1、第五章 電磁波的輻射本章重點：1、電磁場的矢勢和標勢的引入、規范不變性； 2、達郎伯方程及推遲勢的物理意義； 3、矢勢的展開和偶極輻射； 4、電磁場的動量守恒。本章難點：1、矢勢的展開和偶極輻射公式的導出； 2、電磁場的動量密度張量的引入和意義。引言一 電磁輻射不穩定的電荷、電流激發的電磁場隨時間變化。有一部分電磁場以波的形式脫離場源向外運動，這被稱為電磁波的輻射。本章主要研究高頻交變電流產生的電磁輻射。二 引入矢勢和標勢可以更方便的求解電磁輻射問題與靜電場引入電勢、靜磁場引入標勢相似，為了便于求解普適的場方程，在變化情況下仍然可以引入勢的概念。但是，由于電場的旋度不為零，這里引入的失勢、標勢

2、與靜電場情況有很大的不同。三 輻射問題的本質也是邊值問題變化電荷、電流分布激發電磁場，電磁場又反過來影響電荷、電流分布?？臻g電磁場的分布就在這一對矛盾相互制約下形成的。變化的電荷、電流分布一般具有邊界，因此在求解時要考慮它們的邊界條件和邊值關系。但是，一般情況下這種的邊界情況很復雜，使得電荷、電流分布無法確定，因此使得求解問題無法進行。在本章我們僅討論電荷、電流分布為已知的輻射問題。§5.1 電磁場的矢勢和標勢一 用勢描述電磁場本節使用最普遍的電磁場方程引入矢勢然后討論電磁輻射問題（僅討論均勻介質）。（1）矢勢的引入由于（與靜電場相同），可以引入矢勢，使得注意： 與靜電場不同的是，這

3、里引入的矢勢與時間相關； 矢勢的意義與靜電場情況相同，即：（2）標勢的引入在變化電磁場情況，不能象靜電場那樣直接引入標量勢函數。但是，由 和電場的旋度方程可以得到：， 移項并合并得：因此可以引入標量勢函數，使得 ，引入后電場強度： 二 規范變換和規范不變性1 失勢和標勢的不唯一性同靜電場相同，這里引入的矢勢和標勢也不唯一，但是矢勢和標勢在變化電磁場情況相互間有一定的關系。2 規范變換l 規范：給定一組稱為一種規范；l 規范變換：不同規范之間滿足的變換關系稱為規范變換。兩種規范間的變換關系式：證明：由于和，和沒有改變電場和磁場強度，所以 ，即。又：=， 故l 規范不變性：在規范變換下電磁場的強度

4、、方程保持不變的性質。l 規范場：運動方程具有規范不變性的場稱為規范場。3 兩種規范要使勢函數減少任意性，必須給出，它的值被稱為規范的輔助條件。值選擇是任意的，但若選擇的好，可使電磁場的解簡單，基本方程對稱或物理意義明顯。庫侖規范 規范條件： （即定義為無源場）。在這一條件下的稱為庫侖規范。在庫侖規范下，為橫場，縱場。因此，電場的橫場部分完全有決定，而縱場部分完全有決定。在這種情況下，由電荷、電流的瞬時分布求解，與靜電場的電勢類似，因此稱為庫侖場。滿足的方程： （即滿足拉普拉斯方程）證明：，。洛侖茲規范規范條件：。后面將看到在洛侖茲規范下，所滿足的方程具有高度的對稱性，這種對稱性將滿足相對論的

5、協變性，有很重要的理論意義。滿足的方程： （即滿足波動方程）證明： =，。三 達朗貝爾方程1 真空中的達朗貝爾方程 證明：將， 代入麥克斯韋方程： 并利用： 得到達朗貝爾方程。（詳細證明過程由學生自己補齊）2 庫侖規范下的達朗貝爾方程可見滿足泊松方程，與靜電情況類似，即空間某處的在時刻的值由電荷在時刻的分布給出，不能直觀的反映電磁相互作用傳播是非超距的特性。3 洛侖茲規范下的達朗貝爾方程 l 反映了電磁場的波動性洛侖茲規范下的達朗貝爾方程是兩個波動方程，因此由它們求出的及均為波動形式，反映了電磁場的波動性。l 兩個方程具有高度的對稱性且相互獨立 求出一個解，另一個解就迎任而解。在下一節我們將看

6、到，洛侖茲條件下達朗貝爾方程的解直接反映出電磁相互作用需要時間?；谶@些考慮，在研究輻射問題時，一般都是采用洛侖茲條件下的達朗貝爾方程。4 用兩種規范求解平面電磁波（1）用庫侖規范求解因為是在自由空間討論問題，考慮解的唯一性，=0是唯一的解。庫侖規范下的達朗貝爾方程化為：， 其解為：，由可推出 。因此得到：（2）用洛侖茲規范求解從洛侖茲規范下的達朗伯方程直接可以得到矢勢和標勢的平面波解：，得到；由，和得到： ；由，得：，與上一章的解完全一致。如果加上這一條件，則得，兩種規范就完全一致了。在這種情況下，是唯一確定的。§5.2推遲勢本節討論空間存在電荷和電流分布情況下洛侖茲達朗伯方程的解

7、。一 標勢的達朗伯方程的解標勢方程中為已知。若較復雜，直接得到一般解比較困難。本節先從一個點電荷出發，然后由迭加原理得到解。1 點電荷在空間激發的標勢設點電荷處于原點，考慮對稱性取球坐標且與無關。標勢的達朗伯方程化為： 當時，令這個類似于一維波動方程的解可以表示為：則：，代表向外傳播的球面波，代表向內收斂的球面波。由于是討論輻射問題可令：，然后與點電荷的電勢類比有：。若點電荷不在原點而在空間點，則 。連續的電荷分布在空間產生的電勢二 矢勢的解1 矢勢的解由于滿足的方程形式上與滿足的方程一樣，所以的解應當是：2 、滿足洛侖茲條件 0。三 推遲勢及其物理意義1 推遲勢勢函數在空間點，時刻的值依賴于

8、時刻的電荷、電流分布，即空間勢的建立與場源相比推遲了。具有這樣特性的勢稱為推遲勢。2 電磁相互作用需要時間空間點，時刻的電磁場由時刻的電荷、電流分布決定。也就是說電荷、電流產生的物理作用是經歷了時間后才到達觀察點，即場的建立需要時間，而相互作用的傳播速度在真空中為C。§53電偶極輻射l 電磁波是從變化的電荷、電流系統輻射出來的。宏觀上，主要是利用載有高頻交變電流的天線產生輻射，微觀上，一個做變速運動的帶電粒子即可產生輻射。l 為了簡單，本節僅討論電荷分布以一定頻率做周期運動，且電荷體系線度遠遠小于電荷到觀測點的距離的情況。一 計算輻射場的一般公式設電荷、電流分布為隨時間做正弦或余弦變

9、化，即： 將此式代入推遲勢的公式后得到（）：令 ，則：上式表示一種時諧波，這是計算輻射場矢勢的一般公式。與穩恒電流磁場相比這里附加了一個因子 ，稱為推遲相因子。用同樣方法可以得到：=。根據洛侖茲條件可以得到矢勢與標勢的關系：，因此只要求出矢勢即可得到標勢。由上面的結果得到的電磁場也是時諧電磁場，即必然有：，如果討論的區域有關系式：。二 矢勢的展開1在小電荷、電流區域的級數展開設場點到小區域電荷、電流中某源點的距離（小區域的線度），則有（為坐標原點到場點的距離）。將在點展開： 其中為方向單位矢量。因為，所以僅取前兩項而舍去高次項得到： 所以 2求解的一般公式因為，所以分母中的可以舍去。但是要注意

10、，相因子中的不能輕易舍去。主要原因是：，相位相對不一定是小量。利用， 上式即為在的條件下輻射場的一般公式。當時，上式可以僅取積分中的第一項，有：，此式代表的是偶極輻射。3與的關系 在滿足，的前提下，按與的關系還可分為三種情況： （1）（近區），傳播時間（輻射場的周期）。在這一區域內變化電磁場與靜場性質類似。 （2）（感應區） 過度區域，電磁場的行為很復雜，本教材不涉及這方面的內容。 （3）（遠區） 電磁波在脫離了場源后的傳播區域，也是我們主要討論的內容。 三偶極輻射 1用表示偶極輻射矢勢公式由，考慮，得到偶極輻射矢勢公式： 2偶極輻射的電場強度和磁感應強度因為： （其中用到，），考慮遠區條件，

11、即, 所以有： ，于是。利用可以得到。由此我們得到在條件下偶極輻射的磁感應強度： 利用得到偶極輻射的磁感應強度： 若選球坐標，讓沿軸，則： 討論：（1）電場沿經線振蕩，磁場沿緯線振蕩，傳播方向、電場方向、磁場方向相互正交構成右手螺旋關系；（2）電場、磁場正比于，因此它是空間傳播的球面波，且為橫電磁波（TEM波），在 時 可以近似為平面波；（3）要注意如果（）不能被滿足，可以證明電場不再與傳播方向垂直，即電力線不再閉合，但是磁力線仍閉合。這時傳播的是橫磁波（TM波）四輻射能流、角分布和輻射功率l 平均能流密度矢量：l 角分布： l 平均功率：P=，與電磁波的頻率4次方成正比。§5.7電

12、磁場的動量電磁場與帶電物質之間存在相互作用，帶電物質在受到電磁場作用時動量會發生變化。由于動量守恒，電磁場必然也具有動量。一電磁場的動量密度和動量流密度矢量1. 帶電物體受到的電磁力 已知洛侖茲力公式：，則帶電物體受到的電磁力為：令代表帶電物體的動量，根據牛頓第二定律有：。2. 電磁場的動量守恒定律設在區域V電磁場的動量為。l 考慮全空間動量守恒，則在全空間帶電物體動量的增加率應該與電磁場動量的減少率相等，即： +l 若對于有限區間，則在區域V內 +，考慮電磁場通過界面發生動量轉移，則單位時間流入界面的動量應該等于區域內總動量的變化率，即：單位時間流入V內的動量=+。3. 用電磁場量表示洛侖茲力公式將麥氏方程代入洛侖茲力公式并考慮=0和=0=上式中：1）, 2）= =（）其中用到（考慮均勻介質）：l=，l3）同理：=（）由此得：+4. 動量密度與動量流密度張量令：, ，則洛侖茲力公式化為： 對帶電體系所在區域V積分得： 而根據動量守恒有：+，因為電磁場在V內的動量 ， 所以稱為動量密度（矢量）。因為單位時間流出V的動量流，