為 ()A. B. C. D(，0)解析：原方程可化為1，a21，b2，c2a2b2，右焦點為.答案：C2(2010·天津)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是yx，它的一個焦點在拋物線y224x的準線上，則雙曲線的方程為 ()A.1 B.1C.1 D.1解析：漸近線方程是yx，.雙曲線的一個焦點在y224x的準線上，c6.又c2a2b2，由知，a29，b227，此雙曲線方程為1.答案：B4(2010·遼寧)設拋物線y28x的焦點為

2、F，準線為l，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足如果直線AF的斜率為，那么|PF| ()A4 B8 C8 D16解析：解法一：AF直線方程為：y(x2)，當x2時，y4，A(2,4)當y4時代入y28x中，x6，P(6,4)，|PF|PA|6(2)8.故選B.解法二：PAl，PAx軸又AFO60°，FAP60°，又由拋物線定義知PAPF，PAF為等邊三角形又在RtAFF中，FF4，FA8，PA8.故選B.答案：B5高8 m和4 m的兩根旗桿筆直豎在水平地面上，且相距10 m，則地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡為 ()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線解析：如圖1，假設A

3、B、CD分別為高4 m、8 m的旗桿，P點為地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點，由于BPADPC，則RtABPRtCDP，從而PC2PA.在平面APC上，以AC為x軸，AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系(圖2)，則A(5,0)，C(5,0)，設P(x，y)，得2化簡得x2y2x250，顯然，P點的軌跡為圓答案：A二、填空題解析：由題知，垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓，則c<bc2<b2a2c2e2<，又e(0,1)，所以e.答案：7(2010·浙江)設拋物線y22px(p>0)的焦點為F，點A(0，2)若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準線的距離為_解

4、析：F，則B，2p×1，解得p.B，因此B到該拋物線的準線的距離為.答案：8(2010·北京)已知雙曲線1的離心率為2，焦點與橢圓1的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為_；漸近線方程為_解析：橢圓1的焦點為(±4,0)，雙曲線的焦點坐標為(±4,0)，c4，2，c2a2b2，a2，b212，雙曲線方程為1，漸近線方程為y±x±x，即x±y0.答案：(±4,0)x±y0即xD，由橢圓的第二定義得|FD|ea.又由|BF|2|FD|，得a2a，整理得a23c2，即e2，解得e.答案：三、解答題10已知P點在以坐

5、標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為和，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求此橢圓的方程解：解法一：設橢圓的標準方程是1(a>b>0)或1(a>b>0)，兩個焦點分別為F1、F2，則由題意，知2a|PF1|PF2|2，a.在方程1中，令x±c，得|y|.在方程1中，令y±c，得|x|.依題意知，b2.即橢圓的方程為1或1.解法二：設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，則|PF1|，|PF2|.由橢圓的定義，知2a|PF1|PF2|2，即a.由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于長軸故在RtPF2F1中，4c2|PF1|2|PF2|2

6、，c2，于是b2a2c2.又所求的橢圓的焦點可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為1或1.11(2010·湖北)已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y軸距離的差都是1.(1)求曲線C的方程；(2)是否存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A、B的任一直線，都有·<0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由解：(1)設P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足x1(x>0)，化簡得y24x(x>0)(2)設過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x

7、2，y2)設l的方程為xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)>0，于是 又(x11，y1)，(x21，y2)，·<0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2<0. 又x，于是不等式等價于·y1y21<0y1y2(y1y2)22y1y21<0， 由式，不等式等價于m26m1<4t2， 對任意實數t,4t2的最小值為0，所以不等式對于一切t成立等價于m26m1<0，即32<m<32.由此可知，存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有·<0，且m的取值

8、范圍是(32，32)12(2009·陜西，21)已知雙曲線C的方程為1(a>0，b>0)，離心率e，頂點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線C的方程；(2)如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限.若，求AOB面積的取值范圍解：解法一：(1)由題意知，雙曲線C的頂點(0，a)到漸近線axby0的距離為，即.由得雙曲線C的方程為x21.(2)由(1)知雙曲線C的兩條漸近線方程為y±2x.設A(m,2m)，B(n,2n)，m>0，n>0.由得P點的坐標為，將P點坐標代入x21，化簡得mn，設AOB2，tan2，ta

9、n ，sin 2.又|OA|m，|OB|n，SAOB|OA|·|OB|·sin 22mn1.記S()1，則S().由S()0得1，又S(1)2，S，S(2)，當1時，AOB的面積取得最小值2，當時，AOB的面積取得最大值.AOB面積的取值范圍是.解法二：(1)同解法一(2)設直線AB的方程為ykxm，由題意知|k|<2，m>0.由得A點的坐標為，由，得B點的坐標為.由=得P點的坐標為，將P點坐標代入x21得.設Q為直線AB與y軸的交點，則Q點的坐標為(0，m)SAOBSAOQSBOQ|OQ|·|xA|OQ|·|xB|m·(xAxB)

10、m·1.以下同解法一7.1數學思想方法-函數與方程思想一、選擇題1已知向量a(3,2)，b(6,1)，而(ab)(ab)，則實數等于 ()A1或2 B2或 C2 D0解析：ab(36,21)，ab(36，2)，若(ab)(ab)，則(36)·(36)(21)(2)0，解得2或答案：B2設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x0時，f(x)x2.若對任意的xt，t2，不等式f(xt)2f(x)恒成立，則實數t的取值范圍是 ()A，) B2，)C(0,2 D，1，答案：A3f(x)是定義在(0，)上的非負可導函數，且滿足xf(x)f(x)0.對任意正數a、b，若a<b，則必

11、有 ()Aaf(a)f(b) Bbf(b)f(a)Caf(b)bf(a) Dbf(a)af(b)解析：xf(x)f(x)0，即xf(x)0，xf(x)是減函數又a<b，af(a)bf(b)又b>a>0，f(x)0，bf(a)af(a)且bf(b)af(b)，bf(a)af(a)bf(b)af(b)，bf(a)af(b)答案：C4f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數，f(2)0，則函數yf(x)在區間(1,4)內的零點個數為 ()A2 B3 C4 D5解析：f(x)是定義在R上的奇函數，f(0)0.由f(2)0，得f(2)0.又f(x)的周期為3，f(1)0，f(3)0.又

12、ffff，f0.故選D.答案：D5已知對于任意的a1,1，函數f(x)x2(a4)x42a的值總大于0，則x的取值范圍是 ()A1<x<3 Bx<1或x>3C1<x<2 Dx<2或x>3解析：將f(x)x2(a4)x42a看作是a的一次函數，記為g(a)(x2)ax24x4.當a1,1時恒有g(a)>0，只需滿足條件即，解之得x<1或x>3.答案：B二、填空題6已知不等式(xy)9對任意正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為_解析：只需求(xy)的最小值大于等于9即可，又(xy)1a·aa12a21，等號成立僅當a&

13、#183;即可，所以()2219，即()2280求得2或4(舍)，所以a4，即a的最小值為4.答案：47若關于x的方程(22|x2|)22a有實根，則實數a的取值范圍是_解析：令f(x)(22|x2|)2，要使f(x)2a有實根，只需2a是f(x)的值域內的值f(x)的值域為1,4)1a2<4，1a<2.答案：1,2)8已知函數f(x)，aR，若方程f2(x)f(x)0共有7個實數根，則a_.解析：設yt2t，tf(x)作出兩函數的圖象如圖所示，由t2t0知t0，或t1，當t0時，方程有兩個實根；當t1時，要使此時方程有5個不同實根，則a1.答案：19若數列an的通項公式為an&#

14、215;n3×nn(其中nN*)，且該數列中最大的項為am，則m_.解析：令xn，則0<x構造f(x)x33x2x，xf(x)8x26x1令f(x)0，故x1，x2.f(x)在上為增函數，f(x)在上為減函數f(x)maxf即當x時，f(x)最大，n2時，a2最大m2.答案：2三、解答題10設P是橢圓y21(a>1)短軸的一個端點，Q為橢圓上的一個動點，求|PQ|的最大值解：依題意可設P(0,1)，Q(x，y)，則|PQ|.又因為Q在橢圓上，所以x2a2(1y2)|PQ|2a2(1y2)y22y1(1a2)y22y1a2(1a2)21a2，因為|y|1，a>1，若a

15、，則1，當y時，|PQ|取最大值；若1<a<，則當y1時，|PQ|取最大值2，綜上，當a時，|PQ|最大值為；當1<a<時，|PQ|最大值為2.11已知f(x)是定義在正整數集N*上的函數，當x為奇數時，f(x1)f(x)1，當x為偶數時，f(x1)f(x)3，且滿足f(1)f(2)5.(1)求證：f(2n1)(nN*)是等差數列；(2)求f(x)的解析式(1)證明：由題意得，兩式相加得f(2n1)f(2n1)4.因此f(1)，f(3)，f(5)，f(2n1)成等差數列即f(2n1)(nN*)是等差數列(2)解：由題意得，解得.所以f(2n1)f(1)(n1)×

16、;42(2n1)，因此當x為奇數時，f(x)2x.又因為當x為奇數時，f(x1)f(x)1，所以f(x1)2x12(x1)1，故當x為偶數時，f(x)2x1.綜上，f(x).12某化妝品生產企業為了占有更多的市場份額，擬在2010年度進行一系列的促銷活動經過市場調查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足：3x與t1成反比例如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件已知2010年生產化妝品的固定投資為3萬元，每生產1萬件化妝品需再投資32萬元，當年每件化妝品的零售價定為“年平均成本的150%”與“年均每件所占促銷費的一半”之和，則當年的產銷量相等(1)將2010年的年利潤y萬元

17、表示為促銷費t萬元的函數；(2)該企業2010年的促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大？(注：利潤收入生產成本促銷費)解：(1)由題意，得3x，將t0，x1代入，得k2.x3.由題意，知每件零售價為·.年利潤yx(332x)t16xt16t50(t0)(2)y5050242(萬元)，當且僅當， 即t7時，ymax42，當促銷費定為7萬元時，利潤最大3.2數列求和及數列綜合應用一、選擇題1若等比數列an的前n項和Sn，且S1018，S2024，則S40等于 ()A. B. C. D.解析：根據分析易知：S1018，S20S106，S30S202，S40S30，S40，故選A.答案：A

18、2數列an的通項公式an，若an的前n項和為24，則n為()A25 B576 C624 D625解析：an()，前n項和Sn(1)()()124，故n624.選C.答案：C3(2010·大連模擬)設Sn為數列an的前n項之和，若不等式aa對任何等差數列an及任何正整數n恒成立，則的最大值為 ()A0 B. C. D1解析：a10時，不等式恒成立，當a10時，將ana1(n1)d，Snna1代入上式，并化簡得：2，max.答案：B4已知數列an滿足a10，an1(nN*)，則a20等于 ()A0 B C. D.解析：a10，an1，a2，a3，a40，.從而知3為最小正周期，從而a20

19、a3×62a2.答案：B5(2009·廣東)已知等比數列an滿足an>0，n1,2，且a5·a2n522n(n3)，則當n1時，log2a1log2a3log2a2n1 ()A(n1)2 Bn2C(n1)2 Dn(2n1)解析：a5·a2n522na，an>0，an2n，log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3an1)log2213(2n1)log22n2n2.故選B.答案：B二、填空題6設數列an的前n項和為Sn，Sn(nN*)，且a454，則a1_.解析：由于Sn(nN*)，則a4S4S327a1，且a454，則a12.

20、答案：27設等差數列an的前n項和為Sn，若a55a3，則_.解析：設等差數列的公差為d，首項為a1，則由a55a3知a1d，9.答案：98設等差數列an的前n項和為Sn，若S410，S515，則a4的最大值為_解析：設等差數列的首項為a1，公差為d，則S44a16d10，即2a13d5，S55a110d15，即a12d3.又a4a13d，因此求a4的最值可轉化為在線性約束條件限制之下的線性目標函數的最值問題，作出可行域如圖，可知在當a4a13d，經過點A(1,1)時有最大值4.答案：49(2009·福建)五位同學圍成一圈依序循環報數，規定：第一位同學首次報出的數為1，第二位同學首次

21、報出的數也為1，之后每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和；若報出的數為3的倍數，則報該數的同學需拍手一次已知甲同學第一個報數，當五位同學依序循環報到第100個數時，甲同學拍手的總次數為_解析：1,1,2,3,5,8,13,21，該數列被3除所得的余數構成的數列為1,1,2,0,2,2, 1,0，所得新數列中每4個數出現一個0，而又有5名同學，因而甲同學報的數為3的倍數的間隔為20，所以甲同學報的數為3的倍數的數依次是第16,36,56,76,96次，共5個數，故答案為5.答案：5三、解答題10(2010·濟南模擬)已知等比數列an的前n項和為Snk·2nm，k0，且a13.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn，求數列bn的前n項和Tn.解：(1)方法一：依題意有 解得a22k，a34k，公比為q2，2，k3，代入得m3，an3·2n1.方法二：n2時，anSnSn12n1·k.由a13得k3，an3·2n1，又a