1、第九章 重積分§1二重積分的概念與性質1 根據重積分的性質，比較下列積分的大小.與，其中積分區域是：(1)以，為頂點的三角形區域；解：在以，為頂點的三角形區域內顯然有故在三角形區域內即，351故(2)矩形區域：.解：矩形區域：內顯然有故在矩形區域內即，故2利用二重積分的性質，估計下列積分的值.（1），其中是矩形區域：；解：在矩形區域：內，故，即：得（2），其中.解：在中，即得2 設是平面上有界閉區域，在上連續。證明若在上非負，且，則在上證明：若不恒為零，則不妨設有內點使得，由在連續得，故對，存在的某個領域，使得有即在上。故其中為的面積。這與矛盾，故在上§2 二重積分的計算1

2、畫出下列積分區域的草圖，并將區域分別用不等式表示為型區域以及型區域的形式.1-1（1）由直線：圍成；型區域2型區域（2）由曲線圍成；型區域1212型區域（3）由圍成；型區域,型區域（4）.X-型區域；Y-型區域，其中，2計算下列二重積分（1），由，所圍成；解：法一。法二11-11-1（2），；解：311-1（3），由曲線與所圍成；解：法二：關于軸對稱，函數即關于是偶函數。故，其中（4），.解：記住公式：（5），由，和所圍成；12解：；3化二重積分為兩種不同積分次序的二次積分，其中積分區域為：44（1）由所圍成的閉區域；型區域，故=型區域，故=（2）由軸及上半圓周所圍成的閉區域；型區域，故=型區

3、域，故=（3）環形閉區域：.型區域故=型區域故=11（的極坐標為故）4計算下列二次積分（1）；解：設，則124（2）.解：設，則125改變下列二次積分的積分次序.（1）；解：設=（2）642解：設=6如果二重積分的被積函數能分解為的函數與的函數的乘積，即，且積分區域為矩形區域：，證明二重積分等于兩個定積分的乘積，即證明：.7把二重積分化為極坐標系下的二次積分，其中積分區域分別為：4（1）；解：區域的極坐標表示為：。故=（2）；1解：區域的極坐標表示為：。故=（3）.解：區域的極坐標表示為：。故=8計算下列二重積分(1)，其中是圓域在第一象限部分；分析用極坐標表示簡單，且被積函數為的函數，選擇極

4、坐標計算。解：，則(2)，由曲線所圍成的閉區域；分析：雖然積分區域是圓域，但這個圓域用極坐標表示較為困難。故直接用極坐標不方便。（采用換元法）解：令則，其中由曲線所圍成的閉區域。法一：利用對稱性法二：利用極坐標(3)，其中是由圓周及直線所圍成的在第一象限內的閉區域.解：，則9選擇適當的坐標計算下列各題：1212（1），其中是由直線及曲線所圍成的閉區域；解：將寫成型區域，則（2），由曲線以及直線圍成；解：關于軸對稱，且被積函數關于是奇函數，故。（注意：若寫成極坐標為1-122）（3），為矩形區域：；（提示考慮在定義域中添加輔助曲線，去除絕對值號）解：D1D2aa計算，令令故10設在上連續，證明：

5、（提示：利用積分的性質和題6的結論）證明：其中是如圖的正方形區域，(最后一個等式是根據定積分與積分記號無關)故（注：的證明設，同理：，故）11設為上的連續函數，且，證明：.（提示：利用定積分與積分變量的符號無關以及不等式）證明：由有其中，又（根據定積分與積分記號無關）則§3 三重積分的計算1 化三重積分為三次積分，其中積分區域分別是：（用求圍定頂法時，最好結合圖形）（1） 由雙曲拋物面及平面所圍成的閉區域.分析：（若用求圍定頂法）在面圍不成閉區域，又則在面圍成閉區域，故這個區域就是圍，自然頂為解故=（2） 由曲面及平面所圍成的閉區域；分析：（若用求圍定頂法），在面圍成閉區域，故這個區

6、域就是圍，自然頂為。是上半圓錐解故=（3） 由曲面及所圍成的閉區域；分析：（若用求圍定頂法），在面橢圓圍成閉區域，故這個區域就是圍，在時，故頂為。解故（4） 由曲面，所圍成的在第一卦限內的閉區域.分析，在面圍成閉區域，故這個區域在第一卦限的區域就是圍，自然頂為解故2 計算下列三重積分：（1），是以（0，0，0），（1，0，0），（0，2，0），（0，0，3）為頂點的四面體；解：點（1，0，0），（0，2，0），（0，0，3）確定的平面為（2），是由曲面與平面和所圍成的閉區域；分析：在面不圍成閉區域，又，則在面圍成閉區域，它就是圍。顯然為頂解：，故（3），為第一卦限內的球面及三個坐標面所圍成的閉

7、區域；分析：若采用球坐標被積函數在球坐標下表達式復雜，由與區域朝投影的投影區域用極坐標表示簡單，故對三重積分可采用柱坐標。由，故極坐標為解：的采用柱坐標為，又故（4），是由平面以及拋物柱面所圍成的閉區域；（提示：此題積分區域不易畫出，可根據給定區域的邊界曲面方程，直接確定積分變量的上、下限.若先對變量積分，與有關的曲面為和，故，其它變量類似.）分析：，在在面圍成閉區域，故該閉區域是圍，顯然為頂解：，故：（最后一個等號利用定積分的對稱性）（5），是由錐面與平面所圍成的閉區域.分析：被積函數僅是的函數，且是圓域。故采用先二后一的方法。解：是型，其中是圓域的面積3如果三重積分的被積函數能分解為的函數

8、、的函數以及的函數的乘積，即，且積分區域為長方體：，證明三重積分等于三個定積分的乘積，即 證明：由為長方體：，4利用柱面坐標計算下列三重積分：（1），是由曲面及所圍成的閉區域；分析：由，即圍成的區域是圍，頂為由：可得的柱坐標：。解：的柱坐標：，又由得=（2），是由曲面及平面所圍成的閉區域.分析：由，即圍成的區域是圍，頂為由：可得的柱坐標：解：的柱坐標：，又得5利用球面坐標計算下列三重積分（1），是由曲面所圍成的閉區域；解：由，的球坐標為，得（2），是由和，所圍成的閉區域.解：由，的球坐標為，得6選用適當的坐標計算下列三重積分（1），為柱面及平面所圍成的在第一卦限內的閉區域；解：的柱坐標：，由：

9、得故：（2），是由與所圍成的閉區域；解：（3）；（提示：可考慮利用三重積分的對稱性）接：關于面對稱，被積函數，即關于是奇函數。故§4 重積分的應用1 利用三重積分，計算下列曲面所圍成的立體的體積：（1）及；解：由得，即，故在面投影為：，故（2）及；解：由得，即，故在面投影為：故（3）及；解：由得，即，故在面投影為：，故（4），及.解：是以為頂以為底的曲頂柱體。2：在半徑為的球上打一半徑為的圓柱形穿心孔，孔中心軸為球直徑，求穿孔后球體剩余部分的體積.設孔壁高為，證明此體積僅與的值有關.（提示：先建立空間直角坐標系.）解：以球心為原點，三條相互垂直的直徑所在直線為坐標軸。設挖掉部分的體積

10、為，記，則又，故， 所以剩余部分體積，僅與高度有關。3求下列曲面的面積.（1） 球面含在柱面內部的曲面面積；解：設球面含在柱面在上面部分為，則，其中是面上所圍區域。=，故（2） 錐面被柱面所割下部分的曲面面積；解：由得，故錐面被柱面所割下部分的曲面記為投影為在圍成區域記為，即。故（3） 底圓半徑相等的兩個直交圓柱面及所圍立體的表面積.Dy = 0x SS= 0RRxz y0解：在第一卦限顯然，故，其中，為在所圍區域在第一卦限部分。4：求平面圖形的形心，其中：.（注意是橢圓的第一卦限部分）解：5設密度為的均勻薄片所占區域為，求轉動慣量.，其中為區域的第一卦限部分6：密度為的均勻物體占有的閉區域由

11、曲面和平面所圍成.（1） 求物體的體積；（2） 求物體的重心；（3） 求物體關于軸的轉動慣量.解：（1）閉區域是以曲面為頂，以區域為底的曲頂柱體，其中由在圍成。故（2）由對稱性可知道。（3）第九章 自測題1設把化為極坐標形式的二次積分.解：（這里理解為兩個圓域的公共部分）2交換積分順序：（1）；解：記，故（2）.解：記，故3證明：（提示：交換積分次序.）證明：記，。故：=4設是有界閉區域上的連續函數，求的極限.（提示：在極坐標系下，將積分 轉化為關于的積分變限函數，再利用洛必達法則.）解：=5由與圍成的閉區域，計算. (提示：利用對稱性可簡化計算.)解：關于面和面對稱，故=（其中為在平面上 所圍區域）6計算三次積分解：記，則=7求曲面上點（1，1，3）處的切平面與曲面所圍立體的體積.解：曲面上點（1，1，3）處的法向量為