1、第 53 講立體幾何的綜合應用1. (2016 新課標卷I)如圖，已知正三棱錐 P-ABC 的側面是直角三角形，PA= 6,頂點 P 在平面ABC 內的正投影為點 D，D 在平面 RAB 內的正投影為點 E，連接 PE 并延長交 AB 于點 G.(1) 證明：G 是 AB 的中點；在圖中作出點 E 在平面 FAC 內的正投影 F(說明作法及理由)，并求四面體 PDEF 的 體積.IEE3I (1)證明：因為 F 在平面 ABC 內的正投影為 D,所以 AB 丄 FD.因為 D 在平面 FAB 內的正投影為 E,所以 AB 丄 DE.因為 FDADE = D,所以 AB 丄平面 FED，故 AB

2、 丄 PG.又由已知可得，FA = FB，所以 G 是 AB 的中點.(2) 在平面 FAB 內，過點 E 作 FB 的平行線交 FA 于點 F , F 即為 E 在平面 FAC 內的正投影.理由如下：由已知可得 FBIFA, FB 丄 FC,又 EF /FB,所以 EF 丄 FA, EF 丄 FC.又 FAAFC=F,因此 EF 丄平面 FAC,即點 F 為 E 在平面 FAC 內的正投影.連接 CG,因為 F 在平面 ABC 內的正投影為 D,所以 D 是正三角形 ABC 的中心.由(1)知，G 是 AB 的中點，所以 D 在 CG 上，斗2故 CD = 3CG.由題設可得 FC 丄平面

3、FAB, DE 丄平面 FAB,2 1所以 DE /FC，因此 FE = 3FG, DE = FC.由已知，正三棱錐的側面是直角三角形且FA = 6,可得 DE = 2, FE= 2 .2.在等腰直角三角形 EFF 中，可得 EF = FF = 2,1 14所以四面體 FDEF 的體積 V= -X-X2X2X2 =-.3 232. (2017 新課標卷n)如圖，四棱錐 F-ABCD 中，側面 FAD 為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=知，知，/BAD=ZABC=90證明：直線 BC/平面 PAD;(2)若厶 PCD 的面積為 2.：7，求四棱錐 P-ABCD 的體積.0131 (1

4、)在平面 ABCD 內，因為/ BAD =ZABC = 90 所以 BC /AD.又 BC?平面 PAD , AD?平面 PAD，故 BC /平面 PAD.(2)如圖，取 AD 的中點 M，連接 PM , CM._ _ 1由 AB= BC= 2AD 及 BC /AD，/ABC= 90。得四邊形 ABCM 為正方形，則 CM 丄 AD.因為側面 PAD 為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面 FAD 門平面 ABCD = AD，所以PM 丄 AD , PM 丄底面 ABCD.因為 CM?底面 ABCD，所以 PM 丄 CM.設 BC= x,貝UCM = x, CD = , 2x, PM = ,：

5、3x, PC = PD = 2x.如圖，取 CD 的中點 N,連 接PN,貝UPN 丄 CD ,所以 PN = -x.因為 PCD 的面積為 2 7，所以 2X:TxX-x = 2J7,解得 x=-2(舍去)或 x = 2.于是 AB = BC = 2, AD = 4, PM = 2 .3.12 2 + 4 廠 廠所以四棱錐 P-ABCD 的體積 V= 3X2X2 3 =4；3.3. (2014 新課標卷I)如圖，三棱柱 ABC-AiBiCi中，側面 BB1C1C 為菱形，BiC 的中點 為 0,且 AO丄平面 BB1C1C.(1) 證明：B1C 丄 AB;(2) 若 AC 丄 AB1,ZCB

6、B1= 60 BC= 1，求三棱柱 ABC-A1B1C1的高.03 (1)證明：連接 BC1,則 O 為 B1C 與 BC1的交點. 因為側面 BB1C1C 為菱形，所以 B1C 丄 BC1.又 AO 丄平面 BB1C1C,所以 B1C 丄 AO,故 BQ 丄平面 ABO.由于 AB?平面 ABO，故 B1C 丄 AB.作 0D 丄 BC,垂足為 D,連接 AD.作 OH 丄 AD，垂足為 H. 由于 BC 丄 AO, BC丄 OD，故 BC 丄平面 AOD,0.n 所以 OH 丄 BC.又 OH 丄 AD，所以 OH 丄平面 ABC.因為/CBBi= 60 所以 CBBi為等邊三角形,又 B

7、C= 1,可得 OD由于 AC 丄 ABi，所以由 OH AD = OD OA,得 OH =浮又 O 為 B1C 的中點,4.(2017 新課標卷川)如圖，四面體 ABCD 中， ABC 是正三角形，AD(1)證明：AC 丄 BD ;(2)已知 ACD 是直角三角形，AB= BD，若 E 為棱 BD 上與 D 不重合的點, 求四面體 ABCE 與四面體 ACDE 的體積比.(1)如圖，取 AC 的中點 O,連接 DO, BO.因為 AD = CD，所以 AC 丄 DO.又由于 ABC 是正三角形，所以 AC 丄 BO.BOnDO = O，從而 AC 丄平面 DOB , BD?平面 DOB ,故 AC 丄 BD.連接 EO.由(1)及題設知/ ADC = 90 在Rt AOB 中，BO2+ AO2=1 1OA =尹1C=2且 AD = ,.OD2+ OA2=47,所以點 B1到平面 ABC 的距離為.217故三棱柱 ABC-A1B1C1的高為217CD.且 AE 丄 EC,又 AB= BD，所以 BO2+ DO2= BO2+ AO2= AB2= BD2,故/DOB = 90 1 由題設知厶 AEC 為直角三角形，所以 EO= AC.又ABC 是正三角形，所以 AC = AB,1 又 AB=