1、 位移法是計算超靜定結構的另一種基本方法。位移法是計算超靜定結構的另一種基本方法。分析超靜定結構時，有兩種基本方法：分析超靜定結構時，有兩種基本方法：第一種第一種: : 以多余未知力為基本未知量；先求其反力或內力，然以多余未知力為基本未知量；先求其反力或內力，然后計算位移后計算位移力法。力法。( (可以解決所有桿系問題，對于復可以解決所有桿系問題，對于復雜桿系并不方便雜桿系并不方便) )第二種：第二種： 以結點未知位移為基本未知量；先求其位移，然后再以結點未知位移為基本未知量；先求其位移，然后再計算內力計算內力位移法。（求解大型復雜問題）位移法。（求解大型復雜問題）結構結構在外因作用下在外因作

2、用下產生產生內力內力變形變形內力與變形間存在關內力與變形間存在關系系4-1 4-1 矩陣位移法基本原理矩陣位移法基本原理4-2 4-2 矩陣位移法概述矩陣位移法概述 1 1、基本概念、基本概念 所謂位移法就是以桿系結構節點處的位移作為基所謂位移法就是以桿系結構節點處的位移作為基本未知量的方法。求出這些位移后，再求結構的內力。本未知量的方法。求出這些位移后，再求結構的內力。qP123xy 對于圖示階梯變截面梁。采用力法求解時，將其對于圖示階梯變截面梁。采用力法求解時，將其拆開為兩根單跨梁處理，這是力法和位移法研究的出拆開為兩根單跨梁處理，這是力法和位移法研究的出發點。發點。1223圖4.14-1

3、4-1位移法位移法 力法的簡化：力法的簡化： 位移法的簡化：位移法的簡化：力法是去掉多余聯系，并以未力法是去掉多余聯系，并以未知力（多于約束力）代替的靜知力（多于約束力）代替的靜定結構作為計算模型定結構作為計算模型位移法是增加多余約束，以單跨超位移法是增加多余約束，以單跨超靜定梁代替原結構作為計算模型靜定梁代替原結構作為計算模型增加的多余約束是：增加的多余約束是：阻止節點阻止節點2 2發生撓度和轉角發生撓度和轉角附加約束附加約束圖4.2(a)圖4.2(b)4-14-1位移法位移法 從圖從圖4.2b看出，基本結構與原結構有兩點差別：看出，基本結構與原結構有兩點差別：一是原結構在外載荷作用下節點一

4、是原結構在外載荷作用下節點2將發生撓度將發生撓度v2和轉和轉角角 2，而基本結構節點，而基本結構節點2處的撓度和轉角為零；二是處的撓度和轉角為零；二是原結構在外載荷作用下處于平衡狀態，節點原結構在外載荷作用下處于平衡狀態，節點2的彎矩的彎矩和力是平衡的和力是平衡的將節點將節點2隔離出來，作用于節點隔離出來，作用于節點2上上的彎矩和剪力均滿足平衡條件。而基本結構中梁的彎矩和剪力均滿足平衡條件。而基本結構中梁1-2在在2端的彎矩和剪力與梁端的彎矩和剪力與梁2-3在在2端的彎矩和剪力顯然端的彎矩和剪力顯然不是分別相等的，也就是節點不是分別相等的，也就是節點2不滿足原結構的平衡不滿足原結構的平衡條件了

5、。條件了。4-14-1位移法位移法 為了使得基本結構受力和變形與原結構一致，為了使得基本結構受力和變形與原結構一致，必須強迫基本結構中的梁必須強迫基本結構中的梁1-2和梁和梁2-3在在2端發生撓度端發生撓度v2和轉角和轉角 2,而且而且v2和轉角和轉角 2恰好能夠使得兩個單跨梁恰好能夠使得兩個單跨梁聯系起來時，將節點聯系起來時，將節點2隔離出來，作用于節點隔離出來，作用于節點2上的上的剪力和彎矩都能滿足平衡條件。剪力和彎矩都能滿足平衡條件。v圖4.2(c)4-14-1位移法位移法1223 設基本結構中梁設基本結構中梁1-2由于外載荷由于外載荷q而引起的在梁端而引起的在梁端2的彎矩和剪力分別為的

6、彎矩和剪力分別為 ；梁；梁2-3由于外載荷由于外載荷P引引起的在梁端起的在梁端2的彎矩和剪力為的彎矩和剪力為 。這些由外載荷。這些由外載荷引起的梁端彎矩和剪力分別稱為固端彎矩和固端剪引起的梁端彎矩和剪力分別稱為固端彎矩和固端剪力。又設梁力。又設梁1-2由于梁端由于梁端2發生撓度發生撓度v2和轉角和轉角 2而引起而引起的在梁端的在梁端2的彎矩和剪力分別為的彎矩和剪力分別為 ;梁梁2-3由于梁由于梁端端2發生撓度發生撓度v2和轉角和轉角 2而引起的在梁端而引起的在梁端2的彎矩和剪的彎矩和剪力分別為力分別為 。那么作用于各自梁端。那么作用于各自梁端2的總的彎矩和的總的彎矩和剪力應當是：剪力應當是：2

7、121NM2323NM2121NM2323NM21N23M23M21M21M23N21N21N23N21M23N23M2圖4.34-14-1位移法位移法1223232323212121232323212121NNNNNNMMMMMM(a) 隔離出來的節點隔離出來的節點2處于平衡狀態，必須滿足彎處于平衡狀態，必須滿足彎矩和剪力平衡方程：矩和剪力平衡方程：0023212321NNMM(b) 將（將（a）式代入到（）式代入到（b）中得到：）中得到：002323212123232121NNNNMMMM(4-1)4-14-1位移法位移法 應該指出，若在節點應該指出，若在節點2上作用有集中外力或外上作用有

8、集中外力或外力矩，則式（力矩，則式（4-1）中還應把他們包括進去。）中還應把他們包括進去。 式（式（4-1）中的固端彎矩）中的固端彎矩 和固端剪力和固端剪力 可可以由兩端剛性固定單跨梁的彎曲要素表中查得。以由兩端剛性固定單跨梁的彎曲要素表中查得。一一旦導出了因兩端剛性固定而引起的梁端彎矩、剪力旦導出了因兩端剛性固定而引起的梁端彎矩、剪力與梁端撓度和轉角的關系式（彎曲桿元剛度方程與梁端撓度和轉角的關系式（彎曲桿元剛度方程式），式），并將其代入式（并將其代入式（4-1）就可以得到以節點撓度）就可以得到以節點撓度和轉角表示的節點平衡方程，并稱之為位移法方程。和轉角表示的節點平衡方程，并稱之為位移法方

9、程。由位移法方程解出未知的撓度和轉角，就可進一步由位移法方程解出未知的撓度和轉角，就可進一步求出桿元的內力。求出桿元的內力。MN4-14-1位移法位移法 因此，位移法的基本原理是：通過在節點處增因此，位移法的基本原理是：通過在節點處增加約束來獲得由一系列超靜定（兩端剛性固定）單加約束來獲得由一系列超靜定（兩端剛性固定）單跨梁組成的基本結構，以節點位移（線位移和轉角）跨梁組成的基本結構，以節點位移（線位移和轉角）作為基本未知量，由節點靜力平衡條件列位移法方作為基本未知量，由節點靜力平衡條件列位移法方程，求節點位移，而后再依據結點位移求出結構程，求節點位移，而后再依據結點位移求出結構（各桿元）內力

10、。（各桿元）內力。4-14-1位移法位移法2 2、位移法中的符號規定與彎曲桿元剛度方程、位移法中的符號規定與彎曲桿元剛度方程 首先對位移法中的彎矩、剪力、線位移和角位首先對位移法中的彎矩、剪力、線位移和角位移的正負作一規定。符號規定：令移的正負作一規定。符號規定：令x軸為桿元的軸線，軸為桿元的軸線，y軸垂直與桿軸線（圖軸垂直與桿軸線（圖4-44-4），規定桿端的撓度與），規定桿端的撓度與y軸軸方向一致為正，桿端轉角順時針方向為正；桿端彎方向一致為正，桿端轉角順時針方向為正；桿端彎矩（不論是左端截面還是右端界面）一律規定順時矩（不論是左端截面還是右端界面）一律規定順時針為正，桿端的剪力一律與針為

11、正，桿端的剪力一律與y軸方向一致時為正（圖軸方向一致時為正（圖4-44-4）。）。NijNjiMijMjiyxij4-14-1位移法位移法圖4.4 必須指出，若必須指出，若y軸向上，軸向上，x x軸仍然自左向右，則軸仍然自左向右，則轉角和彎矩逆時針方向為正，即在右手坐標系轉角和彎矩逆時針方向為正，即在右手坐標系oxyzoxyz中，轉角矢量和彎矩矢量與中，轉角矢量和彎矩矢量與z z軸方向一致時為正。軸方向一致時為正。 圖圖4.34.3中的桿端彎矩和剪力就是依據上述符號規中的桿端彎矩和剪力就是依據上述符號規定按正向做出的。定按正向做出的。 顯然，上述關于彎矩和剪力的正負規定與力法顯然，上述關于彎矩

12、和剪力的正負規定與力法中不同。而附錄中的彎曲要素表是按力法中的符號中不同。而附錄中的彎曲要素表是按力法中的符號規定給出的，因此，在位移法中利用附錄中兩端剛規定給出的，因此，在位移法中利用附錄中兩端剛性固定單跨梁的彎曲要素表來確定固端彎矩和剪力性固定單跨梁的彎曲要素表來確定固端彎矩和剪力時必須注意正負號的差別。時必須注意正負號的差別。4-14-1位移法位移法 對圖對圖4.2a4.2a左邊的桿元，由彎曲要素表和位移法左邊的桿元，由彎曲要素表和位移法中的正負規定，可得到固端彎矩和剪力為：中的正負規定，可得到固端彎矩和剪力為：4-14-1位移法位移法12211212212212121221,21121

13、,121qlNqlNqlMqlM 下面來尋求兩端剛性固定彎曲桿元因桿端發生下面來尋求兩端剛性固定彎曲桿元因桿端發生線位移和角位移而引起的桿端彎矩和剪力與線位移線位移和角位移而引起的桿端彎矩和剪力與線位移和角位移的關系式，即彎曲桿元的剛度方程式。和角位移的關系式，即彎曲桿元的剛度方程式。 一般起見，假定桿元一般起見，假定桿元i-j兩端發生了線位移兩端發生了線位移vi、v vj和角位移和角位移 i、 j。 （圖圖4-5a4-5a）4-14-1位移法位移法EIijlijvivjjiij圖4.5 由由2-22-2中例中例3 3的結果，并考慮到位移法中的彎的結果，并考慮到位移法中的彎矩、剪力的正負號規定

14、，可得出桿元兩端同時發生矩、剪力的正負號規定，可得出桿元兩端同時發生線位移和角位移而引起的桿端彎矩和剪力的關系式。線位移和角位移而引起的桿端彎矩和剪力的關系式。4-14-1位移法位移法jijjijiijiijjijijjijiijiijjijijjijiijiijijjijjijiijiijijlEIvlEIlEIvlEIMlEIvlEIlEIvlEINlEIvlEIlEIvlEIMlEIvlEIlEIvlEIN46466126122646612612222323222323(4-2) 這就是彎曲桿元的剛度方程。這就是彎曲桿元的剛度方程。 桿元的桿端總彎矩為因桿元上所有外載荷引起桿元的桿端總彎

15、矩為因桿元上所有外載荷引起的固端彎矩與因桿端發生線位移、角位移而引起的的固端彎矩與因桿端發生線位移、角位移而引起的桿端彎矩之和；桿端總剪力為因桿元上所有外載荷桿端彎矩之和；桿端總剪力為因桿元上所有外載荷而引起的固端剪力與因桿端發生線位移和角位移而而引起的固端剪力與因桿端發生線位移和角位移而引起的桿端剪力之和。因此對任一彎曲桿元引起的桿端剪力之和。因此對任一彎曲桿元i- -j，有：，有：4-14-1位移法位移法(4-3)jijijiijijijjijijiijijijNNNNNNMMMMMM 一旦求出了桿端總彎矩和剪力，桿元任一截面一旦求出了桿端總彎矩和剪力，桿元任一截面上的內力就可由圖上的內力

16、就可由圖4-64-6所示的計算圖形求出。圖中所示的計算圖形求出。圖中q( (x) )代表桿元上所有的外載荷。代表桿元上所有的外載荷。4-14-1位移法位移法3 3、位移法方程、位移法方程 下面以圖下面以圖4-14-1為研究對象討論位移法方程。根據為研究對象討論位移法方程。根據圖圖4-2a4-2a所示的基本結構，由單跨梁彎曲要素表及位所示的基本結構，由單跨梁彎曲要素表及位移法中的正負號規定可得到由外載荷引起的固端剪移法中的正負號規定可得到由外載荷引起的固端剪力和固端彎矩：力和固端彎矩：q(x)IijiMijMjijlij圖4.64-14-1位移法位移法2, 28,1223122123232122

17、1PNqlNplMqlM 由圖由圖4-2b4-2b可知，對于桿元可知，對于桿元1-21-2，僅在右端發生線，僅在右端發生線位移位移v2v2和角位移和角位移 2 2；對于桿元；對于桿元2-32-3僅在左端發生線位僅在左端發生線位移移v2v2和角位移和角位移 2 2，所以利用剛度方程（，所以利用剛度方程（4-24-2）將得出：）將得出：2232322232323222323232323232121222121221221212231212214661246612lEIvlEIMlEIvlEINlEIvlEIMlEIvlEIN4-14-1位移法位移法 將以上結果代入式將以上結果代入式(4-1)(4-

18、1)得：得：081244660226612122321222323121222232321212122223232121223232331212PlqllEIlEIvlEIlEIPqllEIlEIvlEIlEI 這就是以基本未知量（這就是以基本未知量（v2，2）和外載荷表示）和外載荷表示得節點得節點2 2的靜力平衡方程，即位移法方程。解之，即的靜力平衡方程，即位移法方程。解之，即得出基本未知量。得出基本未知量。 位移法方程的典型形式：位移法方程的典型形式：0022221211212111PPRkkRkk(4-4)(4-5)4-14-1位移法位移法 上式中上式中 i(i= =1, ,2)代表在第

19、代表在第i個附加約束上強迫發生的個附加約束上強迫發生的位移，他們是位移法中的基本未知量；位移，他們是位移法中的基本未知量；kij( (i.j= =1,2) )代表代表在基本結構上的第在基本結構上的第j個附加約束上強迫發生個附加約束上強迫發生 j=1時，在第時，在第i個附加約束上所引起的桿端力，個附加約束上所引起的桿端力，kij稱為剛度系數，稱為剛度系數，i= =j時時稱為主系數，稱為主系數，ij時稱為副系數。時稱為副系數。注意，因為現在第注意，因為現在第j個附個附加約束加約束( (j=1,2)=1,2)是桿元是桿元1-2的的2端和桿元端和桿元2-3的的2端所共有的，端所共有的，所以現在所以現在

20、kij應該是桿元應該是桿元1-2的的2端和桿元端和桿元2-3的的2端因強迫端因強迫發生發生 j1時所引起的桿端力之和。時所引起的桿端力之和。以后將證明以后將證明kij= =kji而而Rip( (i=1.2) )代表在基本結構上由于外載荷在第代表在基本結構上由于外載荷在第i個約束上個約束上所引起的固端力。注意：如果在第所引起的固端力。注意：如果在第i個附加約束處還作用個附加約束處還作用有集中外力和外力矩，在有集中外力和外力矩，在Rip中也應該包括。中也應該包括。4-14-1位移法位移法 對于某一桿系結構，若需要附加對于某一桿系結構，若需要附加n個約束才能得個約束才能得到用位移法求解的基本結構，那

21、么就有到用位移法求解的基本結構，那么就有n個基本未知個基本未知量，可供利用的節點靜力平衡條件就共有量，可供利用的節點靜力平衡條件就共有n個，從而個，從而就可列出就可列出n個位移法方程。其典型形式是：個位移法方程。其典型形式是：0000221122112222212111212111nPnnnnniPniniiPnnPnnRkkkRkkkRkkkRkkk(4-6)4-14-1位移法位移法上式可按一定的規則（如上所述的符號含義）寫出，上式可按一定的規則（如上所述的符號含義）寫出，它不依結構的形式而異。故通常稱為位移法的典型方它不依結構的形式而異。故通常稱為位移法的典型方程。它又可寫成如下矩陣形式：

22、程。它又可寫成如下矩陣形式：nPiPPPninnnniniinnRRRRkkkkkkkkkkkk212121212222111211或簡記為：或簡記為： PK4-14-1位移法位移法 式中，式中，KK結構剛度矩陣；結構剛度矩陣； 結構節點結構節點未知位移向量；未知位移向量；PP結構節點外載荷向量。在后結構節點外載荷向量。在后面介紹的矩陣位移法中將會說明如何得到他們。面介紹的矩陣位移法中將會說明如何得到他們。4 4、例題、例題 計算圖計算圖4-74-7所示的不可動節點復雜剛架，并畫出所示的不可動節點復雜剛架，并畫出彎矩圖。彎矩圖。ll/2l/2l2I2IPI1234圖4-74-14-1位移法位移

23、法 如果用力法求解此問題，需要將其在節點如果用力法求解此問題，需要將其在節點2 2處拆處拆開，并以三根兩端自由支持的單跨梁作為用力法求解開，并以三根兩端自由支持的單跨梁作為用力法求解的基本結構，如下圖的基本結構，如下圖4-7a4-7a所示。在支座所示。在支座1 1、4 4處各有一處各有一個彎矩，在支座個彎矩，在支座2 2處有三個彎矩，共有處有三個彎矩，共有5 5個未知彎矩，個未知彎矩，需要列需要列5 5個力法方程才能求解。個力法方程才能求解。2I12M1M212IP32M2324M24M400024232144232121MMM圖4-7a4-14-1位移法位移法 現在用位移法求解此問題，在節點

24、現在用位移法求解此問題，在節點2 2和和3 3處各附加處各附加一個抗轉約束，就可得到位移法求解的基本結構，并一個抗轉約束，就可得到位移法求解的基本結構，并強迫發生轉角強迫發生轉角 2 2和和 3 3（圖（圖4-84-8）。對于不可動節點剛）。對于不可動節點剛架，用位移法求解時，其基本未知量顯然全是節點轉架，用位移法求解時，其基本未知量顯然全是節點轉角，因而可以用來構成位移法方程的節點靜力平衡條角，因而可以用來構成位移法方程的節點靜力平衡條件是附加了抗轉約束的節點力矩平衡條件，也就是節件是附加了抗轉約束的節點力矩平衡條件，也就是節點點2 2和節點和節點3 3處的力力矩平衡條件，他們是。處的力力矩

25、平衡條件，他們是。24 2122II 22IP3 2 32圖4-84-14-1位移法位移法003232242423232121MMMMMMMM 因桿因桿1-21-2、2-42-4上無外載荷，所以上無外載荷，所以 由彎曲要素表和位移法中彎矩的正、負規定，可得：由彎曲要素表和位移法中彎矩的正、負規定，可得：02421 MM883223PlMPlM 再因桿元兩端（或一端）僅發生轉角而引起的桿再因桿元兩端（或一端）僅發生轉角而引起的桿端彎矩，可由式端彎矩，可由式(4-2)(4-2)寫出，故式寫出，故式(a)(a)中：中：（a）4-14-1位移法位移法3232322322422124222224424l

26、IElIEMlIElIEMlEIMlIEM 將上述各式代入到（將上述各式代入到（a a），得位移法方程：），得位移法方程：88484203232PllEIlEIPllEIlEI（b）EIPlEIPl489623224-14-1位移法位移法0824228822248224412242422323232323223232324242224242212121212PllIElIEMMMPlPllIElIEMMMPllEIMMPllEIMMPllIEMMPllIEMM4 再利用式（再利用式（4-34-3）及（）及（4-24-2）求各桿端的總彎矩。）求各桿端的總彎矩。因因 ， 042242112MMMM

27、8,83223PlMPlM 所以所以4-14-1位移法位移法 最后畫剛架的彎矩圖。畫彎矩圖時把各桿元作為最后畫剛架的彎矩圖。畫彎矩圖時把各桿元作為受到實際外載荷及桿端總彎矩作用的兩端簡支梁來考受到實際外載荷及桿端總彎矩作用的兩端簡支梁來考慮，再把各桿元的彎矩圖拼起來即得剛架的彎矩圖。慮，再把各桿元的彎矩圖拼起來即得剛架的彎矩圖。不過這里要指出的是，由于位移法中彎矩的正負規定不過這里要指出的是，由于位移法中彎矩的正負規定與第二章的規定不同，且兩者無法統一，所以通常不與第二章的規定不同，且兩者無法統一，所以通常不在圖上寫彎矩的正負號，而是遵循以下原則：在圖上寫彎矩的正負號，而是遵循以下原則： 先把

28、剛架中各桿端總彎矩按實際方向畫在桿的兩先把剛架中各桿端總彎矩按實際方向畫在桿的兩端，并按彎矩箭頭方向畫出桿端總彎矩引起的彎矩圖。端，并按彎矩箭頭方向畫出桿端總彎矩引起的彎矩圖。再與桿元上外載荷引起的彎矩圖疊加。再與桿元上外載荷引起的彎矩圖疊加。4-14-1位移法位移法l/2q2334P15 計算圖計算圖4-84-8所示的不可動節點復雜剛架，畫出受所示的不可動節點復雜剛架，畫出受載桿載桿2-32-3及及3-53-5的彎矩圖。各桿長度為的彎矩圖。各桿長度為l，斷面慣性矩，斷面慣性矩為為I，P=4ql 1、結構分析方法 1）傳統方法傳統方法前面介紹的力法、位移法等都是傳前面介紹的力法、位移法等都是傳

29、統的結構分析方法統的結構分析方法, ,適用于手算適用于手算, ,只能分析較簡單的結只能分析較簡單的結構。構。 2）矩陣分析方法矩陣分析方法矩陣力法和矩陣位移法，或稱矩陣力法和矩陣位移法，或稱為柔度法與剛度法等都被稱為矩陣分析方法。它是以為柔度法與剛度法等都被稱為矩陣分析方法。它是以傳統結構力學作為理論基礎、以矩陣作為數學表達形傳統結構力學作為理論基礎、以矩陣作為數學表達形式，以計算機作為計算手段的電算結構分析方法，它式，以計算機作為計算手段的電算結構分析方法，它能解決大型復雜的工程問題。能解決大型復雜的工程問題。4-24-2 矩陣位移法概述矩陣位移法概述2 2、基本思路、基本思路 1 1）手算

30、位移法）手算位移法（1 1）取基本體系取基本體系構造各自獨立的單跨超靜梁的組構造各自獨立的單跨超靜梁的組 合體；合體；（2 2）寫出桿端彎矩表達式寫出桿端彎矩表達式建立各桿件的桿端彎矩建立各桿件的桿端彎矩與桿端位移間的關系；與桿端位移間的關系； 3 3）矩陣位移法矩陣位移法簡單的說就是把位移法分析桿系簡單的說就是把位移法分析桿系結構的全過程以矩陣形式來表示，就是矩陣位移法。結構的全過程以矩陣形式來表示，就是矩陣位移法。它是以結點位移作為基本未知量的結構分析方法。由它是以結點位移作為基本未知量的結構分析方法。由于它易于實現計算過程程序化，故本節只對矩陣位移于它易于實現計算過程程序化，故本節只對矩

31、陣位移法進行討論。桿件結構的矩陣位移法也被稱為桿件結法進行討論。桿件結構的矩陣位移法也被稱為桿件結構的有限元法。構的有限元法。4-24-2 矩陣位移法概述矩陣位移法概述 （3 3）根據結點、截面的平衡條件根據結點、截面的平衡條件建立力建立力的平衡方程，即位移法方程。的平衡方程，即位移法方程。 2 2）矩陣位移法）矩陣位移法 （1 1）結構離散化結構離散化劃分單元；劃分單元； （2 2）單元分析單元分析建立單元的桿端力與桿端建立單元的桿端力與桿端位移間的關系，形成單元剛度矩陣；位移間的關系，形成單元剛度矩陣； （3 3）整體分析整體分析建立整個結構的結點位移建立整個結構的結點位移與結點荷載間的關

32、系，形成結構剛度矩陣。與結點荷載間的關系，形成結構剛度矩陣。4-24-2 矩陣位移法概述矩陣位移法概述4-24-2 矩陣位移法概述矩陣位移法概述 本節主要介紹矩陣位移法中的一些名詞及其應包本節主要介紹矩陣位移法中的一些名詞及其應包括的內容。括的內容。 圖圖4-114-11所示的為所示的為xoyxoy平面內的彎曲桿元，其剛度平面內的彎曲桿元，其剛度方程在前面已經導出（式方程在前面已經導出（式4-24-2），將剛度方程用矩陣），將剛度方程用矩陣形式來表示：形式來表示：4-24-2 矩陣位移法概述矩陣位移法概述 稱稱 (e)(e) 為彎曲桿元的為彎曲桿元的(e)(e)的節點的位移列矩陣，的節點的位移

33、列矩陣，列矩陣通常叫做向量，故又稱節點位移向量。又記：列矩陣通常叫做向量，故又稱節點位移向量。又記： jjiijievv yjyjyiyijieMNMNFFF4-24-2 矩陣位移法概述矩陣位移法概述 F F(e)(e) 為彎曲桿元的為彎曲桿元的(e)(e)的桿端力向量，它是由的桿端力向量，它是由桿端位移即節點位移而引起的桿端剪力和桿端彎矩所桿端位移即節點位移而引起的桿端剪力和桿端彎矩所組成的向量。于是剛度方程（組成的向量。于是剛度方程（4-24-2）可表示成如下矩）可表示成如下矩陣形式：陣形式： eeeKF下面用一道例題來說明矩陣位移法的基本思路。下面用一道例題來說明矩陣位移法的基本思路。用

34、位移法解該題用位移法解該題 ：2 2、桿端、桿端彎矩彎矩： 1 1、未知量：、未知量：123121112M42ii211112M24ii232223M42ii322223M24iiM1M3M2i1i210-1 10-1 概述概述1323 3、建立方程：、建立方程：1M0121MM2M021232MMM3M0323MM4 4、解方程得：、解方程得：123 5 5、回代得：桿端、回代得：桿端彎矩彎矩M1M3M2i1i210-1 10-1 概述概述1321112142Mii 111222322(44 )2Miiii 2223324Mii 把以上解題過程寫成矩陣形式：把以上解題過程寫成矩陣形式：1 1

35、、確定未知量：可以通過編號來解決（一個結點一、確定未知量：可以通過編號來解決（一個結點一個轉角未知量）。個轉角未知量）。2 2、桿端彎矩表達式（按桿件來寫）、桿端彎矩表達式（按桿件來寫）1-21-2桿桿1211121112M42M24iiii單元剛單元剛度方程度方程M1M3M2i1i210-1 10-1 概述概述132121112M42ii211112M24ii寫成矩陣形式1 2122-32-3桿桿2322232322M42M24iiii單元剛單元剛度方程度方程M1M3M2i1i210-1 10-1 概述概述132232223M42ii322223M24ii寫成矩陣形式2 3233 3、位移法

36、方程：、位移法方程：1112142Mii 111222322(44 )2Miiii 2223324Mii 位移法方程寫成位移法方程寫成矩陣形式：矩陣形式：11111122222233420M2442M024Miiiiiiii整體剛度矩陣整體剛度矩陣4 4、解方程得：解方程得：5 5、回代得：桿端回代得：桿端彎矩彎矩 以上五個方面就是我們在本章中需仔細研究的。123 M1M3M2i1i210-1 10-1 概述概述1321 2 3 123結點荷載列陣結點荷載列陣結點位移列陣結點位移列陣10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣 1、單元劃分及編號 在桿系結構中以自然的一

37、根桿件在桿系結構中以自然的一根桿件 為一個單元，并以加圈的數字為記號。為一個單元，并以加圈的數字為記號。 如圖所示為剛架的單元劃分。如圖所示為剛架的單元劃分。 2、結點編號及未知量確定結點編號的作用：結點編號的作用：用于單元定位用于單元定位確定未知量確定未知量結點編號的方法：結點編號的方法：先處理法先處理法后處理法后處理法 因此一個剛結點就有3個位移： ，而且支 座位移也要作為未知量。, ,u v 在確定未知量時：在確定未知量時： 不忽略軸向變形；不忽略軸向變形； 所有單元都是兩端固定的所有單元都是兩端固定的。 先處理法：是直接給未知量編號。先處理法：是直接給未知量編號。 后處理法：是先給結點

38、編號（包括支座結點），后處理法：是先給結點編號（包括支座結點），然后按一個結點然后按一個結點3 3個位移再減去支座約束計算。個位移再減去支座約束計算。10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣后處理法：后處理法：結點編號如圖所示，結點編號如圖所示，33344400uvuv先處理法：先處理法：12341,2,34,5,60,0,00,0,0例例1： 因此未知量為因此未知量為6 6個。個。結點編號如圖所示，結點編號如圖所示，編號順序為：先水平，編號順序為：先水平，后豎向，再轉動。位移后豎向，再轉動。位移為零編為零編“0”號。號。由于：由于：10-2 10-2 局部坐標下的

39、單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣后處理法：后處理法：單元編號如圖所示，單元編號如圖所示，先處理法：先處理法：12341,2,34,5,60,0,00,0,0例例1： 單元編號如圖所示，單元編號如圖所示，單元兩頭的結點號為：單元兩頭的結點號為：“1 1”、“2 2”，如果結點的，如果結點的坐標已知，單元的位置坐標已知，單元的位置就定了。就定了。單元兩頭的結點號為：單元兩頭的結點號為：“1,2,31,2,3”、“4,5,64,5,6”，如，如果結點的坐標已知，單果結點的坐標已知，單元的位置同樣定了。元的位置同樣定了。10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣后處理法：

40、后處理法：結點編號如圖所示，結點編號如圖所示，3344400uvuv1,2,34,5,60,0,70,0,0例例2： 1234由于：由于：因此未知量為因此未知量為7 7個。個。先處理法：先處理法：結點編號如圖所示，結點編號如圖所示，7個未知量，號就編個未知量，號就編到到7。10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣先處理法：先處理法：后處理法：后處理法：23234455500uuvvuvuv124531,2,34,5,60,0,80,0,04,5,7例例3：結點編號如圖所示，結點編號如圖所示，由于：由于：因此未知量為因此未知量為8 8個。個。結點編號如圖所示，結點編號

41、如圖所示，8個未知量，號就編到個未知量，號就編到8。10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣先處理法：先處理法：后處理法：后處理法：124531,2,34,5,60,0,80,0,04,5,7例例3：單元編號如圖所示，單元編號如圖所示，單元編號如圖所示。單元編號如圖所示。單元單元 “1 1”、“2 2”對應單元單元 “1 1”、“4 4”對應單元單元 “3 3”、“5 5”對應單元單元 “123123”、“456456”對應單元單元 “123123”、“008008”對應單元單元 “457457”、“000000”對應10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部

42、坐標下的單元剛度矩陣后處理法：后處理法：3340uvv12341,23,40,00,5例例4：結點編號如圖所示，結點編號如圖所示，桁架一個結點桁架一個結點2各線各線位移，由于：位移，由于：因此未知量為因此未知量為5 5個。個。先處理法：先處理法：結點編號如圖所示，結點編號如圖所示，8 8個未知量，號就編到個未知量，號就編到8 8。10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣后處理法：后處理法：例例4：1234單元編號如圖所示，單元編號如圖所示，1,23,40,00,5先處理法：先處理法：單元編號如圖所示，單元編號如圖所示，單元單元 “1 1”、“2 2”對應單元單元 “

43、1 1”、“4 4”對應單元單元 “1,21,2”、“3,43,4”對應單元單元 “1,21,2”、“0,50,5”對應10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣 3、建立坐標坐標系：坐標系：局部坐標局部坐標整體坐標整體坐標1 1）局部坐標）局部坐標作用：用于表明桿端力及單元定位作用：用于表明桿端力及單元定位方法：方法：x 軸與桿件重合及順時針轉原則。軸與桿件重合及順時針轉原則。 標法如圖所示，箭頭表示標法如圖所示，箭頭表示x 軸的方向，軸的方向，y軸軸 不標出。單元的起始點是不標出。單元的起始點是“1”，終點是，終點是“2”。1234ABFAXFBXFBYFAYMA

44、BMBA10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣后處理法：后處理法：例例4：局部坐標如圖所示，局部坐標如圖所示，1234單元單元 “1 1”、“2 2”對應單元單元 “4 4”、“1 1”對應單元定位向量：單元定位向量： 12 31 42 34 41 32先起始點后終點先起始點后終點10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣例例4：先處理法：先處理法：局部坐標如圖所示，局部坐標如圖所示，單元單元 “1,21,2”、“3,43,4”對應1,23,40,00,5單元單元 “0,50,5”、“1,21,2”對應單元定位向量：單元定位向量： 123

45、4 0012 0534 0005 0512 003410-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣2 2）整體坐標）整體坐標作用：用于建立位移法方程作用：用于建立位移法方程方法：方法：可根據結構情況及順時針轉原則建立。可根據結構情況及順時針轉原則建立。1234XYXYOx 表述桿端力時每根桿件都需要一套局部坐標，但表述桿端力時每根桿件都需要一套局部坐標，但建立位移法方程時每個結構則需要一個統一的坐標。建立位移法方程時每個結構則需要一個統一的坐標。10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣4 4、單元剛度矩陣、單元剛度矩陣 單元剛度矩陣單元剛度矩陣

46、兩端固定單元，由兩端發生單兩端固定單元，由兩端發生單 位位移產生的桿端力的矩陣形式。位位移產生的桿端力的矩陣形式。單元剛度矩陣單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣整體坐標下的單元剛度矩陣整體坐標下的單元剛度矩陣本節先介紹局部坐標下的單元剛度矩陣本節先介紹局部坐標下的單元剛度矩陣 以以兩端固定單元為研究對象，讓其兩端各發生兩端固定單元為研究對象，讓其兩端各發生3 3個位移，求出個位移，求出6 6個桿端力，然后寫成矩陣形式，即可個桿端力，然后寫成矩陣形式，即可得到單元剛度矩陣。得到單元剛度矩陣。10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣單元形式單元

47、形式 兩端固定單元兩端固定單元桿端位移桿端位移 每端各三個位移，每端各三個位移， 桿端力桿端力 每端各三個桿力，每端各三個桿力，正負號規定正負號規定 與局部坐標一致為與局部坐標一致為正，相反為負。正，相反為負。111222uvuv、 、 、 、111222xyxyFFMFFM、exyE，A，Il122u2v1ue211v12x2Fy2F2Mx1F1My1Fe1210-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣12121211EALEI,EA1EALEI,EA116EIL2112EIL216EIL2112EIL214EIL16EIL212EIL16EIL2EI,EA110-2

48、 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣1212122EI,EA2EAL2EALEI,EA2212EIL2212EIL222EIL26EIL224EIL26EIL2EI,EA226EIL216EIL210-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣 1121112232321112222()1261266462xyEAFuuLEIEIEIEIFvvLLLLEIEIEIEIMvvLLLL21221122323221122221261266264xyEAEAFuuLLEIEIEIEIFvvLLLLEIEIEIEIMvvLLll 當兩端固定單元的兩端同時發當兩

49、端固定單元的兩端同時發生六個位移時，六個桿端力可利用生六個位移時，六個桿端力可利用疊加原理求出：疊加原理求出： 1 1號號桿桿端端 2 2號號桿桿端端10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣把桿端力與桿端位移的表達式寫成矩陣形式：把桿端力與桿端位移的表達式寫成矩陣形式：EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2FX1FY1FX2Fy2M2M1u 2u 1v 2v 221=10-2

50、 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2FX1FY1FX2Fy2M2M1u 2u 1v 2v 221= eeeFk 可縮寫成可縮寫成:-單元剛度方程單元剛度方程10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣 eeeFk 單元剛度方程：單元剛度方程： 其中：其中： eF-單元桿端力列陣單元桿端力列陣-單元桿端位移列陣單元桿端位

51、移列陣 eFX1FY1FX2Fy2M2M1 eF= eu 2u 1v 2v 221=10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=ek ek -單元剛度矩陣單元剛度矩陣11122122eekkkkk 也可寫成：也可寫成：122110-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣單元剛度矩陣的性質單元剛度矩陣的性質 單元剛度矩

52、陣是桿端力用桿端位移來表達的聯系矩陣。單元剛度矩陣是桿端力用桿端位移來表達的聯系矩陣。ijkjik 其中每個元素稱為單元剛度系數，表示由于單位桿端其中每個元素稱為單元剛度系數，表示由于單位桿端 位移引起的桿端力。由反力互等定理可知：位移引起的桿端力。由反力互等定理可知： ， 因此因此單元剛度矩陣是對稱矩陣。單元剛度矩陣是對稱矩陣。 第第k k列元素分別表示當第列元素分別表示當第k k個桿端位移個桿端位移=1=1時引起的六個時引起的六個 桿端力分量。桿端力分量。 一般單元的單元剛度矩陣是奇異矩陣。一般單元的單元剛度矩陣是奇異矩陣。 ，不，不 存在逆矩陣。存在逆矩陣。 0ek10-2 10-2 局

53、部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=ek 1221 由上述一般單元的剛度矩陣，可以根據實際情況處理后，由上述一般單元的剛度矩陣，可以根據實際情況處理后，得到特殊情況下的單元剛度矩陣。得到特殊情況下的單元剛度矩陣。10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL

54、300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=ek 1 2 3 4 5 6123456 例如：已知兩端固定單元兩頭只發生轉角，其它位移等于例如：已知兩端固定單元兩頭只發生轉角，其它位移等于零，同時只需要寫桿端彎矩。處理的方法是：把下面剛度零，同時只需要寫桿端彎矩。處理的方法是：把下面剛度矩陣的第矩陣的第1、2、4、5行和列劃掉即可。行和列劃掉即可。10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣 兩端固定單元兩頭只發生轉角的單元剛度矩陣：兩端固定單元兩頭只發生轉角

55、的單元剛度矩陣：4EIL2EIL2EIL=ek 1 2 124EIL10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=ek 1 2 3 4 5 6123456 又如：已知兩端固定單元沒有軸向變形，也不需要寫桿端又如：已知兩端固定單元沒有軸向變形，也不需要寫桿端軸力。處理的方法是：把下面剛度矩陣的第軸力。處理的方法是：把下面剛度矩陣的第1、4行和列

56、劃行和列劃掉即可。掉即可。10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣 兩端固定單元不考慮軸向變形的單元剛度矩陣：兩端固定單元不考慮軸向變形的單元剛度矩陣：6EIL24EIL12EIL36EIL2-6EIL22EIL-12EIL36EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=ek 1 2 3 4 123410-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-1

57、2EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=ek 1 2 3 4 5 6123456 再如：對于軸力桿件的單元剛度矩陣，處理的方法是：再如：對于軸力桿件的單元剛度矩陣，處理的方法是： 把下面剛度矩陣的第把下面剛度矩陣的第2、3、5、6行和列劃掉即可。行和列劃掉即可。10-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣 軸力桿件的單元剛度矩陣應該是軸力桿件的單元剛度矩陣應該是2 22 2的，但考慮到的，但考慮到斜桿在整體坐標中的需要，寫成斜桿在整體坐標中的需要，寫成4 44 4的。的。-EAL0EAL00=ek 1 2 3 4 12340

58、000-EAL0EAL000010-2 10-2 局部坐標下的單元剛度矩陣局部坐標下的單元剛度矩陣10-10-3 3 整體坐標下的整體坐標下的單元剛度矩陣單元剛度矩陣 整體坐標下的單元剛度矩陣整體坐標下的單元剛度矩陣 如前所述，為了表述桿端力，需要每個單元都要如前所述，為了表述桿端力，需要每個單元都要有自己的一套局部坐標系。但當要建立位移法方程時，有自己的一套局部坐標系。但當要建立位移法方程時，則需要結構有一套統一的整體坐標系，因此在建立方則需要結構有一套統一的整體坐標系，因此在建立方程之前，必須把局部坐標下的單元剛度矩陣轉換成整程之前，必須把局部坐標下的單元剛度矩陣轉換成整體坐標下的。下面以

59、一根斜桿為例，說明兩套坐標系體坐標下的。下面以一根斜桿為例，說明兩套坐標系的轉換方法。的轉換方法。yx10-10-3 3 整體坐標下的整體坐標下的單元剛度矩陣單元剛度矩陣x1Fy1F1Mx2Fy2F2Myxyx局部坐標系局部坐標系中的桿端力中的桿端力x1Fy1F1Mx2Fy2F2M整體坐標系整體坐標系中的桿端力中的桿端力yxyxyx22222222cossinsincosxxyyxyFFFFFFMM 11111111cossinsincosxxyyxyFFFFFFMM 局部坐標系中桿端力與局部坐標系中桿端力與整體坐標系中桿端力之整體坐標系中桿端力之間的關系：間的關系：x1Fy1F1Mx2Fy2

60、F2Myxx1Fy1F1Mx2Fy2F2Myx局部坐標系局部坐標系中的桿端力中的桿端力整體坐標系整體坐標系中的桿端力中的桿端力10-10-3 3 整體坐標下的整體坐標下的單元剛度矩陣單元剛度矩陣其中：其中：TT單元坐標轉換矩陣單元坐標轉換矩陣同理：同理： eeFTF eTeFTF eeT eTeT00001111222exyxyFFMFFM111222exyxyFFMFFM00000000CosSinSinCos1000CosSinSinCos00000000000可縮寫成：可縮寫成：寫寫成成矩矩陣陣形形式式10-10-3 3 整體坐標下的整體坐標下的單元剛度矩陣單元剛度矩陣TT單元坐標轉換矩