1、 1 1 0 1 0 1 2 1 1 0 1 1 1 2 3 0 0 0 1 2 1 6 12 0 A 1 1 1 = 6 6 0 0 1 1 0 6 0 1 = 1 是一個解。 1 1 1 0 6 6 0 1 0 0 4 2 2 2 1 1 12 6 6 0 1 0 2 4 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 2 4 2 4 2 A = 2 4 2 2 2 4 附錄二 1 n 維向量空間及其子空間 向量空間 記為 R 由全部 n 維實向量構成的集合，這是一個規定了加法和數乘這兩種線性運算的集合，我 們把它稱為 n 維向量空間。 設 V 是 R 的一個子集，如果它滿足 （1）當 1 ,

2、 2 都屬于 V 時， 1 + 2 也屬于 V 。 （2）對 V 的每個元素 和任何實數 c ， c 也在 V 中。 則稱 V 為 R 的一個子空間。 例如 n 元齊次方程組 AX = 0 的全部解構成 R 的一個子空間，稱為 AX = 0 的解空間。 n n n n 但是非齊次方程組 AX = n 的全部解則不構成 R n 的子空間。 對于 R 中的一組元素 1 , 2 , L , s ，記它們的全部線性組合的集合為 L( 1 , 2 ,L , s = c1 1 + c 2 2 + L + c s s ci 任意 ，它也是 R n 的一個子空間。 2基，維數，坐標 ，稱 V 的秩為其維數，記

3、作 dim V 。 設 V 是 R 的一個非 0 子空間（即它含有非 0 元素） n 稱 V 的排了次序的極大無關組為 V 的基。 例如 AX = 0 的解空間的維數為 n r ( A ，它的每個有序的基礎解系構成基。 又如 dimL( 1 , 2 , L , s = r ( 1 , 2 , L , s ， 1 , 2 , L , s 的每個有序的極大無關組構成 基。 設 1 , 2 , L , k 是 V 的一個基，則 V 的每個元素 都可以用 1 , 2 , L , k 唯一線性表示： = c11 + c 2 2 + L + c k k 稱其中的系數 (c1 , c 2 , L , c k

4、 為 關于基 1 , 2 , L , k 的坐標，它是一個 k 維向量。 坐標有線性性質： （1）兩個向量和的坐標等于它們的坐標的和： 如果向量 和 關于基 1 , 2 , L , k 的坐標分別為 (c1 , c 2 , L , c k 和 (d1 , d 2 ,L , d k ，則 + 關于基 1 , 2 , L , k 的坐標為 (c1 + d1 , c2 + d 2 ,L, ck + d k = (c1 , c2 ,L, c k + (d1 , d 2 ,L, d k （2）向量的數乘的坐標等于坐標乘數： 如果向量 關于基 1 , 2 , L , k 的坐標為 (c1 , c 2 ,

5、L , c k ，則 c 關于基 1 , 2 , L , k 的坐標為 (cc1 , cc2 ,L, cck = c(c1 , c2 ,L, ck 。 坐 標 的 意 義 ： 設 V 中 的 一 個 向 量 組 1 , 2 , L , t 關 于 基 1 , 2 , L , k 的 坐 標 依 次 為 1 , 2 ,L, t ，則 1 , 2 ,L, t 和 1 , 2 ,L, t 有相同的線性關系。 于是，我們可以用坐標來判斷向量組的相關性，計算秩和極大無關組等等。 3過渡矩陣，坐標變換公式 設 1 , 2 , L , k 和 1 , 2 , L, k 都 是 V 的 一 個 基 ， 并 設

6、 1 在 1 , 2 ,L, k 中 的 坐 標 為 (c1i , c 2i ,L, c ki ，構造矩陣 c11 c C = 21 L c k1 L c1k L c2k ， L L L c k 2 L c kk c12 c 22 稱 C 為 1 , 2 , L , k 到 1 , 2 , L , k 的過渡矩陣。 (1 , 2 ,L, k = (1 , 2 ,L, k C 。 如果 V 中向量 在其 1 , 2 , L , k 和 T 1 , 2 ,L , T k 中的坐標分別為 x = ( x1 , x 2 ,L , x k 和 y = ( y1 , y 2 ,L , y k ，則 = (

7、1 , 2 , L, k x = (1 , 2 ,L, k y = (1 , 2 ,L, k Cy 于是關系式： x = Cy 稱為坐標變換公式。 4規范正交基 如果 V 的一基 1 , 2 , L , k 是單位正交向量組，則稱為規范正交基。 兩個向量的內積等于在規范正交基下的它們坐標的內積。 設 的坐標為 (c1 , c 2 , L , c k ， 的坐標為 (d1 , d 2 , L , d k ， 則 ( , = c1 d1 + c 2 d 2 + L + c k d k 兩個規范正交基之間的過渡矩陣是正交矩陣。 做題思路 先化簡再計算 例 5 （03）設 n 維列向量 = (a,0, L ,0, a ， a < 0 。規定 A = E ， B = E T T 已知 AB = E ，求 a 。 注意化簡技巧（中間過程也很重要） 1 T 。 a 1 0 0 1 例 13 （00）己知 A* = 1 0 0 3 0 0 1 0 0 0 1 1 ，求矩陣 B ，使得 ABA = BA + 3E . 0 8 證明一個矩陣可逆切入點 行列式=0 ，證明 Ax=E