1、 高等數(shù)學(xué)樣板教案授課次序08教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題一般周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授教學(xué)手段演示教學(xué)重點(diǎn)定義在和上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，并能將函數(shù)展開(kāi)為正弦或余弦級(jí)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)同重點(diǎn)參考教材武漢大學(xué)與同濟(jì)大學(xué)編微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等編高等數(shù)學(xué)定理 方法 問(wèn)題作業(yè)布置微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求能在相應(yīng)定義上將函數(shù)展成為傅里葉級(jí)數(shù)以及正弦或余弦級(jí)數(shù)。雙語(yǔ)教學(xué)傅立葉展開(kāi)式：the outspread formula of Fourier教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容第八節(jié)一般周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)一、以2L為周期的傅氏級(jí)數(shù) 代入傅氏級(jí)數(shù)中 則有 則有 證明 二、典型例題例1 設(shè)是周

2、期為4的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為, 將其展成傅氏級(jí)數(shù).解 例2 將函數(shù)展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù).解 另解 三、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一般說(shuō)來(lái),一個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)既含有正弦項(xiàng),又含有余弦項(xiàng).但是,也有一些函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)只含有正弦項(xiàng)或者只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng).定理(1)當(dāng)周期為的奇函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí),它的傅里葉系數(shù)為 (2)當(dāng)周期為的偶函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí),它的傅里葉系數(shù)為證 同理可證(2)定理證畢.定義：如果為奇函數(shù),傅氏級(jí)數(shù)稱為正弦級(jí)數(shù).如果為偶函數(shù), 傅氏級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù).例1 設(shè)是周期為的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為,將展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù).解 所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件. 例2 將周期函數(shù)

3、展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù),其中是正常數(shù).解 所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件, 在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù). 四、函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)非周期函數(shù)的周期性開(kāi)拓 則有如下兩種情況奇延拓: 偶延拓: 例3 將函數(shù)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).解 (1)求正弦級(jí)數(shù). (2)求余弦級(jí)數(shù). 設(shè)周期為的五、小結(jié)1.會(huì)求以2l為周期的傅氏系數(shù);2.利用變量代換求傅氏展開(kāi)式;3.奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù);正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù);非周期函數(shù)的周期性延拓;4.需澄清的幾個(gè)問(wèn)題.(誤認(rèn)為以下三情況正確)a.只有周期函數(shù)才能展成傅氏級(jí)數(shù);練 習(xí) 題一、設(shè)是周期為的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為.二、 函數(shù)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) .三、 以為周期的函數(shù)在內(nèi)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù),并求級(jí)數(shù)的和 .證明:當(dāng)時(shí),四、 周期為的周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式 為,試將