1、第十章 無窮級數教學課題第一節常數項級數的概念和性質 教學重點級數收斂與發散概念和收斂必要條件教學難點判斷級數的斂散性大綱要求了解級數收斂與發散的概念，無窮級數基本性質及收斂的必要條件。能判斷級數的斂散性基 本 內 容無窮級數是高等數學的重要組成部分，它在現代數學方法中具有重要地位，是表示函數、研究函數性質以及進行數值計算的工具本章在介紹數項級數、函數項級數基本內容的基礎上，討論冪級數、傅立葉級數及簡單應用。一、常數項級數的概念 1、引例引例1 用圓內接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內接正邊形,設a0表示內接正三角形面積, ak 表示邊數增加時增加的面積,則圓內接正邊形的面積為,時，這個和逼

2、近于圓的面積A，即。引例2 1703年，數學家格蘭第研究了11+11+11+ 的和（有無窮多個加數，1和-1交替出現）。Bagni在一所理工科中學對88名16-18歲、尚未學過無窮級數概念（但已學過無窮集合概念）的高中生進行過一次測試,測試結果如下表：答案00或1不存在1/21無窮未給出答案人 數2618543230百分比29%20%6%5%4%2%34%2定義:（1）形如（其中每個是實數）的式子叫做（實）常數項無窮級數，簡稱（數項）級數，簡記為，即=，其中叫做級數的一般項。（2）級數的前項和稱為級數的前項部分和；稱為部分和數列，記。（3）如果級數的部分和數列有極限, 即 則稱無窮級數收斂,這

3、時極限叫做級數的和.并寫成，如果沒有極限,則稱無窮級數發散.當級數收斂時,稱差值為級數的余項，顯然例1 討論等比級數(幾何級數)的收斂性。解，收斂發散，發散，故發散綜上例2判別下列級數的斂散性:解:(1)時，證明級數是收斂的.所以級數(1) 發散。（2）二、無窮級數的基本性質 性質1若級數收斂,其和為，則亦收斂，且其和為，為常數。證: 令則結論：若，則級數與同時收斂、同時發散.性質2.設有兩個收斂級數，則級數也收斂, 其和為證: 令，這說明級數也收斂,其和為結論：(1)收斂級數可以逐項相加與逐項相減。(2)若兩級數、中一個收斂一個發散,則必發散。(用反證法可證)(3)若兩級數、都發散,則不一定

4、發散。例如,設都發散，但卻收斂。性質3在級數中加上、去掉或改變有限項,不影響級數的斂散性。證:設級數的部分和數列為，去掉其前k 項,所得新級數為，其部分和數列,由于時,與的斂散性一致, 故新舊兩級數斂散性相同。 當級數收斂時,其和的關系為。類似可證其它情況 。性質4.對收斂級數任意加括號后，所得的級數仍收斂，且和不變。證:設收斂級數的部分和數列為，加括號后級數為則新級數的部分和數列因此有推論: 若加括弧后的級數發散, 則原級數必發散.注意: 收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂.例如，但發散。例4.判斷級數的斂散性。解:考慮加括號后的級數項通，發散 ,從而原級數發散。性質5（級數收斂的必要條件

5、）設收斂級數則必有證:，注:若級數的一般項不趨于0 ,則級數必發散。例如,其一般項為，當時,不趨于0,因此這個級數發散。注:并非級數收斂的充分條件.如,調和級數，雖然但此級數發散。事實上,假設調和級數收斂于S , 則，但矛盾!所以假設不真。例5.判斷下列級數的斂散性, 若收斂求其和:解:(1)令則，故，從而這說明級數(1)發散。(2)因為說明原級數收斂,其和為。(3)，故這說明原級數收斂,其和為3。三、柯西收斂準則定理.級數收斂的充要條件是:當時，有證:設所給級數部分和數列為收斂收斂，所以,由數列收斂的柯西準則，有 收斂例6.利用柯西收斂準則判別級數的斂散性。 解:有取當nN時,都有由柯西收斂

6、準則可知,級數收斂。小結：一、常數項級數的概念級數的收斂的定義；級數的部分和與和。二、無窮級數的基本性質判斷級數的斂散性；級數收斂的必要條件;求級數的和。三、柯西收斂準則思考題：設與都收斂，且，能否推出收斂？練習題一、填空題:1、若,則=_；2、若,則=_；3、若級數為則_；4、若級數為則_；5、若級數為 則當_時_；當_時_；6、級數,當_時收斂；當_時發散 .二、由定義判別級數的收斂性.三、判別下列級數的收斂性:1、；2、；3、.作業P144 1，2，3，4，5.備注欄第十章 無窮級數教學課題第二節常數項級數的審斂法教學重點掌握正項級數的比值審斂法。掌握和p-級數的收斂性。教學難點正項級數

7、的比較審斂法大綱要求了解正項級數的比較審斂法，掌握正項級數的比值審斂法。掌握p-級數的收斂性。基 本 內 容一、正項級數審斂法定義1若，則稱級數為正項級數定理1正項級數收斂的充分必要條件是它的部分和數列有上界。證:（必要性）若收斂,則收斂,故有界，因而有上界。（充分性）部分和數列單調遞增,又已知有上界，而以0為下界，所以有界。由單調有界定理知收斂，從而收斂。定理2(比較審斂法)設和均為正項級數，若都有，則有(1)如果級數收斂，那么級數也收斂；(2)如果級數發散，那么級數也發散。證:因在級數前加、減有限項不改變其斂散性,故不妨設對一切都有令和分別表示和的部分和,則有(1)若級數收斂，則其部分和有

8、上界，即，即數列有上界，由定理1知收斂。(2)為(1)的逆否命題，故成立。例1.討論p級數(常數p>0)的斂散性。解:1)若因為對一切,而調和級數發散,由比較審斂法可知 p 級數發散。2)若因為當時,故考慮級數的部分和故級數收斂,由比較審斂法知p級數收斂。結論：若都有則發散；則收斂。例2.證明級數發散。證:而級數發散，根據比較審斂法可知,所給級數發散。定理3.(比較審斂法的極限形式)設兩正項級數滿足則有(1)當0< l< 時,兩個級數同時收斂或發散；(2)當l =0且收斂時，也收斂；(3)當l =且發散時，也發散。證:l 時，由極限的定義,有即(1)當0< l<

9、時,取由定理 2 可知與同時收斂或同時發散；(2)當l =0時,利用由定理2知若收斂時，也收斂；(3)當l =時，由極限的定義,當時，即，由定理2可知,若發散時，也發散。特別地，取對正項級數設，則有:例3.判別級數的斂散性 。解:,根據比較審斂法的極限形式知發散。例4. 判別級數的斂散性。解:根據比較審斂法的極限形式知收斂。定理4（比值審斂法）(Dalembert判別法)設是一個正項級數，且，則(1)當時，級數收斂；(2)當（或）時，級數發散；(3)當時，級數可能收斂，也可能發散 證明：(1)當時，取使由知，當時，收斂 ,由比較審斂法可知收斂。(2)當或時,必存在當時,從而,因此所以級數發散。

10、（3）當時，例如,p級數，但時級數收斂,時，級數發散。例5.討論級數的斂散性。解:,根據定理4可知:(1)當時，級數收斂；(2)當時，級數發散；(3)當時，級數發散。定理5.根值審斂法 (Cauchy判別法)設是一個正項級數，且則(1)當時，級數收斂；(2)當（或）時，級數發散；(3)當時，級數可能收斂，也可能發散 例6.證明級數收斂于S,并估計以部分和近似代替和S時所產生的誤差。證:由定理5可知該級數收斂。令則所求誤差為二、交錯級數及其審斂法 定義2形如或（其中）的級數稱為交錯級數交錯級數具有下列重要結論：定理6（萊布尼茨判別法）如果交錯級數滿足條件：（1）；（2）則級數收斂，且其和，其余項

11、的絕對值。證:單調遞增，有上界，故，又故級數收斂于S,且的余項例7判斷交錯級數的斂散性解: 因為交錯級數中，它滿足條件：（1）；（2）由定理6知，所給級數收斂。此級數稱為萊布尼茨級數以后將此級數作為標準級數，應熟記三、絕對收斂與條件收斂定義3 如果級數收斂，且級數也收斂，則稱級數絕對收斂；如果級數收斂，而級數發散，則稱級數條件收斂。例如：為條件收斂，均為絕對收斂。對于一般的任意項級數沒有判斷其收斂性的通用方法，對于任意項級數的收斂性問題，通常是化為研究級數的斂散性問題，即轉化為正項級數的斂散性問題下面討論級數與斂散性之間的關系。定理7絕對收斂的級數一定收斂。證:設收斂，令顯然,且根據比較審斂法

12、收斂,而、都收斂，所以也收斂。注：如果級數發散時，級數不一定發散。例如級數是發散的，但級數卻是收斂的。例8證明下列級數絕對收斂:(1)； (2) 解:(1)由于，而等比級數是收斂的，由正項級數的比較審斂法知，級數收斂，因此級數絕對收斂。(2)因為所以由正項級數的比值審斂法，得級數絕對收斂。絕對收斂級數與條件收斂級數具有完全不同的性質。*定理8.絕對收斂級數不因改變項的位置而改變其和。*定理9.( 絕對收斂級數的乘法 )設級數與都絕對收斂,其和分別為則對所有乘積按任意順序排列得到的級數也絕對收斂,其和為證明略。需注意條件收斂級數不具有這兩條性質。小結1.利用部分和數列的極限判別級數的斂散性2.利

13、用正項級數審斂法收斂的必要條件比值審斂法，根值審斂法收斂，發散，時，用其它方法判別：比較審斂法，求部分和極限，積分判別法等。3. 任意項級數審斂法概念：設收斂。若收斂，則稱絕對收斂；若發散，則稱條件收斂。Leibniz判別法:若1）；2）則交錯級數收斂。作業 P150-151 1 ， 2 ,3 ，4，5 備注欄第十章 無窮級數教學課題第三節 冪級數教學重點冪級數收斂域及和函數的求法教學難點求冪級數的和函數大綱要求了解函數項級數的收斂域及和函數的概念了解冪級數在其收斂區間內的一些基本性質基 本 內 容一、函數項級數的概念定義1 設是定義在區間上的函數列，則稱為定義在區間I上的函數項級數對于區間內

14、每一點，函數項級數既為常數項級數若級數收斂，則稱點x0為函數項級數的收斂點，級數的收斂點的全體，稱為該級數的收斂域若級數發散，則稱點x0為函數項級數的發散點對收斂域內每一點，都有一確定的和與之對應，因此，在收斂域內，的和是的函數，稱這個函數為的和函數，記為，即在收斂域內總有例如等比級數為區間上的函數項級數，它的公比為我們由等比級數的斂散性知道，當且僅當時，這個級數收斂；當時，這個級數發散即當時，級數收斂，在區間以外的點處，級數都發散所以它的收斂域為區間，其和函數為二、冪級數及其收斂性 定義2.形如的函數項級數叫做冪級數,簡稱冪級數,其中是某個定數,叫做冪級數的系數.定理(Abel定理)如果級數

15、在處收斂,則它在滿足不等式的一切處絕對收斂;如果級數在處發散,則它在滿足不等式的一切處發散.證明而有一點適合使級數收斂,由(1)結論則級數當時應收斂,這與所設矛盾.推論當冪級數的收斂域不是單點集時，（1）如果是有界集，則必有一個確定的正數，使得當時,冪級數絕對收斂;當時,冪級數發散; 當時,冪級數可能收斂也可能發散.（2）如果是無界集，則=。正數R稱為冪級數的收斂半徑，并把開區間叫做冪級數的收斂區間。根據冪級數在的收斂性，決定收斂域為其中哪一個。規定 (1) 冪級數只在處收斂,收斂區間;(2) 冪級數對一切都收斂,收斂區間.問題 如何求冪級數的收斂半徑?定理2.如果冪級數的系數滿足，則冪級數的

16、收斂半徑R為(1)當時,;(2)當時,;(3)當時,.證明： 由比值審斂法,從而級數絕對收斂， 定理證畢.例1 求下列冪級數的收斂域:；解 該級數收斂該級數發散，故收斂域是.收斂區間.，故收斂域為。例2求冪級數的收斂半徑。解:由于冪級數缺少偶次冪項，即系數故相鄰兩項的系數的比值當是偶數是沒有意義，因此不能用上述方法求收斂半徑。下用正項級數的比值審斂法直接求收斂半徑：考慮級數，因為，故當時，級數絕對收斂；當，級數發散，故收斂半徑例3求冪級數的收斂域.解令，原級數變為，因為=，所以收斂半徑。當時，級數為；當，級數為，當時它們的一般項均不趨于零，故這兩級數都是發散的。因此收斂域是，即原級數的收斂域為

17、，或寫成。所以原級數收斂域是。三、冪級數的運算(1) 加減法(其中(2)乘法(其中(3) 除法(相除后的收斂區間比原來兩級數的收斂區間小得多)定理4若冪級數的收斂半徑,則其和函數在收斂域上連續,且在收斂區間內可逐項求導與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同。即例4求冪級數的和函數.解:由例1可知級數的收斂半徑R+.設，則故有，因此有，由得故例5求冪級數的和函數.解:易求出冪級數的收斂半徑為1 ,x±1時級數發散，例6求冪級數的和函數.解：易求出冪級數的收斂半徑為1,且x=-1時級數收斂，x=1時級數發散。得冪級數的收斂域為。當時，設和函數而，于是例7求數項級數的和。解:設則而，故小結1.

18、求冪級數收斂域的方法1)對標準型冪級數，先求收斂半徑，再討論端點的收斂性。2)對非標準型冪級數(缺項或通項為復合式)，求收斂半徑時直接用比值法或根值法,也可通過換元化為標準型再求。2.冪級數的性質1）兩個冪級數在公共收斂區間內可進行加、減與乘法運算；2)在收斂區間內冪級數的和函數連續；3)冪級數在收斂區間內可逐項求導和求積分。常用冪級數的和函數作業：P163 1 ，2，3，4備注欄第十章 無窮級數教學課題第四節函數展開成冪級數教學重點掌握函數展成泰勒級數的公式、條件及方法教學難點函數展成冪級數的間接方法大綱要求了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件，會利用已知展開式將一些簡單的函數間接展開成冪級

19、數。基 本 內 容一、泰勒級數定理1（泰勒中值定理）如果函數在的某鄰域內有直至階導數，則對此鄰域內的任意點，有其中（在與之間）稱上式為在處的階泰勒公式；系數，稱為泰勒系數，多項式稱為階泰勒多項式；，（在與之間）稱為階泰勒公式的拉格朗日型余項，且當時，它是比高階的無窮小如果設在的某鄰域內具有任意階的導數，則可以寫出級數稱為在處的泰勒級數，或稱在處展開的泰勒級數當時,泰勒級數又稱為麥克勞林級數。問題：只要在的某鄰域內具有任意階導數，我們都可寫出它的泰勒級數但這個泰勒級數在的某鄰域內是否收斂？如果收斂，是否收斂于？ 定理2在點的泰勒級數,在內收斂于在內. 證：記,則,必要性）,充分性) , ,定理3

20、.如果函數在內能展開成的冪級數,即則展開式是唯一的，其系數。證：逐項求導任意次,得泰勒系數泰勒系數是唯一的, 注：函數f(x)的泰勒級數不一定收斂到自身。例如：在x=0點任意可導,的麥克勞林級數為，其在內的和函數為可見，除外，的麥克勞林級數處處不收斂于自身。定理4 設在上有定義,對,恒有,則在內可展開成點的泰勒級數.證：所以在內可展開成點的泰勒級數。二、函數展開成冪級數 1.直接法(泰勒級數法)步驟: （1）求(2)寫出泰勒級數,并求出其收斂半徑R；（3）判別在收斂區間(R,R)內是否為零或是否有界。例1將展開成x的冪級數。解： 其收斂半徑為,在上，由于M的任意性,即得例2將展開成x冪級數。解

21、:且例3將展開成x冪級數。解利用兩邊積分得即注意: 2.間接法根據唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導, 逐項積分等方法,求展開式。例如例4將展開成x冪級數。解:因為把x換成,得例5將展開成x冪級數。解:,從0到x積分,得注：上式右端的冪級數在x 1收斂,而ln(1+x)在x=1有定義且連續,所以展開式對x1也是成立的,于是收斂區間為(-1,1),x=1時，例6.將展成的冪級數。解:三、小結1.如何求函數的泰勒級數；2.泰勒級數收斂于函數的條件；3.函數展開成泰勒級數的方法；(1)直接展開法利用泰勒公式；(2)間接展開法利用冪級數的性質及已知展開式的函數。4.常用

22、函數的冪級數展開式：作業:P163 5，6備注欄第十章 無窮級數教學課題第五節 傅立葉級數教學重點函數展開為傅里葉級數的狄利克雷條件教學難點函數展開為傅里葉級數大綱要求了解函數展開為傅里葉級數的狄利克雷條件基 本 內 容一、三角級數及三角函數系的正交性簡單的周期運動:(諧波函數)稱A為振幅,w為角頻率,為初相。復雜的周期運動:，是諧波的迭加。令，得函數項級數1、定義1函數項級數稱為三角級數，其中常數稱為此三角級數的系數我們僅討論三角級數中的一種：傅立葉級數我們研究把一個函數表示成三角級數所需要的條件，以及在條件滿足以后如何展開成三角級數的問題。2、三角函數系的正交性定理 1.組成三角級數的函數

23、系在上正交。即其中任意兩個不同的函數之積在上積分等于零。證：注：在三角函數系中兩個相同的函數的乘積在上的積分不等于0.且有 ，二、函數展開成傅里葉級數問題:（1）如果函數已表示成三角級數，那么級數中的系數怎樣確定？(2)的傅立葉級數收斂于的條件是什么？定理2.設f (x)是周期為2p的周期函數,且右端級數可逐項積分,則有，證：定義2由或所確定的的稱為函數f(x)的傅里葉系數，級數稱為傅里葉級數。定理3 (收斂定理,展開定理)（狄利克雷(Dirichlet)充分條件）設是以為周期的周期函數.如果它滿足條件:在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點,并且至多只有有限個極值點,則的傅里葉級數收斂,并

24、且（1）當是的連續點時,級數收斂于;（2）當是的間斷點時,收斂于。(證明略 )注意：函數展開成傅里葉級數的條件比展開成冪級數的條件低的多.例1設 f (x) 是周期為 2p 的周期函數 ,它在上的表達式為，將其展開為傅立葉級數。解：先求傅里葉系數時，；當時，所求函數的傅氏展開式為注:根據收斂定理可知,當時,級數收斂于對于非周期函數,如果函數只在區間上有定義,并且滿足狄氏充分條件,也可展開成傅氏級數.作法: 例2將函數展開為傅立葉級數.解 所給函數滿足狄利克雷充分條件。拓廣的周期函數的傅氏級數展開式在收斂于.所求函數的傅氏展開式為利用傅氏展開式求級數的和三、正弦級數和余弦級數1.周期為2p的奇、偶函數的傅里葉級數定理4 如果是上的周期為的奇函數，它的傅里葉系數為，由此所確定的傅里葉級數稱為正弦級數如果是上的周期為的偶函數，它的傅里葉系數為，由此所確定的傅里葉級數稱為余弦級數例3 設f(x)是周期為2p的周期函數,它在上的表達式為f (x)x,將f(x)展成傅里葉級數。解:若不計則f (x)是周期為2p的奇函數,因此，根據收斂定理可得f (x)的正弦級數:2.在0,p上的函數展成正弦級數與余弦級數對于定義在區間上且滿