1、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽答卷A 題摘 要 本文討論了車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。根據(jù)光學(xué)原理，我們不考慮線光源的直射光的影響，以線光源的長度最短作為優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)。對問題一我們建立了兩個數(shù)學(xué)模型。在模型一中，我們認(rèn)為：（1） 線光源很短，可認(rèn)為線光源就在焦點(diǎn)附近；（2）光源距離屏幕很遠(yuǎn)，可認(rèn)為是無窮遠(yuǎn)這兩點(diǎn)展開討論。首先對光線照射到屏幕上的區(qū)域進(jìn)行分區(qū)討論，以線光源所在且與地面平行的平面同旋轉(zhuǎn)面的交線為研究對象，求出了線光源的若干邊界點(diǎn)，考慮到B、C兩點(diǎn)間的光強(qiáng)度關(guān)系及其應(yīng)滿足的條件，建立了相應(yīng)的關(guān)系表達(dá)式，并求得最優(yōu)解，即線光源的長度為10mm。在模型二中，我們根據(jù)光的反射定律，確定了線光源經(jīng)旋

2、轉(zhuǎn)拋物面上任意一點(diǎn)的反射光束在測試屏上的投影的變化規(guī)律，并根據(jù)光的可逆性，求得目標(biāo)最優(yōu)值為6.4mm。在模型一的基礎(chǔ)上，考慮到線光源長度較短，于是對反射面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，得出測試屏上的反射線的亮區(qū)為一個橢圓域。在對設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性的討論中，我們從整體入手，以線光源的總能量為研究對象，抓住線光源在屏幕上反射光線的亮區(qū)的分布特點(diǎn)，求得其近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其強(qiáng)度分布函數(shù)為E（X）=exp(-),并以此為依據(jù)原設(shè)計(jì)規(guī)范進(jìn)行了討論，分析了影響其合理性的相關(guān)因素。一問題的假設(shè)考慮到問題中，出現(xiàn)了“線光源”、“旋轉(zhuǎn)拋物面”等非傳統(tǒng)光學(xué)問題的“點(diǎn)光源”，“球面”等，因而使得問題相對復(fù)雜化，為此，我們提出以下

3、假設(shè)：1 由于在題給設(shè)計(jì)規(guī)范中，測試屏放在距離車燈焦點(diǎn)25米遠(yuǎn)處，而車燈的開口半徑只有0.036米,于是可認(rèn)為對于測試屏來說,光源的出射光是很遠(yuǎn)的,從而光線在測試屏上的入射角很小，可近似看作是一致的;2 實(shí)際的車燈的燈絲(即線光源)的長度是很短的,我們認(rèn)為線光源就在焦點(diǎn)附近,這還需要在模型求解之后進(jìn)行檢驗(yàn);3 線光源是由無數(shù)的點(diǎn)光源組成的，點(diǎn)點(diǎn)之間光線的發(fā)生、傳播相互獨(dú)立，互不影響；4 由于假設(shè)1,2,3,線光源上的不同的點(diǎn)所放出的光線在屏幕上所產(chǎn)生的光的強(qiáng)度是相同的，同時，就線光源上的同一點(diǎn)來說，它所發(fā)出的光線在屏幕的不同點(diǎn)上所產(chǎn)生的光的強(qiáng)度也相同，也就是說，對于任何一條光線來說，不管它是發(fā)

4、自哪一個點(diǎn)光源，或是射到屏幕上的哪一點(diǎn)，它在屏幕上所產(chǎn)生的光的強(qiáng)度都是相同的，具體原因分析見“問題的分析”； 5 不考慮光線在傳播的過程中的能量損失，也不考慮車燈旋轉(zhuǎn)拋物面材料對反射率的影響及光線傳播的干涉衍射等因素，即光的傳播是一種理想情況.6 線光源上各點(diǎn)的發(fā)光強(qiáng)度是均勻的；7 由于假設(shè)二可以認(rèn)為光源上某一點(diǎn)所發(fā)出的光線與反射光線近似在過光心的面上.二符號的約定 符號的說明：I ： 光強(qiáng) ： 入射角r: 發(fā)光點(diǎn)至光線在測試屏的入射點(diǎn)間的距離h ： 線光源的半長LB： 能夠照射到B點(diǎn)的線光源的總長度LC ： 能夠照射到C點(diǎn)的線光源的總長度K ： 比例常數(shù)K1 ，K2 ： 同線光源上共面的拋物

5、線的邊界點(diǎn)與線光源頂點(diǎn)連線的斜率K3 ： 焦點(diǎn)與拋物線邊界點(diǎn)連線的斜率其余符號將在文中陸續(xù)給出。三問題的分析1 對物理量的說明 光通量： 光源在單位時間內(nèi)所輻射的光能，即題中“光源的功率”，記為F； 照度： 光通量與被垂直照射的表面積之比，即題中“屏幕上某點(diǎn)”的強(qiáng)度量，記為E； 發(fā)光強(qiáng)度： 光源在單位時間內(nèi)發(fā)出的光通量，記為I，且F=4*； 點(diǎn)光源的照度定律 ： E=，其中為光線與被照表面的入射角，r為點(diǎn)光源至入射點(diǎn)的距離2 對本題中屏幕上任意點(diǎn)上的照度的產(chǎn)生的分析 如圖所示，為一個平行于地面的子午面與旋轉(zhuǎn)拋物體的交線，P、Q分別為線光源、屏幕上的任意一點(diǎn)，考慮到光線由P點(diǎn)發(fā)出到達(dá)Q點(diǎn)（不管其

6、是直射光線還是反射光線）的光線為PQ，則此光線在Q點(diǎn)所形成的照度 （1） 由假設(shè)可知，恒定，不因P，Q而改變；另一方面PQ是從遠(yuǎn)處發(fā)射的幾乎垂直的光線，對任意PQ點(diǎn)，幾乎沒有改變，也為恒量；故（1）中近似為恒量,即假設(shè)4是合理的。因而可知，任意Q點(diǎn)的照度是由線光源上不同的點(diǎn)發(fā)出的照射光（直射光，反射光）迭加而引起的，由上分析知Q點(diǎn)的光強(qiáng)即為。 對于問題一，由上可知，B，C兩點(diǎn)的照度為，為求，我們分析所有光的反射與直射情況，在旋轉(zhuǎn)拋物面上分區(qū)討論，由光的可逆性找出B，C點(diǎn)上反射光的線光源的長度邊界，得出線光源高度得最優(yōu)值。 四模型的建立與求解1問題一 （1）模型一: 由題中已知條件可求得旋轉(zhuǎn)拋物

7、體的方程為z2+y2=0.06x。為了簡化問題，我們首先對旋轉(zhuǎn)拋物面進(jìn)行分區(qū)，如圖所示。D E F G H AI J K L M y120x34過焦點(diǎn)的豎直延長線與拋物線的交點(diǎn)為b,c，拋物線的邊界點(diǎn)A，D，根據(jù)發(fā)光光源的特性，我們可以先粗劣估計(jì)線光源上的每一發(fā)光點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)旋轉(zhuǎn)拋物面反射后，其反射光線是向上偏，還是向下偏（假設(shè)根據(jù)光學(xué)知識可知，過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物面反射后，反射光線與X軸平行），故具體討論如下：上半截線光源所發(fā)的光光線偏向反射屏區(qū)域下半截線光源所發(fā)的光光線偏向反射屏區(qū)域a-b段向上偏EGa-b段向下偏GHb-o段向下偏GMb-o段向上偏DGo-c段向下偏JMo-c段向上偏D

8、Jc-d段向上偏I(xiàn)Jc-d段向下偏JL 可以證明光源頂點(diǎn)發(fā)出的經(jīng)拋物線邊界點(diǎn)反射后的光線到達(dá)屏板上的距離最遠(yuǎn)，即在平板上的覆蓋區(qū)域最大。且端點(diǎn)經(jīng)過拋物線中心原點(diǎn)處反射到屏幕上的距離也是最遠(yuǎn)的，因此只須考慮線光源端點(diǎn)與拋物線邊界的反射線及中心的反射線。我們先取一個過焦點(diǎn)的且與地面平行的子午面，其與旋轉(zhuǎn)拋物面的的交線方程為y2=0.06x。其上各點(diǎn)的斜率為 yX = ( p/2x ) 1/2 =(0.015/ x) 1/2現(xiàn)在我們所需求的就是AD及AE關(guān)于線光源高度h的函數(shù)。 易求得線光源的反射光（過O點(diǎn)）關(guān)于h的表達(dá)式，即= 即y(D)=1. 667h (其中h為線光源半高)同理，可求得直射光的

9、如射范圍，k1=（36-L/）/6.6,k2=(36+L)/6.6,k3=36/6.6。AH的長度可由以下方法求得，先求得反射線AH的直線方程，為 y-0.036=-( x-0.0216),令X=25. 015，則直線方程可變?yōu)?Y=-+0.036同理,可求AE所在的直線方程為y-0.036=(x-0.0216) ,令x=25.015，則y(E)=+0.036此時,由y(E),y(D)以及點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，=1.3， =2.6,可求得通過B,C兩點(diǎn)的反射光線,從而入射光線的發(fā)光點(diǎn)的臨界位置,即可求出線光源的臨界高度。由y(D)=1.3,即1.667h1=1.3,解得h1=0.78mm;y(D)=

10、2.6,即1.667h=2.6,h解得2=1.56mm;y(E)=1.3, 即+0.036=1.3, 解得h3=8.22mm;y(E)=2.6, 即+0.036=2.6, 解得h4=13.35mm;y(H)=-1.3, 即+0.036=-1.3, 解得h5=15.3mm;y(H)=-2.6, 即+0.036=-2.6, 解得h6=50. 4mm(as y6>hmax=36mm,omit it)能射到C點(diǎn)的線光源的長度為 LC=2h+(h-13.35)+(h-1.56)同理可求得能入射到B點(diǎn)的線光源的長度為LB=2H+(h-8.22)+(h-0.78)再考慮到B點(diǎn)的光強(qiáng)度至少比C點(diǎn)2倍（其

11、中C點(diǎn)的光照強(qiáng)度至少為一個單位強(qiáng)度），而光的能量可近似認(rèn)為與光線源長度成正比，且不考慮光線在反射過程和空間傳播過程中的能量損失，故B，C兩點(diǎn)的光照強(qiáng)度之比可等效認(rèn)為為相對應(yīng)的線光源的長度之比，則有2= h=5.205mm,2h=10.41mm,取2h=2=10mm，此即線光源最小長度由光強(qiáng)公式I=（其中R為光線傳播距離，F(xiàn)為光通量，I為入射角），而由前面假設(shè)我們可以認(rèn)為為一常數(shù)，此時F與I接近，成正比，當(dāng)C點(diǎn)的光照強(qiáng)度恰為一單位強(qiáng)度時，此時的I是滿足條件下的最小光強(qiáng)，即對應(yīng)最小功率。（2）模型二設(shè)線光源長度為，焦點(diǎn)坐標(biāo)F（），光源一端為M（），另一端為N（），其中。設(shè)P0（）為旋轉(zhuǎn)拋物面上任一

12、點(diǎn)。F經(jīng)旋轉(zhuǎn)拋物面上的點(diǎn)P0反射后在測試屏上的投影為F1（）。又設(shè)M1（），M2（）分別是M經(jīng)P0反射后反射線上與M 對稱的點(diǎn)及其在測試屏上的投影。由已知可得旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為，。令則旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)P0的法線方程為。由幾何學(xué)知識有： M在P0處的反射線方程為 （3）在方程（3）中令便得到M2即M經(jīng)P0反射后在測試屏上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)。于是線段F1M2就是線光源FM經(jīng)P0反射后在測試屏上的投影。由于設(shè)計(jì)的對稱性，N經(jīng)P0反射后在測試屏上的投影N1與M2關(guān)于點(diǎn)F1對稱。當(dāng)P0在旋轉(zhuǎn)拋物面上運(yùn)動時，線光源MN經(jīng)P0反射后在測試屏上的投影N1M2也相應(yīng)地在轉(zhuǎn)動。當(dāng)P0取遍旋轉(zhuǎn)拋物面上所有點(diǎn)時，動線段N1

13、M2所經(jīng)過的區(qū)域即為線光源MN經(jīng)旋轉(zhuǎn)拋物面的反射區(qū)域。由于過焦點(diǎn)的光線經(jīng)旋轉(zhuǎn)拋物面上任何一點(diǎn)反射后反射線總與旋轉(zhuǎn)拋物面的對稱軸平行，因此線光源MN經(jīng)P0反射后在測試屏上的投影的中點(diǎn)在圓周上，且當(dāng)F的投影F1的豎坐標(biāo)不為零時，投影與圓周相切，它的長度是線光源MF的長度的函數(shù) 。 在測試屏上的反射光區(qū)域內(nèi)，各點(diǎn)的照度大小與動線段N1M2經(jīng)過的頻數(shù)成正比。由光的可逆性分別求得旋轉(zhuǎn)拋物面上B、C的反射面面積。因旋轉(zhuǎn)拋物面的口徑遠(yuǎn)小于它到測試屏的距離，可以將它視為點(diǎn)光源。由得， 因而線光源MN的長度為。2問題二 經(jīng)過分析，反射光的亮區(qū)包絡(luò)線為一橢圓，事實(shí)上可證明（證明過程略）。當(dāng)時即為長軸長，故長軸=1

14、.6675=8.34而亮區(qū)的邊界是連續(xù)的，故短軸的長可以由求出：故橢圓方程為，作圖如下，且從焦點(diǎn)的光源發(fā)出的光都平行與軸線，故在坐標(biāo)系中應(yīng)有一半徑的圓-3 -2 -1 0 1 2 3-10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10yx3問題三考慮到自由光源向周圍空間光線發(fā)射的均勻性，以及旋轉(zhuǎn)拋物面對光線的聚斂性所造成的反射光線在空間上分布的不均勻性，反映在屏幕上就為明暗亮度差，中間區(qū)域最亮，亮度自中間向兩邊遞減，于是我們可推測光強(qiáng)度在沿線光源走向方向呈正態(tài)分布。事實(shí)上，線光源上的每一個光點(diǎn)所發(fā)出的每一條光線均可以視作為一完全獨(dú)立事件，由中心極限定理可知其

15、呈正態(tài)分布，分布函數(shù)即光強(qiáng)度密度函數(shù)，不妨設(shè)其方程為E（x）=e- 再由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及B，C兩點(diǎn)間的光照強(qiáng)度關(guān)系，取其臨界值，即E（B）=2E（C），亦即 E(1.3)=2E(2.6) e-=2e-解得=3.66,則光線強(qiáng)度分布密度函數(shù)為 E（x）=e-= E（x）=e-于是可以求出光屏上任意點(diǎn)光的強(qiáng)度。C點(diǎn)的亮度密度為E（C）=0.16,E(B)=0.32。則問題轉(zhuǎn)化為在何處布置光屏和怎樣在光屏上設(shè)置測試點(diǎn)，從而判斷原設(shè)計(jì)規(guī)范的合理與否。即要求光的能量（亮度）盡可能集中，而覆蓋區(qū)域相對較廣。在實(shí)際生活中，人們關(guān)注的是車燈前進(jìn)方向的亮度與其旁逸光的強(qiáng)度及其覆蓋區(qū)域，要求保證車燈既能照亮前方，又不置影響路邊行人，比如光線太強(qiáng)，令人眩目，且要求功率適當(dāng)。因此，我們要實(shí)際情況，比如路面寬度、車型等，另外，也要考慮的車的速度范圍，由車速決定測試屏的布置位置，以確保車燈光線具有一定的穿透能力，有效防止交通事故。五模型優(yōu)缺點(diǎn)分析與改進(jìn) 本模型充分考慮了照度形成的因素,忽