1、l 習題及參考答案5.1 一個點電荷Q與無窮大導體平面相距為d，如果把它移動到無窮遠處，需要作多少功？解：用鏡像法計算。導體面上的感應電荷的影響用鏡像電荷來代替，鏡像電荷的大小為-Q，位于和原電荷對稱的位置。當電荷Q離導體板的距離為x時，電荷Q受到的靜電力為 靜電力為引力，要將其移動到無窮遠處，必須加一個和靜電力相反的外力在移動過程中，外力f所作的功為當用外力將電荷Q移動到無窮遠處時，同時也要將鏡像電荷移動到無窮遠處，所以，在整個過程中，外力作的總功為。也可以用靜電能計算。在移動以前，系統的靜電能等于兩個點電荷之間的相互作用能：移動點電荷Q到無窮遠處以后，系統的靜電能為零。因此，在這個過程中，

2、外力作功等于系統靜電能的增量，即外力作功為。y-qqd52 一個點電荷放在直角導體內部（如圖5-1），求出所有鏡像電荷的位置和大小。a解：需要加三個鏡像電荷代替x導體面上的感應電荷。在（-a，d）qq處，鏡像電荷為-q，在（錯誤！鏈接無效。）處，鏡像電荷為q，在（a，-d）處，鏡像電荷為-q。 圖5-153 證明：一個點電荷q和一個帶有電荷Q、半徑為R的導體球之間的作用力為 其中D是q到球心的距離（DR）。證明：使用鏡像法分析。由于導體球不接地，本身又帶電Q，必須在導體球內加上兩個鏡像電荷來等效導體球對球外的影響。在距離球心b=R2/D處，鏡像電荷為q= -Rq/D；在球心處，鏡像電荷為。點電

3、荷q受導體球的作用力就等于球內兩個鏡像電荷對q的作用力，即 54 兩個點電荷+Q和-Q位于一個半徑為a的接地導體球的直徑的延長線上，分別距離球心D和-D。（1）證明：鏡像電荷構成一電偶極子，位于球心，偶極矩為2a3Q/D2。（2）令Q和D分別趨于無窮，同時保持Q/D2不變，計算球外的電場。解：（1）使用導體球面的鏡像法疊加原理分析。在球內應該加上兩個鏡像電荷：一個是Q在球面上的鏡像電荷，q1 = -aQ/D，距離球心b=a2/D；第二個是-Q在球面上的鏡像電荷，q2 = aQ/D，距離球心b1=-a2/D。當距離較大時，鏡像電荷間的距離很小，等效為一個電偶極子，電偶極矩為（2）球外任意點的電場

4、等于四個點電荷產生的電場的疊加。設+Q和-Q位于坐標z軸上，當Q和D分別趨于無窮，同時保持Q/D2不變時，由+Q和-Q在空間產生的電場相當于均勻平板電容器的電場，是一個均勻場。均勻場的大小為，方向在-ez。由鏡像電荷產生的電場可以由電偶極子的公式計算： 55 接地無限大導體平板上有一個半徑為a的半球形突起，在點（0，0，d）處有一個點電荷q（如圖5-5），求導體上方的電位。qz解：計算導體上方的電位時，要保持d導體平板部分和半球部分的電位都為aq2b零。先找平面導體的鏡像電荷q1 = -q，-bq3位于（0，0，-d）處。再找球面鏡像q1-d電荷q2 = -aq/d，位于（0，0，b）處，b=

5、 a2/d。當疊加這兩個鏡像電荷和原電荷共同產生的電位時，在導體平面上和 圖5-5球面上都不為零，應當在球內再加上一個鏡像電荷q 3 =aq/d，位于（0，0，-b）處。這時，三個鏡像電荷和原電荷共同產生的電位在導體平面和球面上都為零。而且三個鏡像電荷在要計算的區域以外。導體上方的電位為四個點電荷的疊加，即其中56 求截面為矩形的無限長區域（0xa，0yb）的電位，其四壁的電位為 解：由邊界條件知，方程的基本解在y方向應該為周期函數，且僅僅取正弦函數，即 在x方向，考慮到是有限區域，選取雙曲正弦和雙曲余弦函數，使用邊界條件，得出僅僅選取雙曲正弦函數，即 將基本解進行線性組合，得 待定常數由x=

6、a處的邊界條件確定，即使用正弦函數的正交歸一性質，有 化簡以后得=求出系數，代入電位表達式，得57一個截面如圖5-7所示的長槽，向y方向無限延伸，兩則的電位是零，槽內y，0，底部的電位為y=0=U0x求槽內的電位。=0解：由于在x=0和x=a兩個邊界的電位為零，故在x方向選取周期解，a且僅僅取正弦函數，即 圖5-7在y方向，區域包含無窮遠處，故選取指數函數，在y時，電位趨于零，所以選取由基本解的疊加構成電位的表示式為由基本解的疊加構成電位的表示式為待定系數由y=0的邊界條件確定。在電位表示式中，令y=0，得當n為奇數時，當n為偶數時，。最后，電位的解為57 若上題的底部的電位為重新求槽內的電位

7、。解：同上題，在x方向選取正弦函數，即，在y方向選取。由基本解的疊加構成電位的表示式為將y=0的電位代入，得應用正弦級數展開的唯一性，可以得到n=3時，其余系數，所以y59 一個矩形導體槽由兩部分構成，如圖5-9所示，兩個導體板的電位分別是U0和零，求槽內的電位。=U0a解：將原問題的電位看成是兩個電位的疊加。一個電位與平行板電容器的電位相同（上板電位為U0，下=U0板電位為零），另一個電位為U，即x 圖5-9其中，U滿足拉普拉斯方程，其邊界條件為y=0 , U=0 y=a , U=0x=0時,x時，電位U應該趨于零。U的形式解為 待定系數用x=0的條件確定。 化簡以后，得到 =只有偶數項的系數不為零。將系數求出，代入電位的表達式，得510 將一個半徑為a的無限長導體管平分成兩半，兩部分之間互相絕緣，上半(0）接電壓U0，下半（1的各項，得由此解出。最終得到圓柱內、外的電位分別是電場強度分別為514 在均勻電場中，設置一個半徑為a的介質球，若電場的方向沿z軸，求介質球內、外的電位、電場（介質球的介電常數為，球外為空氣）。解：設球內、外電位解的形式分別為 選取球心處為電位的參考點，則球