1、整理課件開始開始 整理課件學點一學點一學點二學點二學點三學點三學點四學點四學點五學點五學點六學點六整理課件1.1.如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度( (面面 積或體積積或體積) )成比例成比例, ,則稱這樣的概率模型為則稱這樣的概率模型為 ， 簡稱為簡稱為 . .2.2.在幾何概型中，事件在幾何概型中，事件A A的概率的計算公式如下：的概率的計算公式如下：P P( (A A)=)= . . 均勻隨機數就是在一定范圍內均勻隨機數就是在一定范圍內, , 產生的數產生的數, ,并且得到并且得到 這個范圍內的每一個數的機會一樣這個范圍內的每一

2、個數的機會一樣. .幾何概率模型幾何概率模型 幾何概型幾何概型 隨機隨機 構成事件構成事件A A的區域長度（面積或體積）的區域長度（面積或體積）/ /試驗的全部試驗的全部 結果所構成的區域長度結果所構成的區域長度( (面積或體積面積或體積) )子區域子區域A A的幾何度量的幾何度量 返回返回 整理課件4.4.0,10,1間隨機數的產生間隨機數的產生 在計算器中應用在計算器中應用 可連續產生可連續產生0,10,1范圍內的均勻范圍內的均勻 隨機數隨機數. .不同的計算器具體操作過程可能會不同不同的計算器具體操作過程可能會不同. . 隨機模擬法可用來求隨機模擬法可用來求 （特別是（特別是 ） 的面積

3、的近似值，或求的面積的近似值，或求 . .隨機函數隨機函數 某些特殊圖形某些特殊圖形 不規則圖形不規則圖形 某些量某些量( (如如)的近似值的近似值 返回返回 整理課件學點一與長度有關的幾何概型的求法學點一與長度有關的幾何概型的求法【分析】【分析】本題考查與長度有關的幾何概型的求法本題考查與長度有關的幾何概型的求法. .某公共汽車站每隔某公共汽車站每隔5 5分鐘有一輛車通過分鐘有一輛車通過( (假設每一輛車帶走假設每一輛車帶走站上的所有乘客站上的所有乘客),),乘客到達汽車站的時間是任意的乘客到達汽車站的時間是任意的, ,求乘客求乘客候車時間不超過候車時間不超過3 3分鐘的概率分鐘的概率. .

4、【解析】【解析】A A=“=“候車時間不超過候車時間不超過3 3分鐘分鐘”. .以以x x表示乘客表示乘客到車站的時刻到車站的時刻, ,以以t t表示乘客到車站后來到的第一輛汽車的表示乘客到車站后來到的第一輛汽車的時刻時刻, ,作圖作圖3-4-3.3-4-3.據題意據題意, ,乘客必然在乘客必然在t t-5,-5,t t內來到車內來到車站站, ,故故=x x| |t t-5-5x xt t.返回返回 整理課件若乘客候車時間不超過若乘客候車時間不超過3 3分鐘分鐘, ,必須必須t t-3-3x xt t, ,所以所以A A=x x| |t t-3-3x xt t,據幾何概率公式得據幾何概率公式得

5、P P( (A A)=)= =0.6.=0.6.【評析】【評析】(1)(1)把所求問題歸結到把所求問題歸結到x x軸上的一個區間內是解軸上的一個區間內是解題的關鍵題的關鍵, ,然后尋找事件然后尋找事件A A發生的區域發生的區域, ,從而求得從而求得A A. .(2)(2)本題也可這樣理解本題也可這樣理解: :乘客在時間段乘客在時間段(0,5(0,5內任意時刻內任意時刻到達到達, ,等待不超過等待不超過3 3分鐘分鐘, ,則到達的時間在區間則到達的時間在區間2,52,5內內. .53A圖圖3-4-3返回返回 整理課件在兩端相距在兩端相距6 m6 m的木桿上系一根繩子的木桿上系一根繩子, ,并在繩

6、子上掛一盞燈并在繩子上掛一盞燈, ,則則燈與兩端距離都大于燈與兩端距離都大于2 m2 m的概率是多少的概率是多少? ?解解: :燈掛在繩子上的每一個位置都是一個基本事件燈掛在繩子上的每一個位置都是一個基本事件, ,即即整個區域的幾何度量為整個區域的幾何度量為=6 m.=6 m.記記“燈與兩端距離都大于燈與兩端距離都大于2 m”2 m”為事件為事件A A, ,則把木桿三等分則把木桿三等分, ,當繩子掛在中間一段上時當繩子掛在中間一段上時, ,事件事件A A發生發生, ,即即A A=2 m.=2 m.所以由幾何概型的概率公式所以由幾何概型的概率公式, ,得得P P( (A A) ) . .3162

7、A返回返回 整理課件學點二與面積有關的幾何概型的求法學點二與面積有關的幾何概型的求法1.1.甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠6 6小時小時, ,假定它們在假定它們在 一晝夜的時間段中隨機地到達一晝夜的時間段中隨機地到達, ,試求這兩艘船中至少有試求這兩艘船中至少有 一艘在停靠時必須等待的概率一艘在停靠時必須等待的概率. .【分析】【分析】本題考查與面積有關的幾何概型的求法本題考查與面積有關的幾何概型的求法. .【解析】【解析】設設A A=兩艘船中至少有兩艘船中至少有一艘停靠時等待一艘停靠時等待.建立平面直角坐標建立平面直角坐標系如圖系如圖3-4-4,3-4-4,

8、x x軸表示甲船到達的時間軸表示甲船到達的時間, ,y y軸表示乙船到達的時間軸表示乙船到達的時間, ,則則( (x x, ,y y) )表示表示的所有結果是以的所有結果是以2424為邊長的正方形為邊長的正方形. .圖圖3-4-4返回返回 整理課件事件事件A A發生的條件是發生的條件是0 0 x-yx-y6 6或或0 0y-xy-x6,6,即圖中陰影部分即圖中陰影部分, ,則則=24=242 2, ,A A=24=242 2-18-182 2. .P P( (A A)= ,)= ,即這兩艘船中至少有一艘在停靠時必須等待的概率是即這兩艘船中至少有一艘在停靠時必須等待的概率是. .16724182

9、4222A167【評析】【評析】(1)(1)甲、乙兩船都是在甲、乙兩船都是在0 05454小時內的任一時刻小時內的任一時刻停靠停靠, ,故每一個結果對應兩個時間故每一個結果對應兩個時間; ;分別用分別用x x, ,y y軸上的數表示軸上的數表示, ,則每一個結果則每一個結果( (x x, ,y y) )就對應于圖中正方形內的任一點就對應于圖中正方形內的任一點. .(2)(2)找出事件找出事件A A發生的條件發生的條件, ,并把它在圖中的區域找出來并把它在圖中的區域找出來, ,分別計算面積即可分別計算面積即可. .(3)(3)這一類問題我們稱為約會問題這一類問題我們稱為約會問題. .返回返回 整

10、理課件2.2.設有一等邊三角形網格設有一等邊三角形網格, ,其中各個最小等邊三角形的邊其中各個最小等邊三角形的邊 長都是長都是 cm,cm,現用直徑等于現用直徑等于2 cm2 cm的硬幣投擲到此網格的硬幣投擲到此網格 上上, ,求硬幣落下后與格線沒有公共點的概率求硬幣落下后與格線沒有公共點的概率. .【分析】【分析】考查幾何概型中與面積有關的問題考查幾何概型中與面積有關的問題. .34【解析】【解析】記記A A=硬幣落下后與格線硬幣落下后與格線沒有公共點沒有公共點,如圖如圖3-4-53-4-5所示所示, ,在等邊三在等邊三角形內作小等邊三角形角形內作小等邊三角形, ,使其三邊與原使其三邊與原等

11、邊三角形三邊距離都為等邊三角形三邊距離都為1,1,則等邊三角則等邊三角形的邊長為形的邊長為 , ,由幾何概由幾何概型得概率為兩三角形面積的比型得概率為兩三角形面積的比, ,即由概率即由概率323234圖圖3-4-5返回返回 整理課件的公式得的公式得P P( (A A)=)=.41)34(43)32(4322大三角形面積小三角形面積【評析】求出面積是解題關鍵【評析】求出面積是解題關鍵. .返回返回 整理課件甲、乙兩人約定在甲、乙兩人約定在6 6時到時到7 7時之間在某處會面時之間在某處會面, ,并約定先到并約定先到者應等候另一個人一刻鐘者應等候另一個人一刻鐘, ,過時即可離去過時即可離去, ,求

12、兩人能夠會求兩人能夠會面的概率面的概率. .解解: :按照約定按照約定, ,兩人在兩人在6 6點到點到7 7點之間任何時刻到達會面點點之間任何時刻到達會面點是等可能的是等可能的, ,因此是一個幾何概型因此是一個幾何概型, ,設甲、乙兩人到達的時間設甲、乙兩人到達的時間為為x x, ,y y, ,則則| |x-yx-y|15|15是能夠會面的先決條件是能夠會面的先決條件. .以以x x和和y y分別表示甲、乙兩人到達約會地點的時間分別表示甲、乙兩人到達約會地點的時間, ,則兩則兩人能夠會面的充要條件是人能夠會面的充要條件是| |x-yx-y|15.|15.返回返回 整理課件在平面上建立直角坐標系

13、如圖在平面上建立直角坐標系如圖, ,則則( (x,yx,y) ) 的所有可能的所有可能結果是邊長為結果是邊長為6060的正方形的正方形, ,而可能會面的時間用圖中的陰而可能會面的時間用圖中的陰影部分表示影部分表示. .這是一個幾何概型問題這是一個幾何概型問題, ,由等可能性知由等可能性知P P( (A A)=)=答答: :甲、乙兩人能夠會面的概率是甲、乙兩人能夠會面的概率是 . .167604560222ASS167返回返回 整理課件學點三與體積有關的幾何概型的求法學點三與體積有關的幾何概型的求法在在1 1升高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子升高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子, ,從

14、中從中隨機取出隨機取出1010毫升毫升, ,則取出的種子中含有麥銹病的種子的概則取出的種子中含有麥銹病的種子的概率是多少率是多少? ?【分析】【分析】本題考查與體積有關的幾何概型本題考查與體積有關的幾何概型. .【解析】【解析】設設A A=取出取出1010毫升種子毫升種子, ,含有病種子含有病種子,則則= =1 0001 000毫升毫升, ,A A=10=10毫升毫升, ,P P( (A A)= ,)= ,即取出種子中含麥銹病的種子的概率是即取出種子中含麥銹病的種子的概率是0.01.0.01.01. 01000100A返回返回 整理課件【評析】【評析】(1)(1)病種子在這病種子在這1 1升種

15、子中的分布可以看作是隨升種子中的分布可以看作是隨機的機的, ,有無限個結果有無限個結果, ,并且是等可能的并且是等可能的, ,是幾何概型是幾何概型. .取得的取得的1010毫升種子可看作構成事件的區域毫升種子可看作構成事件的區域,1,1升種子可看作是試驗的所升種子可看作是試驗的所有結果構成的區域有結果構成的區域. .(2)(2)要注意使用要注意使用“幾何概型幾何概型”的條件的條件. .返回返回 整理課件如圖如圖3-4-73-4-7所示所示, ,有一杯有一杯2 2升的水升的水, ,其中含有一個細菌其中含有一個細菌, ,用一個用一個小杯從這杯水中取出小杯從這杯水中取出0.10.1升水升水, ,求小

16、杯水中含有這個細菌的求小杯水中含有這個細菌的概率概率. . 解解: :設設A A=小杯水中含有這個小杯水中含有這個細菌細菌.則則=2=2升升, ,A A=0.1=0.1升升, ,P P( (A A)=)=.05. 020121 . 0A圖圖3-4-7返回返回 整理課件學點四與角度有關的幾何概型的求法學點四與角度有關的幾何概型的求法如圖如圖3-4-8,3-4-8,在等腰在等腰RtRtABCABC中中, ,過直角頂點過直角頂點C C在在ACBACB內部內部作一射線作一射線CMCM, ,與線段與線段ABAB交于點交于點M M, ,求求AMAMACAC的概率的概率. .【分析】【分析】考查與角度有關的

17、幾何考查與角度有關的幾何概型的求法概型的求法. .圖圖3-4-8【解析】【解析】在在ABAB上取上取ACAC=ACAC, ,則則ACCACC= =67.5= =67.5. .設設A A=在在ACBACB內部作一條射線內部作一條射線CMCM, ,與線段與線段ABAB交于點交于點M,AMM,AMACAC,則則=90=90, ,A A=67.5=67.5. .P P( (A A)=)=245180.43905 .67A返回返回 整理課件【評析】【評析】(1)(1)射線射線CMCM隨機地落在隨機地落在ACBACB內部內部, ,故故ACBACB為所為所有試驗結果構成的區域有試驗結果構成的區域, ,當射線

18、當射線CMCM落在落在ACCACC內部時內部時AMAMACAC, ,故故ACCACC為構成事件的區域為構成事件的區域. .(2)(2)事件區域是角域事件區域是角域, ,可用角度刻畫可用角度刻畫. .返回返回 整理課件若題目改為若題目改為: :在等腰在等腰RtRtABCABC中中, ,在斜邊在斜邊ABAB上取一點上取一點M M, ,求求AMAMACAC的概率的概率, ,答案一樣嗎答案一樣嗎? ?解解: :在在ABAB上截取上截取ACAC=ACAC, ,ACAC= =設設A A=在斜邊在斜邊ABAB上取一點上取一點M,AMM,AMACAC,則則= =ABAB, ,A A= = ,P P( (A A

19、)=)=故不一樣故不一樣. .22ABAB22.22A返回返回 整理課件學點五用隨機數模擬法估算幾何概率學點五用隨機數模擬法估算幾何概率取一根長度為取一根長度為3 m3 m的繩子的繩子, ,拉直后在任意位置剪斷拉直后在任意位置剪斷, ,用隨機用隨機模擬法估算剪得兩段的長都不小于模擬法估算剪得兩段的長都不小于1 m1 m的概率有多大的概率有多大? ?【分析】【分析】在任意位置剪斷繩子在任意位置剪斷繩子, ,則剪斷位置到一端點的則剪斷位置到一端點的距離取遍距離取遍0,30,3內的任意實數內的任意實數, ,并且每一個實數被取到的可并且每一個實數被取到的可能性相等能性相等, ,因此在任意位置剪斷繩子的

20、所有結果因此在任意位置剪斷繩子的所有結果( (即基本事件即基本事件) )對應對應0,30,3上的均勻隨機數上的均勻隨機數, ,其中其中1,21,2上的均勻隨機數上的均勻隨機數就表示剪斷位置與端點的距離在就表示剪斷位置與端點的距離在1,21,2內內, ,也就是剪得兩段也就是剪得兩段的長都不小于的長都不小于1 m,1 m,這樣取得的這樣取得的1,21,2內的隨機數個數與內的隨機數個數與0,30,3內的隨機數個數之比就是事件內的隨機數個數之比就是事件A A發生的頻率發生的頻率. .返回返回 整理課件【解析】【解析】記事件記事件A A=剪得兩段的長都不小于剪得兩段的長都不小于1 m.1 m.(1)(1

21、)利用計算器或計算機產生一組利用計算器或計算機產生一組0 0到到1 1區間的均勻隨機區間的均勻隨機數數a a1 1=RAND.=RAND.(2)(2)經過伸縮變換經過伸縮變換, ,a=aa=a1 1* *3.3.(3)(3)統計出試驗總次數統計出試驗總次數N N和和1,21,2內的隨機數個數內的隨機數個數N N1 1. .(4)(4)計算頻率計算頻率f fn n( (A A)=)=N N1 1/ /N N即為概率即為概率P P( (A A) )的近似值的近似值. .【評析】用隨機模擬法估算幾何概率的關鍵是把事件【評析】用隨機模擬法估算幾何概率的關鍵是把事件A A及基本事件空間對應的區域轉化為隨

22、機數的范圍及基本事件空間對應的區域轉化為隨機數的范圍. .返回返回 整理課件甲、乙兩輛貨車停靠站臺卸貨的時間分別是甲、乙兩輛貨車停靠站臺卸貨的時間分別是6 6小時和小時和4 4小時小時, ,用隨機模擬法估算有一輛貨車停靠站臺時必須等待一段時用隨機模擬法估算有一輛貨車停靠站臺時必須等待一段時間的概率間的概率. .解解: :記事件記事件A A“有一輛貨車停靠站臺時必須等待一段有一輛貨車停靠站臺時必須等待一段時間時間”. .(1)(1)利用計算器或計算機產生兩組利用計算器或計算機產生兩組0 0到到1 1區間的均勻隨區間的均勻隨機數機數, ,x x1 1=RAND,=RAND,y y1 1=RAND.

23、=RAND.返回返回 整理課件(2)(2)經過伸縮變換經過伸縮變換, ,x=xx=x1 1* *24,24,y=yy=y1 1* *2424得到兩組得到兩組0,240,24上的均勻隨機數上的均勻隨機數. .(3)(3)統計出試驗總次數統計出試驗總次數N N和滿足條件和滿足條件-4-4x-yx-y66的點的點( (x,yx,y) )的個數的個數N N1 1. .(4)(4)計算頻率計算頻率f fn n( (A A)=)=, ,即為概率即為概率P P( (A A) )的近似值的近似值. .NN1返回返回 整理課件學點六用隨機數模擬法近似計算不規則圖形的面積學點六用隨機數模擬法近似計算不規則圖形的面

24、積利用隨機模擬的方法近似計算圖形利用隨機模擬的方法近似計算圖形( (如圖如圖3-4-93-4-9所示所示) )中陰中陰影部分的面積影部分的面積: :y=xy=x2 2+1+1與與y y=6=6所圍成區域的面積所圍成區域的面積. .【分析】【分析】在坐標系中畫出矩在坐標系中畫出矩形形( (x x= = , ,x x=-=- , ,y y=1=1和和y y=6=6所圍所圍成的部分成的部分),),用隨機模擬的方法可用隨機模擬的方法可以得到陰影部分的面積的近似值以得到陰影部分的面積的近似值. .55圖圖3-4-93-4-9返回返回 整理課件【解析】【解析】(1)(1)利用計算器或計算機產生兩組利用計算

25、器或計算機產生兩組0 0至至1 1之間的之間的均勻隨機數均勻隨機數, ,a a1 1=RAND,=RAND,b b1 1=RAND;=RAND;(2)(2)進行平移和伸縮變換進行平移和伸縮變換, ,a a=(=(a a1 1-0.5)-0.5)* *2,2,b b=5=5* *b b1 1+1;+1;(3)(3)數出落在陰影內的樣本點數數出落在陰影內的樣本點數N N1 1, ,總試驗次數為總試驗次數為N N, ,用幾用幾何概型公式計算陰影部分的面積為何概型公式計算陰影部分的面積為S S= = . .多做幾次試驗多做幾次試驗, ,得到的面積會更精確得到的面積會更精確. .NN136.22【評析】

26、要記住公式【評析】要記住公式 . .其中其中N N為總的試驗為總的試驗次數次數, ,N N1 1為落在不規則圖形內的試驗次數為落在不規則圖形內的試驗次數. .NNSS1規則圖形不規則圖形返回返回 整理課件利用隨機方法計算如圖利用隨機方法計算如圖3-4-103-4-10中陰影部分中陰影部分( (曲線曲線y y=2=2x x與與x x軸軸, ,x x= =1 1圍成的部分圍成的部分) )的面積的面積. .解解:(1):(1)利用計算機產生兩組利用計算機產生兩組0,10,1上的均勻隨機數上的均勻隨機數, ,a a1 1=RAND,=RAND,b b1 1=RAND.=RAND.(2)(2)進行平移和

27、伸縮變換進行平移和伸縮變換, ,a a=(=(a a1 1- -0.5)0.5)* *2,2,b b= =b b1 1* *2,2,得到一組得到一組-1,1-1,1上的上的均勻隨機數和一組均勻隨機數和一組0,20,2上的均勻隨上的均勻隨機數機數. .圖圖3-4-103-4-10返回返回 整理課件(3)(3)統計試驗總數統計試驗總數N N和落在陰影內的點數和落在陰影內的點數N N1 1( (滿足條件滿足條件b b22a a的點的點( (a,ba,b) )數數).).(4)(4)計算頻率計算頻率 , ,即為點落在陰影部分的概率的近似值即為點落在陰影部分的概率的近似值. .(5)(5)用幾何概率公式

28、求得點落在陰影部分的概率為用幾何概率公式求得點落在陰影部分的概率為P P= .= . . . , ,即為陰影部分面積的近似值即為陰影部分面積的近似值. .NN14S41SNNNNS14返回返回 整理課件(1)(1)幾何概型的兩個特點幾何概型的兩個特點: :一是無限性一是無限性, ,即在一次試驗即在一次試驗中中, ,基本事件的個數可以是無限的基本事件的個數可以是無限的; ;二是等可能性二是等可能性, ,即每一即每一基本事件發生的可能性是均等的基本事件發生的可能性是均等的. .因此因此, ,用幾何概型求解的用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的概率問題和古典概型的思路是相同的, ,同屬于

29、同屬于“比例解比例解法法”. .即隨機事件即隨機事件A A的概率可以用的概率可以用“事件事件A A包含的基本事件包含的基本事件所占的圖形面積所占的圖形面積( (體積、長度體積、長度)”)”與與“試驗的基本事件空間試驗的基本事件空間所占總面積所占總面積( (總體積、長度總體積、長度)”)”之比來表示之比來表示. .(2)(2)基本事件的基本事件的“等可能性等可能性”的判斷很容易被忽略的判斷很容易被忽略, ,從從而導致各種錯誤而導致各種錯誤. .1.1.如何理解幾何概型如何理解幾何概型? ?返回返回 整理課件2.2.隨機數是如何產生的隨機數是如何產生的? ?如何理解隨機模擬試驗如何理解隨機模擬試驗

30、? ?(1)(1)隨機數的產生隨機數的產生利用計算器或計算機產生利用計算器或計算機產生0,10,1上的均勻隨機數上的均勻隨機數x x1 1=RAND,=RAND,然后利用伸縮和平移變換然后利用伸縮和平移變換, ,x=xx=x1 1* *( (b-ab-a)+)+a a, ,就可以就可以得到得到a,ba,b內的均勻隨機數內的均勻隨機數, ,試驗的結果是試驗的結果是a,ba,b上的任上的任何一個實數何一個實數, ,并且任何一個實數都是等可能出現的并且任何一個實數都是等可能出現的. .(2)(2)隨機模擬試驗隨機模擬試驗用頻率估計概率時用頻率估計概率時, ,需做大量的重復試驗需做大量的重復試驗, ,費時費力費時費力, ,并并且有些試驗具有破壞性且有些試驗具有破壞性, ,有些試驗無法進行有些試驗無法進行, ,因而隨機模擬因而隨機模擬試驗就成為一種重要的方法試驗就成為一種重要的方法, ,它可以在短時間內多次重復它可