1、Hermite型插值的混淆誤差的估計李躍武1 蘇艷華2 王建華3(1.呼倫貝爾學院數學系 內蒙古 0210082 2.沈陽大學理學院 3.呼倫貝爾學院)摘 要：我們證明了如果且在R上任何有限區間上Riemann可積，則.其中是通過由其樣本和在中的指數型整函數空間中的Hermite型的插值算子,為函數的階光滑模.關鍵詞：有限帶函數; 樣本序列; 插值算子; 混淆誤差 1、引言在實踐過程中，我們經常要研究一些連續信息，然而連續信息是不能整體記錄的，它是通過離散的信息記錄（解碼）表示的，但單純的離散信息記錄不能準確表示原始信息全貌，因此我們需要對離散的信息記錄處理（編碼）后將其還原為連續信息。而樣本

2、定理的作用恰好在離散信息和連續信息之間架起了一座橋梁，它表明：在一定條件下，抽樣序列完全可以表示一個連續信息。設表示經典可測的P次冪Lebesgue可積函數空間， 賦以通常的范數,.以,表示中在R上階導數局部絕對連續,并且使得有限的函數全體。設,表示函數的k階差分，我們用k階光滑模來刻畫函數的光滑程度. 定義1 設g為整函數,如果對任何, 存在常數使得 作者簡介：李躍武 (1965-)男，畢業于內蒙古民族大學數學系, 副教授, 碩士, 從事函數逼近論研究。則稱g為指數型的整函數，記指數型的整函數的全體為,將中在R上有界函數的全體記為.令, .如果一個R上局部可積函數的Fourier變換有有限支

3、集，我們則稱是有限帶函數。 自從Shannon(1948)首次把有限帶函數引進通信工程，經典的 Whittaker-Shannon-Kolenikov樣本定理就在純數學和應用領域都發揮著重要作用， 它是插值和樣本理論中的基本定理。該定理表明每個帶有限信號函數可由其可列個等距分布的結點上的樣本值來恢復, 即如果，則, (1)其中; 1,.級數通常稱為Whittaker cardinal級數，該級數在R的緊子集上絕對且一致收斂。由于樣本定理在通訊理論中的重要作用，在過去的幾十年里，人們一直致力于在基礎數學和電子工程等不同領域及各方向拓廣Whittaker 樣本定理。 例如， 考慮非有限帶函數用有限

4、帶函數插值逼近的收斂性及誤差估計。這種誤差在電子工程術語中通常稱為函數的混淆誤差。 Jagerman和Forgel(1956)首先考慮了用二重樣本序列和替代樣本序列構造了Hermite型插值算子對有限帶函數重構，特別他們證明了，如果，則 (2)最近，房艮孫和李冱岸5證明了如果 ,(2) 仍成立,還給出了混淆誤差的估計。設且, 則存在僅與有關的正常數使得 其中稱為函數的混淆誤差, 以上結果在具有較好的光滑性條件下給出了函數用Hermite型插值算子逼近時, 函數在階的意義下混淆誤差的精確估計，定理1啟發我們考慮以下問題，當時，Hermite型插值級數在R上表示某些非有限帶函數的混淆誤差的階是多少

5、? 本文將研究這個問題，我們的結果在某種意義上填補了以上結果的一個空白。 2、主要結果定義2 記,如果可測函數滿足條件： ,. (3)令則有。我們以表示在上每個有限區間可積函數的全體。設我們的主要結果如下定理1 設，則.（以下須注意特別是公式）為證明定理我們需引入如下相關引理，在下面的引理、定理及證明中，等分別表示只與等有關的正常數，在不同的地方它們可能是彼此不同的。設，其中由定義，則. 令，則，且.下述引理在定理1的證明中起著關鍵作用。引理18 設，則.根據8，對一切，存在型插值算子,滿足插值條件.設，是定義在上賦以通常范數構成的空間，其中.引理25 設，則對一切，有.引理34 設，則引理4

6、7 設，則對，有,且如果，則引理53 設，若，則. 定理1的證明：由的定義知，再由引理1根據引理5，有因此，存在常數，對充分大的使利用引理2，3，4有定理得證。參考文獻：1Approximation of Function of several variables and Imbedding TheoremsM.Berlin/Heidberg, NewYork:Springer-Verlag, 1975.2 1985,(12):49-893 4 G.Fang,Whittaker-Kotelnikov-Shannon sampling theorem and aliasing errorJ.5 李冱岸, 房艮孫, Hermite型導數樣本定理和Sobolev類上混淆誤差J.北京師范大學學報(自然科學版), 2004 ,(3):123-130.6 (27